立体几何初步知识点与题型总结讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何初步知识点与题型总结 立体几何初步知识点与题型总结 知识点一 基本立体图形及其直观图 【基础指数框架】 1.空间几何体 （1）旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球. ①圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱； ②圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；（若以直角三角边的斜边为旋转轴，则旋转一周形成两个共底的圆锥形成的组合体） ③圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台； ④球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体； （2）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，包括棱柱、棱锥、棱台. ①棱柱：上下底面为两个互相平行且全等的多边形，侧面均为平行四边形围成的几何体 ②棱锥：底面为多边形，侧面均为三角形围成的几何体 ③棱台：上下底面为两个互相平行且相似的多边形，侧面均为梯形围成的几何体（棱锥截出） 2.斜二测画法与直观图：利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法。利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是： （1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. （2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段. （3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，如图，就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图。其中横向线段,;纵向线段，;,，这与我们的直观观察是一致的. 【例题分析】 考点一 基本立体图形概念的辨析 1．（23-24高一下·云南昭通·期中·多选）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 2．（23-24高一下·广东广州·期中·多选）下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】ABD 【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确； 圆台平行于底面的截面是圆面，D正确； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确， 故选：ABD. 3．（23-24高一下·广东深圳·期中·多选）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BD 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确； 对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD 4．（23-24高一下·福建厦门·期中·多选）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【答案】AB 【详解】如图，，四边形为矩形， A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形. 在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱， 所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确； B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形. 所以“刍甍”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确； C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形. 所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误； D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误. 故选：AB. 5．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习·多选）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【详解】对于A，如图所示，若以腰旋转则形成的几何体不是圆台， 是圆锥与圆柱形成的组合体，故A项不正确； 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故B不正确； 对于C，如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫正棱锥，故C不正确； 对于D，由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故D正确. 故选：ABC 6．（24-25高二上·广西柳州·开学考试·多选）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 考点二 斜二测画法与直观图的作图与相关计算 1．（2025高三下·江苏扬州·学业考试）如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 2．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 3．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积与原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 4．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 5．（24-25高二下·上海·开学考试）用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 【答案】 【详解】在矩形中，，作出其斜二测直观图，如下图所示： 由题意可知或， 由斜二测画法可知，四边形是平行四边形， 故矩形的直观图的面积为（或）. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 知识点二 基本立体图形的表面积与体积 【基础指数框架】 1.常见空间几何体的表面积与体积 （1）常见几何体的体积 ① ② ③ ④ （2）常见旋转体的侧面积与表面积 ①圆柱的侧面积与表面积：； . ②圆锥的侧面积与表面积：； . ③圆台的侧面积与表面积：； . ④球的侧面积与表面积：. （3）常见多面体的侧面积与表面积 ①棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ②棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. ③棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 2.几类特殊的空间几何体 （1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. （3）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （4）正四面体：侧棱与底面棱长相等的正三棱锥. 【例题分析】 考向一 棱柱的表面积与体积 1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 3．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 【答案】D 【详解】如图，在长方体中，连接，， 因为，，， 所以， 所以， 所以该长方体的表面积 . 故选：D. 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 【答案】B 【详解】依题意，“城”的形状是底面为等腰梯形的直四棱柱， 其中等腰梯形的两底分别为2丈、4丈，高为5丈，因此底面积（平方丈） 直四棱柱的高为126.5丈，所以体积（立方丈）. 故选：B 5．（24-25高二上·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的中点分别为，如下图： 易知，则，由为的中点，则，可得， 设三棱柱与三棱柱的体积分别为，则， 设水的体积为，则， 在图1中，设水形成的三棱柱的高为，则，解得. 故选：D. 6．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】因为直三棱柱， 所以直三棱柱的体积为. 故选：D. 考向二 棱锥的表面积与体积 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【答案】C 【详解】 由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4， 则棱锥的高，斜高为， 侧面积为． 故选：C. 2．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 【答案】A 【详解】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：. 故选：. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为 . 【答案】/ 【详解】记该正四棱锥为，连结、，交点记为，连结， 由正棱锥的结构特征可知：O为S在底面的射影，为正四棱锥为的高， 因为正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则， 则底面积，， 因此， 所以该正四棱锥的体积为. 故答案为： 5．（24-25高二上·江西景德镇·期末）一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为 . 【答案】4 【详解】因为正四棱锥的底面周长为8 ， 所以正四棱锥的底面边长为2， 正四棱锥的底面积为 ， 因为正四棱锥的高为3， 正四棱锥的体积为 ， 故答案为：4 6．（2024·上海杨浦·一模）已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为 . 【答案】 【详解】如图，正四棱锥，正方形的对角线相交于点，连接， 则⊥平面， 因为平面，所以⊥， 其中， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故答案为： 考向三 棱台的表面积与体积 1．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【答案】C 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 3．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【答案】B 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 4．（2025·河南·一模）已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】. 故选：B. 5．（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm， 如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为， 故第二个正四棱台的体积为. 故选：C. 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（    ）． A．15880 B．22380 C．47640 D．67140 【答案】B 【详解】由题意，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m， 则其体积为. 故选：B. 考向四 圆柱的表面积与体积 1．（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆柱的底面半径，所以母线长， 所以圆柱的表面积为. 故选：D 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：. 故选：. 