第18章平行四边形微专题一证明平行四边形的常用思路-2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章平行四边形 微专题一 证明平行四边形的常用思路（解析版） 一、判定方法 平行四边形的判定： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 方法总结 方法一：利用两组对边分别相等判定平行四边形 【例1-1】．如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，请说明：四边形ADEF为平行四边形． 【答案】证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形，∴ AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC， ∠DBA＝∠EBC＝60°， ∴ ∠ DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA， ∴ ∠ DBE＝∠ABC， 在△DBE和△ABC中，∵ ， ∴ △ DBE≌△ABC（SAS）， ∴ DE＝AC， 又∵△ACF是等边三角形， ∴ AC＝AF， ∴ DE＝AF， 同理可证：AD＝EF， ∴四边形ADEF是平行四边形 【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】由△ABD，△EBC都是等边三角形，易证得△DBE≌△ABC（SAS），则可得DE=AC，又由△ACF是等边三角形，即可得DE=AF，同理可证得AD=EF，即可判定四边形ADEF是平行四边形． 【变式1-1】．如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且.求这个四边形停车位的面积. 【答案】解：∵，， ∴四边形是平行四边形. 如图，过点作，交的延长线于点. ∵四边形是平行四边形，，∴， ∴，∴， ∴（m）. 在中，由勾股定理，得（m）， ∴， 即这个四边形停车位的面积是. 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；直角三角形的两锐角互余 【解析】【分析】根据AD=BC，AB=CD，证明四边形ABCD是平行四边形，过点C作CE⊥AB于点E，由平行四边形的性质得BC=AD=6米，进而由含30°角的直角三角形的性质得BE=3米，再由勾股定理求出CE的长，然后由平行四边形面积公式即可得出结论。 【变式1-2】． 如图， 以 的三边为边在 的同一侧作等边 ， 等边 ， 等边 ，连结 ， 那么四边形 是平行四边形吗？ 若是， 请证明； 若不是，请说明理由． 【答案】解：四边形 AQRP 是平行四边形。理由如下： ​∵，都是等边三角形， ∴，AB=PB，PB=BC， ∴ 在和中， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 同理：． ∴四边形是平行四边形． 【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】根据等边三角形的性质准备条件，根据SAS证明，进而可得AQ=PR，同理可证出AP=RQ．根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可证得． 方法二：利用两组对角分别相等判定平行四边形 【例2-1】．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝2． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若BD⊥AB，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： 则∠CEA＝90°，CE∥BD， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∵∠BAD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴BD＝AB＝2， 由（1）可知，AD∥BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝2， ∴AE＝AB＋BE＝4， ∴AC＝． 故答案为：. 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠BAD＋∠ADC＝180°，再证明AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点C作CE⊥AB于点E，则∠E＝90°，CE∥BD，证明△ABD是等腰直角三角形，得BD＝AB＝2，再证明四边形CDBE是平行四边形，得BE＝CD＝2，CE＝BD＝2，则AE＝AB＋BE＝4，然后由勾股定理求出AC的长即可． 【变式2-1】．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行四边形的判定 【解析】【解答】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故答案为：D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案. 【变式2-2】．四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AD∥BC C．AB＝CD D．对角线互相平分 【答案】A 【知识点】平行四边形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，故B正确，不符合题意； AB=CD，故C正确，不符合题意； 对角线AC与BD互相平分，故D正确，不符合题意； 此时无法进一步判定平行四边形邻角的关系，即无法得出∠A=∠B，故A错误，符合题意. 故选：A. 【分析】根据平行四边形的判定及其性质逐一分析选项即可，即两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【变式2-3】．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M，N，E分别是PD，PC，CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）当AP＝2时，判断四边形PMEN是什么图形，并证明你的结论； （3）当四边形PMEN为菱形时，求AP的值． 【答案】（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线， ∴，∴四边形PMEN是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝4， 当AP＝2，BP＝8，在Rt△APD和Rt△BPC中 由勾股定理得：AD2＋AP2＝PD2，BC2＋BP2＝PC2， 即PD2＝20，PC2＝80，CD＝100 在△PCD中，DP2＋PC2＝CD2，∴∠DPC＝90° 即当AP＝2时，四边形PMEN是矩形． （3）解：∵M、N分别是PD、P的中点，∴PD＝2PM，PC＝2PN， ∵四边形PMEN是菱形，∴PM＝PN，∴PD＝PC， 在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC， ∴Rt△PAD≌Rt△PBC（HL），∴AP＝BP，∴； 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，再根据平行四边形的判定定理得出结论； （2）根据勾股定理及其逆定理求出=，再根据矩形的判定可得结论； （3）根据菱形和矩形的性质，证明，得到，进而可得答案． 方法三：利用一组对边且相等判定平行四边形 【例3-1】．如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AD∥CE， ∵CE=BC， ∴AD=CE， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴DE=AC． 【知识点】平行四边形的判定与性质 【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而有AD∥CE，进而由题目条件求出，即可得证四边形ADEC是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质得证结论. 【例3-2】．如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）证明∶四边形是平行四边形， ， 点E，点F分别是的中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， 又， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，再根据线段中点可得，再根据想四边形判定定理即可求出答案. （2）根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据平行四边形周长即可求出答案. 【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形. 