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由几何体的直观图知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示， 将圆柱补全，并将圆柱从点处水平分成上，下两部分， 由图知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的， 所以该几何体的体积． 故选：B 4．（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为2， 所以圆柱的侧面积. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期末）若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱侧面积为，所以， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 考向五 圆锥的表面积与体积 1．（2025·四川宜宾·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 2．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径，母线， 所以圆锥的表面积. 故选：D. 3．（2025·新疆·二模）已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，得， 又表面积，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：B． 4．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　） A．2 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 则，解得或（舍）， 故选：A 5．（2025·辽宁·一模）已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：A. 6．（2025·陕西咸阳·一模）已知圆锥的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为， 则，解得， 所以该圆锥的表面积为. 故选：A. 7．（2025·陕西·一模）已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由题意知，所以，又， 所以，所以圆锥的体积． 故选：D 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【详解】由题设，圆锥的侧面积为. 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【详解】由题可知圆锥母线为， 所以其侧面积为. 故答案为： 10．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【详解】由题意知：，解得， 所以该圆锥的高. 故答案为：. 考向六 圆台的表面积与体积 1．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为， 则， 所以， 所以， 所以圆台的高为 故选： 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台表面积. 故选：B 3．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 4．（2025·广东广州·模拟预测）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【详解】作圆台的轴截面如图： 梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接， 则中，因为，所以，，所以. 所以. 所以灯罩的侧面积为：. 所以100个灯罩的外表面面积为：. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克. 故选：C 5．（2025·广东广州·一模）已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. 6．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】做圆台的轴截面，如图：    由题意得圆台的上，下底面的半径分别为2，6， 设圆台的母线长为，高为，则该圆台的侧面积 ，解得， 所以. 故选：C. 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知圆锥的底面半径为6，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为，则该圆台的表面积为 ． 【答案】 【详解】设圆台上底面半径为，高为，则，解得， 由圆台的体积公式得，解得， 所以圆台的母线长， 则圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为． 故答案为： 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为 . 【答案】 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的内切圆是圆台内切球的截面大圆， 圆台上下底面圆心分别是梯形上下底的中点，令圆切腰于， 则，过作于，则， 由，得，解得， 因此圆台母线，所以圆台侧面积. 故答案为： 9．（2024·上海徐汇·一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 . 【答案】 【详解】设上面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为高为， 根据圆台的母线长公式，带入数值计算得到； 设下面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为 由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到，带入数值计算得到； 所以该花盆上､下两部分母线长的总和为. 故答案为： 10．（2024·陕西商洛·一模）如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是 平方分米． 【答案】 【详解】由题可知该圆台形水泥墩的母线长分米， 则该水泥墩的表面积为平方分米． 故答案为：. 考向七 球的表面积与体积 1．（2025·青海海东·二模）如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆台水杯上底面圆半径为，下底面半径为， 当杯底水平放置时，液面半径为， 为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示： 因为此时杯中水的高度为，故为； 整个水杯盛满水时的体积为：， 未放置小球前水的体积为：， 又小球体积为； 故，即，解得. 故选：D. 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 考向八 组合体的表面积与体积 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】B 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径和高均为米，且半球的半径为米， 因此，此鼎的容积为立方米. 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】相邻两个氟原子间的距离为2a， 故正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形， 故正八面体的表面积为：. 故选：A. 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）图1是1963年在陕西宝鸡贾村出口的一口“何尊”（西周青铜酒器），其高约40厘米，器口直径约30厘米．何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字（图2），其形状可视为一个圆柱和一个圆台构成的组合体，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，且直径为18厘米，圆柱的高为24厘米，则该组合体的体积约为（   ） A．3576π B．3744π C．4296π D．4824π 【答案】C 【详解】 由题意可知圆台的高为， 所以圆柱的体积约为， 圆台的体积约为， 故组合体的体积大约为． 故选：C． 4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为， 长方体的体积为，则正四棱锥体积为， 所以正四棱锥的高为，所以正四棱锥斜面上的高， 所以正四棱锥的一个侧面积为， 所以组合体的表面积为，故B正确. 故选：B. 5．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为，圆锥与圆台的高分别为和，则此组合体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，则， 而， 故，所以外接球的表面积为. 故选：A. 6．（2024·陕西·三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：的值取3，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中）， 则，，， 所以， 故圆台部分的侧面积为， 圆柱部分的侧面积为， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为. 故选：B. 知识点三 外接球与内切球问题 【基础指数框架】 1.长方体模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：长方体的长宽高、、. （3）模型变形： ①图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形． ②图4中，． 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 2.直棱柱模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：棱柱的高，底面外接圆半径. （3）模型变形： 立着放的三棱锥一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为，底面三角形外接圆半径设为，可以求出，则； 3.正棱锥模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：棱柱的高，底面外接圆半径. 4.正棱台模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 5.面面垂直模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 6.二面角模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 7.外接圆半径的求法 （1）利用正弦定理； （2）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，等边三角形外接圆半径等于. 8.内切球的求解 （1）定义：内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. （2）求解：作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. （3）常见几何体的内切球 ①棱长为的正方体： ②棱长为的正四面体： ③体积为，表面积为的棱锥： ④底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥： 【例题分析】 考向一 外接球问题：长方体模型 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将鳖臑补全成长方体，如图， 则此四面体的外接球的半径为， 其外接球的表面积为. 故选：B. 2．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知长方体的体对角线长为, 故该长方体的外接球的半径为， 该长方体的外接球表面积为， 故选：D 3．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 4．（2022·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 5．