【答案】证明：∵AD∥BC∴∠DAF=∠BCE∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE∵∠1=∠2∴△ADF≌△CBE∴AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定 【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，可以得∠DAF=∠BCE，再加上已知条件由ASA可以得出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可以得出AD=BC；由判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得证。 【变式3-2】．如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 【答案】（1）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ； （2）证明：四边形为平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形为平行四边形； （3）解：=2 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：（3）连接，，，如图所示： ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，进而进行角的运算即可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，，进而根据三角形中位线定理结合题意得到，，从而结合题意得到，，等量代换得到，，再根据平行四边形的判定即可求解； （3）连接，，，根据题意得到，，进而等量代换得到，再根据平行四边形的判定与性质得到，，从而结合题意得到，再求出BC，根据即可求解. 11．如图，在▱中，，分别是，的中点求证：． 证明：在▱中，，． ，分别是，的中点， ，． ． 又，即． 四边形是平行四边形． ． 【知识点】二次根式的加减法；平行四边形的性质；平行四边形的判定 【变式3-3】．如图，已知，AC、BD相交于点O，C是DE的中点，连接BE. （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）连接交于点，连接，若，求. 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ， 四边形ABEC是平行四边形； （2）解：由题意是的中点，由（1）得是的中点，而， 在中，，. 【知识点】平行四边形的判定与性质 【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，再根据中点得到，进而根据平行四边形的判定即可求解； （2）先根据题意是的中点，由（1）得是的中点，而，进而根据三角形中位线定理结合题意即可求解. 方法四：利用两组对边分别平行判定平行四边形 【例4-1】．如图， 在 中， 和 的平分线 分别与边 交于点 ． 求证： 四边形 是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC， ∴∠ADF=∠CFD. ∵BE，DF 分别平分∠ABC，∠ADC， ∴∠EBF=∠CFD， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形 DEBF 是平行四边形. 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定 【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∠ABC=∠ADC，再根据角平分线的性质证得∠EBF=∠CFD，可得BE//DF，即可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到结论。 【变式4-1】． 如图， 在 中， 分别是边 上的点， 且 ． （1） 求证： ． （2）连结 ， 若 ， 求 的度数． 【答案】（1）证明：∵▱ABCD ， ∴AD∥BC， ∴DE∥BF. ∵BE∥DF， ∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴BE=DF. （2）解：∵AD=DF，∠ADF=40°， ∴∠DAF=∠AFD=70°. ∵AD∥BC， ∴∠AFB=∠FAD=70°. 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，证明四边形BEDF 是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论. （2）根据等腰三角形的性质求得∠FAD的度数，再利用平行线的性质即可得到结论. 【变式4-2】．已知BD垂直平分AC，，． （1） 求证：四边形ABDF是平行四边形； （2） 若，，，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴，， 在与中， ∴（SSS），∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴，， 设，则，由勾股定理得， 即解得：， 即，∴，∴． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS 【解析】【分析】(1)先根据全等三角形的判定SSS证出，进而得到，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证出即可. (2)先根据平行四边形的性质得到BD=AF，AB=DF，再根据勾股定理求出BE，进而求出AE得到AC即可. 【变式4-3】．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当在中点，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由； （3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. （2）解：四边形是菱形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，在中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形， 理由如下：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】（1）先证出AC//DE，再结合MN//AB，证出四边形是平行四边形； （2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形； （3）先利用角的运算求出，再结合四边形是菱形，即可证出四边形是正方形． 【变式4-4】如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】C 【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解． 方法五：利用对角线互相平分判定平行四边形 【例5-1】．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF． 求证：四边形DEBF是平行四边形． 【答案】证明：连接BD，利用对角线互相平分来证明即可． 试题解析：证明：连接BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD（平行四边形的对角线互相平分） 又∵AE=CF ∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形. 【知识点】平行四边形的判定与性质 【解析】【解答】 证明：连接BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD（平行四边形的对角线互相平分） 又∵AE=CF ∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形. 【分析】分析题目，先根据平行四边形的性质得到OA=OC OB=OD，连接BD，再结合已知条件利用对角线互相平分证明结论. 【例5-2】．如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接AE，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求的长． 【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ， 是的中点， ． 同理：． ， 四边形是平行以边形； （2）解：由（1）可知：， ， ，， 根据勾股定理得： . . 在中，由勾股定理得： ， . 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定 【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质证明AO=CO，BO=DO，根据E，F分别是BO，OD的中点，证明OF=OE，从而根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形； （2）勾股定理求出线段AC的长度，得到AO的长，然后再根据勾股定理求出BO的长，即可求出答案 【变式5-1】．