（22-23高二下·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，将四棱锥补成正方体，正方体体对角线长为， 则四棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球半径为， 所以四棱锥的外接球表面积为. 故选：A. 考向二 外接球问题：正棱柱模型 1．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在三棱锥中，，，正的边长为1， 则，即有，同理，而平面， 于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为， 则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则， 而，则四边形是矩形，， 所以球半径，表面积. 故选：B 2．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设直三棱柱高为，因为， 所以斜边，底面三角形外接圆半径， 由题有外接球表面积，可得，所以， 所以三棱柱体积为. 故选：D. 3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 4．（2025·福建泉州·一模）已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设圆柱的母线长为，则，解得. 故选：B. 5．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 6．（2025·陕西宝鸡·二模）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点为, ,连接 ,取的中点, 由于且三棱柱为直三棱柱， 故为外接球的球心， ,, 故外接球的表面积为, 故选：C 考向三 外接球问题：正棱锥模型 1．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正三棱锥的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD， 显然球心O在直线PM上，设球O的半径为R，因为， 所以球心O到底面ABC的距离为，， 由，得，， 所以球心O到平面ABC的距离为． 故选：A 2．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示，    设正方体的棱长为，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 考向四 外接球问题：正棱台模型 1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆台轴截面如下图示，圆为圆台外接球的截面，为圆台上下底面的圆心， 根据已知，圆台的高， 设球体半径为，则，可得，则. 故选：C 2．（24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 3．（2025·江苏南通·一模）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 4．（2025·河北沧州·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四棱台上底面的中心为，下底面的中心为，因为，，所以，. 过作于，易得， 设该正四棱台外接球的球心为O，则O在直线上，，设，则， 设外接球的半径为R，则 ，即，解得，则，所以外接球的表面积为. 故选：B. 5．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台的上底面的半径为r，母线长为l，则圆台的高为， 由圆台的侧面积为，体积为，得， 解得，圆台的高，设圆台的外接球的半径为R， 球心到圆台两底面圆的距离分别为，因此，解得， 或，无解，所以圆台的外接球的表面积为． 故选：D 6．（24-25高三下·安徽·阶段练习）在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设及下图，知， 若是在面上投影，易知在上，且面， 所以， 若外接球球心到面的距离为，球体半径为， 则，且，可得（负值舍）， 所以，故正四棱台的外接球的体积为. 故选：C 7．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 【答案】或. 【详解】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得. 取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则， 可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，. 设上、下底面正方形的边长分别为，， 则，，解得，，故，. 设， 当在线段上时，则， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为； 当在的延长线上时，， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为. 综上所述：该正四棱台的体积为或. 故答案为：或. 考向五 外接球问题：面面垂直模型 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取中点，连接 ，故， 由于平面平面，且交线为，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上， 设球半径为，则， 解得， 故表面积为， 故选：A 2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为面面，面面，面， 所以面， 同理：面， 设等边△SDA的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 方法1：等边△SDA的外接圆半径 方法2：在等边△SDA中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C. 3．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心， 则平面． 因为二面角的大小为，即平面平面， 设为线段的中点，外接球的半径为， 连接， 过作于点， 易知为的中心，则， 因为， 故，， 在中，， 故，则． 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 考向六 外接球问题：二面角模型 1．（24-25高三上·陕西宝鸡·阶段练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，设正三角形与的中心分别为，根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正三角形与的边长均为2，故，故.易得，故，故，又，故球的半径，故球的表面积为 故选：B 2．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）已知空间四边形ABCD，，，，二面角A-BD-C是，若A､B､C､D四点在同一球面上，则该球的表面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】C 【详解】设直角三角形BCD外接圆圆心为，则为斜边BC的中点. 设等边三角形ABD外接圆圆心为，则为等边三角形ABD的中心.连接延长交BD于E点，分别过，点作平面BCD与平面ABD的垂线，交于O点，则O点即为该外接球的球心. 连接，OE. 在等边三角形ABD中，.因为 为等边三角形ABD的中心，所以E为BD的中点，且,所以，. 在直角三角形BCD中，，，为中位线，所以. 因为,所以为二面角的平面角，所以.如图示： 因为,,，所以. 因为，所以，所以 所以该外接球. 所以该球的表面积是. 故选：C 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在四面体中，，二面角为，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】解：作空间四边形，取的中点，连接，，如下图所示， 由已知可得，，为等边三角形，则，， ∴为二面角的平面角，大小为， 设的外心为，的外心为，连接， 分别过，作所在面的垂线，相交于，则为四面体的外接球的球心， 由已知求得， 在中，， ∴， 又， 所以为等边三角形，所以， 故四面体的外接球的半径， ∴四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 考向七 内切球问题 1．（24-25高二上·贵州·阶段练习）正方体的棱长为2，其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析正方体与其内切球的几何关系得，内切球直径与正方体的棱长相等， 即半径，所以球体表面积为. 故选：C. 2．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面周长，所以圆锥的底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如下：    根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，也即为等腰的内切圆， 即，，，， 在中，，由，，则， 在中，，即， 可得，解得， 所以内切球的表面积. 故选：A. 4．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积. 故选：C 5．（23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 6．（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 7．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径， 记内切球和外接球的半径分别为和， 则 所以其外接球与内切球的表面积之比为. 故选：A． 知识点四 点、直线、平面之间的位置关系 【基础指数框架】 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 证明四点共面：证明两点连线所成两条直线平行. 证明三点共线：证明两点连线是一个面的交线，另一个点在这个面的交线上. 证明三线共点：证明其中一线是另外两线所在平面的交线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 2．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 即三点共线.    （2）连接，则与相似， 所以， 所以， 在中，作，交于点，则， 所以. 4．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且，所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 5．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. （2）   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 知识点五 线面平行的判定与性质 【基础指数框架】 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)线面平行与面面平行的性质 2.线面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 平 行 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 【例题分析】 考向一 线面平行的判定 1．（24-25高二下·四川眉山·开学考试·节选）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，N分别为AB，PC的中点. (1)求证：平面PAD； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，，由，分别为，的中点， ，又四边形是正方形，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面 2．（2025·河北秦皇岛·一模·节选）如图，直三棱柱中，，，M，D分别为，的中点. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）设的中点为，连接. 因为M，D分别为，的中点， 所以，且. 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 所以平面. 3．（2025·安徽黄山·一模·节选）如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． (1)当时，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接交于点，连接， 由 知，，∴， ∵，∴，∴， 又平面，平面，∴平面． 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习·节选）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点， 又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE. 5．（2025·贵州毕节·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且． (1)求证：平面ACE； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：连接BD交AC于点F，连接EF， 底面ABCD是菱形，是BD的中点， 又E是PD的中点，， 平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE； 考向二 线面平行的性质 1．（24-25高三下·北京·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，为上一点，且满足．    (1)设平面平面，求证：； 【答案】(1)证明见详解 【详解】（1）因为四边形为菱形，则∥， 且平面，平面，可知∥平面， 又因为平面平面，平面， 所以∥. 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测·节选）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，平面平面． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：四边形ABCD为正方形 又平面PCD，平面PCD 平面PCD 又平面PAB，平面平面 3．（24-25高三下·山东·开学考试·节选）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为 (1)设平面CAB与平面的交线为l，证明： 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，又因为平面，平面， 所以平面，因为平面CAB，平面平面，所以 4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模·节选）如图，和都垂直于平面，且，是线段上一点. (1)若平面，证明是的中点； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）过点作交于点，连接， 则，即、、、四点共面， ∵平面，平面, 平面平面， ∴，又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴是的中点 知识点六 面面平行的判定与性质 【基础指数框架】 1. 面面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 平 行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． （1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． （2）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. 【例题分析】 考向一 面面平行的判定 1．（24-25高三上·安徽亳州·期末·节选）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 又平面，不在平面内， 所以平面. 因为，平面，不在平面内，所以平面. 又，平面,所以平面平面； 2．（24-25高三上·山东菏泽·期末·节选）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为在中，E为的中点，O为中点，所以， 而平面平面，所以平面. 因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以而平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中·节选）如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由直三棱柱性质，以及D，E分别是，的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 可得， 又平面，平面，所以平面； 又易知，即四边形为平行四边形, 可得， 又平面，平面，所以平面； 显然平面， 所以平面平面； 4．（24-25高三上·湖北·期中·节选）已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为，故， 而平面，平面，故平面. 取线段的中点，连接，， 则，，故， 故四边形为平行四边形，则. 而平面，平面，故平面. 而，平面，平面， 故平面平面. 5．（24-25高二上·四川达州·期中·节选）三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； 【答案】(1)见解析 【详解】（1）如图，连结， 因为点分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面，且，平面 所以平面平面    6．（24-25高三上·宁夏·期中·节选）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由已知为直四棱柱， 可知， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面， ，且，平面， 平面平面； 考向二 面面平行的性质 1．（24-25高三下·上海·阶段练习·节选）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．    (1)求证：平面PBC； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习·节选）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）法一：取的中点，连接， 在三棱柱，且，四边形为平行四边形， 且， 分别为的中点， 且，且，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，平面． 法二：证明：如图，取中点，连接，   分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 3．（24-25高二上·北京昌平·期末·节选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）法一： 在正方体中， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以.   法二： 在正方体中， 因为平面平面，平面， 所以平面.                               又因为平面，平面平面， 所以. 4．（24-25高三上·福建·期中·节选）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.    (1)设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】(1)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：平面∥平面， 且平面平面，平面平面， 所以. 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·节选）如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为正方形，的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面内将正方形绕点逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由正方体性质知平面，以为原点，以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则平面的法向量为， 而，故， 故，而平面，故平面. 知识点七 线面垂直的判定与性质 【基础指数框架】 1.线线垂直的判定 (1)等腰三角形中线 (2)勾股逆定理 (3)菱形对角线 (4)矩形邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量的数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 垂 直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习·节选）如图，四棱锥的底面为菱形，，且侧面是边长为2的等边三角形，取的中点，连接.    (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）证明：因为侧面是等边三角形，为的中点，所以， 因为四边形为菱形，且，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 2．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习·节选）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； 3．（2025·青海海东·二模·节选）如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.    (1)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在梯形中，，，则， 在中，，， 则，，而，平面， 所以平面. 4．（2025·浙江温州·二模·节选）如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）作中点，连接，则， 又，所以， 又因为是正三角形，且为中点，因此， 从而平面， 又平面，所以． 5．（2025·山东烟台·一模·节选）如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由平面，平面，则， 又点在以为直径的半圆的圆周上，则， 由且都在面内，则面， 由面，故； 6．（24-25高二下·湖南·开学考试·节选）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，. (1)求证：平面PBD； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为，，，所以四边形ABCD为直角梯形， 取AB中点E，连接DE，则，易知四边形BCDE为正方形， 则，， 所以，所以 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面PBD，平面PBD，所以平面PBD. 7．（2025·广东·一模·节选）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）    取中点，连接， 因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面． 8．（24-25高二下·湖北十堰·阶段练习·节选）如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在中，由，，则， 由，为公共边，则， 所以，由图可知， 则，即，， 因为，平面，所以平面. 9．（24-25高三下·天津·阶段练习·节选）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. (1)求证: 平面; 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末·节选）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且，所以. 知识点八 面面垂直的判定与性质 【基础指数框架】 1.面面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 垂 直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 【例题分析】 考向一 面面垂直的判定 1．（2025·广东深圳·模拟预测·节选）在三棱锥中，，，，为的中点，为靠近的三等分点.    (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在中，，，，则， 所以 在中，，， 根据余弦定理，， 解得，则有，所以 同理，在中，，，，则， 所以 在中，，， 根据余弦定理，， 解得，则有，所以 由且平面， 平面. 