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形 在和中 又 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，OB=5， ∴BD=2OB=10， ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ． 【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得OB=OD，由二直线平行，内错角相等得∠BEO=∠DFO，从而由AAS判断出△BEO≌△DFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，进而根据对角线互相平分得四边形是平行四边形可得结论； （2）由平行四边形的对角线互相平分得BD=2OB=10，根据勾股定理的逆定理判断出∠BED=90°，然后根据有一个角是直角得平行四边形是矩形得四边形DEBF是矩形，最后根据矩形对角线相等可得EF的长. （1）解：四边形是平行四边形 在和中 又 四边形是平行四边形； （2） ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ． 【变式5-2】．如图， 已知 是平行四边形 中 边的中点， 是对角线， 连结 并延长，交 的延长线于点 ， 连结 ． 求证： （1） ． （2） 四边形 为平行四边形． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB∥CD. ∴∠ABE=∠ECF， 又∵E为BC的中点， ∴BE=CE. 又∠AEB=∠FEC， ∴△ABE≌△ FCE（ASA）， ∴AE=EF. （2）证明：由（1）可得AE =EF，BE =CE. ∴四边形 ABFC 为平行四边形. 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA 【变式5-3】．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE＝CD． （1）若∠DAE＝60°，求∠BAD的度数； （2）若BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB＝60° ∵BE＝CD，∴AB＝BE ∴∠BAE＝∠AEB＝60° ∴∠BAD＝∠BAE＋∠AEB＝120° （2）证明：∵AB＝BE，BF⊥AE，∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 ∴△ADF≌△ECF(ASA)，∴DF＝CF ∴四边形ACED是平行四边形 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，，利用平行线的性质可得∠DAE＝∠AEB＝60°，结合已知可得AB＝BE，利用等边对等角可得∠BAE＝∠AEB＝60°，再利用角的和差即可求解； （2）由等腰三角形三线合一的性质可得AF=EF，再证明△ADF≌△ECF(ASA)，可得DF＝CF，根据平行四边形的判定即证结论. 【变式5-4】．在四边形中，连结对角线，交于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，已知，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，AC=4， ，， ， ∴∠BCA=90°， ∵，， ， ， ． 【知识点】平行四边形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠DAE=∠BCE，然后利用全等三角形判定定理“ASA”证明，根据全等三角形对应边相等得BE=DE，从而证出结论； （2）根据平行四边形的性质得BE=DE，CE=AE=2，接下来利用勾股定理求出BC、BE的值，最后计算BD=2BE即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章平行四边形 微专题一 证明平行四边形的常用思路 一、判定方法 平行四边形的判定： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 方法总结 方法一：利用两组对边分别相等判定平行四边形 【例1-1】．如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，请说明：四边形ADEF为平行四边形． 【变式1-1】．如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且.求这个四边形停车位的面积. 【变式1-2】． 如图， 以 的三边为边在 的同一侧作等边 ， 等边 ， 等边 ，连结 ， 那么四边形 是平行四边形吗？ 若是， 请证明； 若不是，请说明理由． 方法二：利用两组对角分别相等判定平行四边形 【例2-1】．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝2． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若BD⊥AB，求AC的长． 【变式2-1】．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AD∥BC C．AB＝CD D．对角线互相平分 【变式2-3】．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M，N，E分别是PD，PC，CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）当AP＝2时，判断四边形PMEN是什么图形，并证明你的结论； （3）当四边形PMEN为菱形时，求AP的值． 方法三：利用一组对边且相等判定平行四边形 【例3-1】．如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 【例3-2】．如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求平行四边形的周长． 【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形. 【变式3-2】．如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 11．如图，在▱中，，分别是，的中点求证：． 【变式3-3】．如图，已知，AC、BD相交于点O，C是DE的中点，连接BE. （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）连接交于点，连接，若，求. 方法四：利用两组对边分别平行判定平行四边形 【例4-1】．如图， 在 中， 和 的平分线 分别与边 交于点 ． 求证： 四边形 是平行四边形． 【变式4-1】． 如图， 在 中， 分别是边 上的点， 且 ． （1） 求证： ． （2）连结 ， 若 ， 求 的度数． 【变式4-2】．已知BD垂直平分AC，，． （1） 求证：四边形ABDF是平行四边形； （2） 若，，，求AC的长． 【变式4-3】．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当在中点，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由； （3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【变式4-4】如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 方法五：利用对角线互相平分判定平行四边形 【例5-1】．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF． 求证：四边形DEBF是平行四边形． 【例5-2】．如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接AE，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求的长． 【变式5-1】．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【变式5-2】．如图， 已知 是平行四边形 中 边的中点， 是对角线， 连结 并延长，交 的延长线于点 ， 连结 ． 求证： （1） ． （2） 四边形 为平行四边形． 【变式5-3】．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE＝CD． （1）若∠DAE＝60°，求∠BAD的度数； （2）若BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【变式5-4】．在四边形中，连结对角线，交于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，已知，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$