又平面， 平面平面. 2．（2025·福建·模拟预测·节选）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）证明：因为在中，, 由正弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，所以， 在中，， 所以，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 3．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试·节选）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． (1)证明：平面平面ABCD． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：取棱CD的中点G，连接EG， 易证四边形CFEG为平行四边形，则， 因为，所以，所以． 因为四边形ABCD是矩形，所以． 因为AD，平面ADE，且，所以平面ADE． 因为平面ABCD，所以平面平面ABCD． 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习·节选）如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且，点为的中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接，因为四边形是菱形，且，则是等边三角形， 又因点为的中点，则，又，则, 因平面，平面，则平面， 又平面，则，故， 因为是等边三角形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面. 5．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习·节选）如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为是平面内以为直径的半圆的三等分点， 所以，所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面PBC． 6．（2025·山东·一模·节选）如图，在四棱锥中，，，，，E是棱上的中点． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取中点为O，连接，，如图， 因为，所以，， 又因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 考向二 面面垂直的性质 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习·节选）如图，四棱锥中，，平面平面，，，，.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）方法一：取的中点为，取的中点为，并连接，，，如图所示.    因为为等边三角形，故，. 又平面平面，且平面平面，平面， 故平面，而平面，从而. 又，，，故，又，且为的中点，故有. 又，且，平面，故平面，平面， 从而，又，且，平面，故平面， 方法二：取的中点为，并连接，，如图所示.    因为为等边三角形，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 故平面，而平面，从而，， 又，，，故，从而可得. 在和中，由， 得，解得，故由，，，知， 又，且，平面，故平面， 2．（2025·山东济宁·一模·节选）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明过程见解析 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，，且，平面平面. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）连接，由得， 由，，， 得， 所以，， 所以，，即，， 由平面平面平面，平面平面，， 得平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面. 4．（2025·江苏宿迁·二模·节选）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）因为为的中点，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以． 因为为的中点，所以． 5．（24-25高三下·北京海淀·开学考试·节选）如图，在多面体中，为等边三角形，，，.点为的中点，平面平面； (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）平面平面,且交线为， ,平面，故平面, 平面，故平面平面， 由于平面平面， 为等边三角形，为的中点,故, 平面，故平面， 6．（2025·福建厦门·二模·节选）如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在三棱台中，取的中点，连接， 由，得，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，而平面，则， 又，则四边形是菱形，， 而平面，因此平面，又平面， 所以. 知识点九 空间角度问题 【基础指数框架】 1.异面直线成角 步骤：（1）证线线平行，转化为相交直线所成角； （2）找锐角（或直角）作为夹角； （3）利用余弦定理或三角函数求解. 注意：取值范围：. 2.表示角的方法： （1）在中，为直角，则,,. （2）余弦定理：在中，，. 3.直线与平面所成之角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面重合，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂足，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的夹角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角的范围是． 4.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形 如图：在二面角中，为交线上一点，，，且，，则为二面角的平面角; 取值范围：面与面的夹角的取值范围为. 【例题分析】 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2.求： (1)直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值； (2)异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值． 【答案】(1) (2). 【详解】解：（1） 因为AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1. 因为ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面A1B1C1. 又B1C1⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥B1C1，CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以∠B1AC1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角． 在Rt△B1AC1中，AC1＝2，B1C1＝2，所以tan ∠B1AC1＝， 所以直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为. （2） 因为AC∥A1C1，所以∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角或其补角．如图，连接B1C， 在△B1AC中，AB1＝2，B1C＝2，AC＝2， 所以cos ∠B1AC＝＝， 所以异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为. 2．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图，已知长方体中，，．    (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，直线，平面， 由异面直线的判定定理可得与是异面直线． （2）如图，连接，    因为，，可知四边形为平行四边形， 则，即为异面直线与所成的角（或其补角）， 连接，由已知可得，， 则． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 3．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）已知P为所在平面外一点，，，E，F分别是PA和BC的中点． (1)求证：EF与PC是异面直线； (2)求EF与PC所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：用反证法，设EF与PC不是异面直线， 则EF与PC共面，从而CF与PE共面，即AP与BC共面， ∴A、B、C、P在同一平面内， 这与P是所在平面外的一点相矛盾． 故直线EF与BD是异面直线． （2）解：取AC的中点G，连接EG、FG， 由于E、F分别是PA、BC的中点， 则，且，， ∴相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与PC所成的角． 由，， 可得，， 故在等腰中，有， 即异面直线EF与PC所成的角为. 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是边长为4的正三角形，为棱的中点，平面． (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析; (2). 【详解】（1）由于底面为矩形，所以， 又有平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由于，即为异面直线和所成角所成的角．     因为异面直线和所成角的正切值为， 由于平面，所以， 所以在中，，所以， 由于是边长为4的正三角形，取的中点，连接， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，． 取的中点，连接，，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，     在中，，所以，      所以为二面角的平面角. 5．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥， 由，得，则，取的中点，连接，， 则，且，四边形为平行四边形. 因此，又平面，平面， 所以平面.    （2）①由（1）得，， 又等腰梯形的高，其面积， 设到平面距离为，则，得， 而，平面，平面，则平面， 因此点D到平面的距离等于点C到平面的距离， 所以平面. ②在等腰梯形中，过作于，连接，，， 由①知，平面，则是与平面的夹角， ，则， 所以与平面夹角的正弦值. 7．（24-25高一上·上海嘉定·期中）某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图所示），底面ABCD是矩形，米，米，屋脊EF到底面ABCD的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH与EF垂直且与底面的交线为GH，米，FO为立柱且O是GH的中点． (1)求斜梁FB与底面ABCD所成角的正切值； (2)求此楔体ABCDEF的体积． 【答案】(1)； (2)350立方米. 【详解】（1）如下图（右侧为俯视图），连接，由为立柱，则面， 所以是斜梁FB与底面ABCD所成角， 而，则， 在中，. （2）由题设，楔体两端成对称结构，钢架所在平面与垂直， 结合俯视图知，可将楔体分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 其中直三棱柱体积立方米， 两个四棱锥体积立方米， 所以此楔体ABCDEF的体积为350立方米. 8．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：因为平面ABC，∥， 所以平面ABC，又因为平面ABC，所以， 又因为，E为BC的中点，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）解：取中点，连接，如图所示： 则有∥，且， 由题意可知∥，且， 所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 由（1）可知平面， 所以平面，面，则， 所以即为直线与平面所成角， 又因为，， 易知为等腰直角三角形， 所以， 所以， 又因为， 在中，, 所以, 在中，， 又因为，所以. 即直线与平面所成角为. 9．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【答案】(1)90° (2)45°． 【详解】（1）平面，面， ，， 为二面角的平面角． 四边形是正方形，， 二面角平面角的度数为90°． （2）平面，面， ，． 为二面角的平面角． 四边形为正方形，． 即二面角平面角的度数为45°． 10．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 11．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点M，连接，. 在正三角形中，因为M为的中点，所以. 因为，，， 所以，所以. 因为M为的中点，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）解：过M作的垂线，垂足为N，连接. 在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，，， 所以，所以二面角的正弦值为. 知识点十 空间距离问题 【基础指数框架】 1.点到平面距离 （1）定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线 段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个 点到该平面的距离 （2）等体积法：等体积法就是通过变换三棱锥(或四面体)的顶点、底面来求三棱锥(或四面体)的体积的方法。等体积法就是一个几何体利用不同的底面积和高来求体积，利用体积相等，可以求出某一底面所对应的高或某一条高所对应的底面积。立体几何中一般用来求点到面的距离。等体积法就是要类比等面积法。 （3）求三角形面积的常见方法： 2.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这 个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3.平面到平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平 面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做 这两个平行平面间的距离 【例题分析】 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且，F为BE的中点． (1)求点B到平面ADF的距离； (2)求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在平面ACDE内，过点D向EA做垂线，垂足记为G，又， ， 在直角中，， 在直角中，， ，又F为BE的中点， ，又，则， 平面ADF， 平面ADF，即点B到平面ADF的距离为线段BF的长， 因为，所以． （2）如图，取AC的中点O，连接BO，则， 以O为坐标原点，AO，BO分别为x，y轴，过O作平行于AE的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，易知是平面ABC的一个法向量， 设平面BDE的一个法向量为，则，即， 令，则，所以，则， 所以平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值为． 2．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以，而，在面内， 则面，面，故，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又，平面， 所以平面，又， 所以三棱锥的体积； （2）在中，由，， 所以边上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 所以，由（1）可得，解得. 所以点到平面的距离. 4．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证法一：因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                                              因为平行四边形，所以∥， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 证法二：因为，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平行四边形，所以∥， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 连接交于点，连接， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 因为为中点，所以为的中点， 因为，，所以， 在中，，，所以，且， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离，因为， 所以到平面的距离为.    5．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别为，，，中点．    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线到平面的距离为． 【详解】（1）如图，连接交与点，，则是的中点， 因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， 所以， 所以点到平面的距离为， 又因为，，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何初步知识点与题型总结 立体几何初步知识点与题型总结 知识点一 基本立体图形及其直观图 【基础指数框架】 1.空间几何体 （1）旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球. ①圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱； ②圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；（若以直角三角边的斜边为旋转轴，则旋转一周形成两个共底的圆锥形成的组合体） ③圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台； ④球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体； （2）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，包括棱柱、棱锥、棱台. ①棱柱：上下底面为两个互相平行且全等的多边形，侧面均为平行四边形围成的几何体 ②棱锥：底面为多边形，侧面均为三角形围成的几何体 ③棱台：上下底面为两个互相平行且相似的多边形，侧面均为梯形围成的几何体（棱锥截出） 2.斜二测画法与直观图：利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法。利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是： （1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. （2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段. （3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，如图，就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图。其中横向线段,;纵向线段，;,，这与我们的直观观察是一致的. 【例题分析】 考点一 基本立体图形概念的辨析 1．（23-24高一下·云南昭通·期中·多选）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 2．（23-24高一下·广东广州·期中·多选）下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 3．（23-24高一下·广东深圳·期中·多选）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 4．（23-24高一下·福建厦门·期中·多选）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 5．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习·多选）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 6．（24-25高二上·广西柳州·开学考试·多选）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 考点二 斜二测画法与直观图的作图与相关计算 1．（2025高三下·江苏扬州·学业考试）如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 3．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 4．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 5．（24-25高二下·上海·开学考试）用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 6．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 7．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 知识点二 基本立体图形的表面积与体积 【基础指数框架】 1.常见空间几何体的表面积与体积 （1）常见几何体的体积 ① ② ③ ④ （2）常见旋转体的侧面积与表面积 ①圆柱的侧面积与表面积：； . ②圆锥的侧面积与表面积：； . ③圆台的侧面积与表面积：； . ④球的侧面积与表面积：. （3）常见多面体的侧面积与表面积 ①棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ②棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. ③棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 2.几类特殊的空间几何体 （1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. （3）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （4）正四面体：侧棱与底面棱长相等的正三棱锥. 【例题分析】 考向一 棱柱的表面积与体积 1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 5．（24-25高二上·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 考向二 棱锥的表面积与体积 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 2．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为 . 5．（24-25高二上·江西景德镇·期末）一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为 . 6．（2024·上海杨浦·一模）已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为 . 考向三 棱台的表面积与体积 1．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 3．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 4．（2025·河南·一模）已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 5．（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（    ）． A．15880 B．22380 C．47640 D．67140 考向四 圆柱的表面积与体积 1．（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 5．（24-25高二上·上海·期末）若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 考向五 圆锥的表面积与体积 1．（2025·四川宜宾·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 2．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·新疆·二模）已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　） A．2 B． C．1 D．2 5．（2025·辽宁·一模）已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西咸阳·一模）已知圆锥的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（   ）． A． B． C． D． 7．（2025·陕西·一模）已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，则该圆锥的侧面积为 . 9．（24-25高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 10．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为 . 考向六 圆台的表面积与体积 1．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 5．（2025·广东广州·一模）已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知圆锥的底面半径为6，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为，则该圆台的表面积为 ． 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为 . 9．（2024·上海徐汇·一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 . 10．（2024·陕西商洛·一模）如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是 平方分米． 考向七 球的表面积与体积 1．（2025·青海海东·二模）如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知球的体积为，则球的表面积为 ． 考向八 组合体的表面积与体积 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）图1是1963年在陕西宝鸡贾村出口的一口“何尊”（西周青铜酒器），其高约40厘米，器口直径约30厘米．何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字（图2），其形状可视为一个圆柱和一个圆台构成的组合体，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，且直径为18厘米，圆柱的高为24厘米，则该组合体的体积约为（   ） A．3576π B．3744π C．4296π D．4824π 4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为，圆锥与圆台的高分别为和，则此组合体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西·三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：的值取3，） A． B． C． D． 知识点三 外接球与内切球问题 【基础指数框架】 1.长方体模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：长方体的长宽高、、. （3）模型变形： ①图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形． ②图4中，． 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 2.直棱柱模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：棱柱的高，底面外接圆半径. （3）模型变形： 立着放的三棱锥一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为，底面三角形外接圆半径设为，可以求出，则； 3.正棱锥模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：棱柱的高，底面外接圆半径. 4.正棱台模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 5.面面垂直模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 6.二面角模型 （1）计算公式：. （2）关键数据：为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 7.外接圆半径的求法 （1）利用正弦定理； （2）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，等边三角形外接圆半径等于. 8.内切球的求解 （1）定义：内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. （2）求解：作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. （3）常见几何体的内切球 ①棱长为的正方体： ②棱长为的正四面体： ③体积为，表面积为的棱锥： ④底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥： 【例题分析】 考向一 外接球问题：长方体模型 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 考向二 外接球问题：正棱柱模型 1．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·一模）已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西宝鸡·二模）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 考向三 外接球问题：正棱锥模型 1．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 考向四 外接球问题：正棱台模型 1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·一模）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·安徽·阶段练习）在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 考向五 外接球问题：面面垂直模型 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 考向六 外接球问题：二面角模型 1．（24-25高三上·陕西宝鸡·阶段练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）已知空间四边形ABCD，，，，二面角A-BD-C是，若A､B､C､D四点在同一球面上，则该球的表面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在四面体中，，二面角为 ，则四面体的外接球的表面积为 ． 考向七 内切球问题 1．（24-25高二上·贵州·阶段练习）正方体的棱长为2，其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 知识点四 点、直线、平面之间的位置关系 【基础指数框架】 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 证明四点共面：证明两点连线所成两条直线平行. 证明三点共线：证明两点连线是一个面的交线，另一个点在这个面的交线上. 证明三线共点：证明其中一线是另外两线所在平面的交线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 2．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在长方体中，是和的交点，与平面交于点. (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 4．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.   (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 5．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证： (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 知识点五 线面平行的判定与性质 【基础指数框架】 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)线面平行与面面平行的性质 2.线面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 平 行 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 【例题分析】 考向一 线面平行的判定 1．（24-25高二下·四川眉山·开学考试·节选）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，N分别为AB，PC的中点. (1)求证：平面PAD； 2．（2025·河北秦皇岛·一模·节选）如图，直三棱柱中，，，M，D分别为，的中点. (1)证明：平面； 3．（2025·安徽黄山·一模·节选）如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． (1)当时，求证：平面； 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习·节选）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； 5．（2025·贵州毕节·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且． (1)求证：平面ACE； 考向二 线面平行的性质 1．（24-25高三下·北京·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，为上一点，且满足． (1)设平面平面，求证：； 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测·节选）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，平面平面． (1)求证：； 3．（24-25高三下·山东·开学考试·节选）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为 (1)设平面CAB与平面的交线为l，证明： 4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模·节选）如图，和都垂直于平面，且，是线段上一点. (1)若平面，证明是的中点； 知识点六 面面平行的判定与性质 【基础指数框架】 1. 面面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 平 行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． （1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． （2）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. 【例题分析】 考向一 面面平行的判定 1．（24-25高三上·安徽亳州·期末·节选）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； 2．（24-25高三上·山东菏泽·期末·节选）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中·节选）如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点. (1)证明：平面平面； 4．（24-25高三上·湖北·期中·节选）已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点. (1)求证：平面平面； 5．（24-25高二上·四川达州·期中·节选）三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点. (1)证明：平面平面； 6．（24-25高三上·宁夏·期中·节选）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； 考向二 面面平行的性质 1．（24-25高三下·上海·阶段练习·节选）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． (1)求证：平面PBC； 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习·节选）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. (1)求证：平面； 3．（24-25高二上·北京昌平·期末·节选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； 4．（24-25高三上·福建·期中·节选）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点. (1)设平面与平面的交线为，求证：； 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·节选）如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为正方形，的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面内将正方形绕点逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体. (1)证明：平面； 知识点七 线面垂直的判定与性质 【基础指数框架】 1.线线垂直的判定 (1)等腰三角形中线 (2)勾股逆定理 (3)菱形对角线 (4)矩形邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量的数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 垂 直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习·节选）如图，四棱锥的底面为菱形，，且侧面是边长为2的等边三角形，取的中点，连接. (1)证明：平面； 2．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习·节选）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； 3．（2025·青海海东·二模·节选）如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点. (1)证明：平面. 4．（2025·浙江温州·二模·节选）如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． (1)求证：； 5．（2025·山东烟台·一模·节选）如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， (1)求证：； 6．（24-25高二下·湖南·开学考试·节选）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，. (1)求证：平面PBD； 7．（2025·广东·一模·节选）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； 8．（24-25高二下·湖北十堰·阶段练习·节选）如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面； 9．（24-25高三下·天津·阶段练习·节选）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. (1)求证: 平面; 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末·节选）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； 知识点八 面面垂直的判定与性质 【基础指数框架】 1.面面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 垂 直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 【例题分析】 考向一 面面垂直的判定 1．（2025·广东深圳·模拟预测·节选）在三棱锥中，，，，为的中点，为靠近的三等分点. (1)求证：平面平面； 2．（2025·福建·模拟预测·节选）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； 3．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试·节选）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． (1)证明：平面平面ABCD． 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习·节选）如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且，点为的中点. (1)证明：平面平面； 5．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习·节选）如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点． (1)证明：平面平面； 6．（2025·山东·一模·节选）如图，在四棱锥中，，，，，E是棱上的中点． (1)证明：平面平面； 考向二 面面垂直的性质 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习·节选）如图，四棱锥中，，平面平面，，，，. (1)求证：平面； 2．（2025·山东济宁·一模·节选）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，，且，平面平面. (1)求证：平面； 4．（2025·江苏宿迁·二模·节选）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； 5．（24-25高三下·北京海淀·开学考试·节选）如图，在多面体中，为等边三角形，，，.点为的中点，平面平面； (1)求证：平面； 6．（2025·福建厦门·二模·节选）如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)证明：； 知识点九 空间角度问题 【基础指数框架】 1.异面直线成角 步骤：（1）证线线平行，转化为相交直线所成角； （2）找锐角（或直角）作为夹角； （3）利用余弦定理或三角函数求解. 注意：取值范围：. 2.表示角的方法： （1）在中，为直角，则,,. （2）余弦定理：在中，，. 3.直线与平面所成之角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面重合，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂足，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的夹角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角的范围是． 4.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形 如图：在二面角中，为交线上一点，，，且，，则为二面角的平面角; 取值范围：面与面的夹角的取值范围为. 【例题分析】 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2.求： (1)直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值； (2)异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值． 2．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图，已知长方体中，，． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 3．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）已知P为所在平面外一点，，，E，F分别是PA和BC的中点． (1)求证：EF与PC是异面直线； (2)求EF与PC所成的角． 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是边长为4的正三角形，为棱的中点，平面． (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的大小． 5．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点， (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 7．（24-25高一上·上海嘉定·期中）某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图所示），底面ABCD是矩形，米，米，屋脊EF到底面ABCD的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH与EF垂直且与底面的交线为GH，米，FO为立柱且O是GH的中点． (1)求斜梁FB与底面ABCD所成角的正切值； (2)求此楔体ABCDEF的体积． 8．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 9．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 10．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 11．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 知识点十 空间距离问题 【基础指数框架】 1.点到平面距离 （1）定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线 段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个 点到该平面的距离 （2）等体积法：等体积法就是通过变换三棱锥(或四面体)的顶点、底面来求三棱锥(或四面体)的体积的方法。等体积法就是一个几何体利用不同的底面积和高来求体积，利用体积相等，可以求出某一底面所对应的高或某一条高所对应的底面积。立体几何中一般用来求点到面的距离。等体积法就是要类比等面积法。 （3）求三角形面积的常见方法： 2.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这 个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3.平面到平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平 面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做 这两个平行平面间的距离 【例题分析】 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且，F为BE的中点． (1)求点B到平面ADF的距离； (2)求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值． 2．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 4．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直. (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 5．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别为，，，中点． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$