第08讲：离散型随机变量的数字特征【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第08讲：离散型随机变量的数字特征 【考点梳理】 · 考点一、利用定义求离散型随机变量的均值 · 考点二、离散型随机变量均值的性质 · 考点三、两点分布均值 · 考点四：由均值求参数问题 · 考点五、求离散型随机变量的方差和标准差 · 考点六、方差的性质 · 考点七、分布列、均值、方差的综合应用 【知识梳理】 知识点一：离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 知识点二：两点分布的均值：如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 知识点三：离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度． 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 知识点四：离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 【题型探究】 题型一、利用定义求离散型随机变量的均值 1．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．(23-24高二下·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中)已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 3．(23-24高二下·天津四校联考·期中)随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 题型二、离散型随机变量均值的性质 4．(23-24高二下·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 5．(24-25高三上·浙江名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）·)已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 6．(23-24高二下·广东江门新会第一中学·期末)已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（    ） A． B． C． D． 题型三、两点分布均值 7．(22-23高二下·广西百色·期末)若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(21-22高二下·山西太原英才学校高中部·期中)设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 9．(21-22高二下·广东深圳盐田高级中学·月考)已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四：由均值求参数问题 10．(23-24高二下·北京北京师范大学附属中学·期中)已知某一离散型随机变量的分布列，且，则的值为（    ） 4 9 A．5 B．6 C．7 D．8 11．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 12．(22-23高二下·河北邯郸永年区第二中学·期中)甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 题型五、求离散型随机变量的方差和标准差 13．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二下·福建长乐第一中学·月考)已知随机变量的分布列为 0 2 4 则（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高二下·青海部分名校·期末)已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 题型六、方差的性质 16．(24-25高二上·黑龙江双鸭山第一中学·月考)已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 17．已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·黑龙江牡丹江海林朝鲜族中学·月考)已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七、分布列、均值、方差的综合应用 19．(24-25高二下·山东烟台莱州第一中学·)在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋里任意取出2个球，这两个球的颜色相同的概率是. (1)求红球的个数； (2)若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望. 20．(24-25高二上·江西上饶·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 21．(24-25高二上·广西桂林·期末)设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【高分达标】 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特第二中学·月考)已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·北京育才学校·月考)船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（   ） A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2600元 3．(24-25高三下·广东清远部分学校·开学考)离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 5．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．(23-24高二下·四川遂宁中学校高新校区·月考)设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 7．(23-24高二下·广西示范性高中·调研)近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二下·云南保山实验中学·月考)已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 二、多选题 9．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 10．(24-25高二下·湖南长沙雅礼中学·月考)一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望 11．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特回民区·期末)一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 12．盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二下·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗实验高级中学·月考)一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．(24-25高二下·湖南郴州·)已如随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 16．(24-25高二下·河北衡水第二中学·调研)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望 . 17．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 18．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示. 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是 ，工期延误天数的方差为 . 四、解答题 19．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. (1)求赛完4局且乙获胜的概率； (2)若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 20．(24-25高二上·吉林“BEST合作体”·期末)某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. (1)若用方案一，求X的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 21．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 22．(24-25高三上·江苏常州·期末)某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得分．设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响． (1)经过1轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望； (2)求经过3轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率． 23．(24-25高二上·云南保山智源高级中学·月考)9月23日，2024年中国农民丰收节湖北主会场启动仪式在应城市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，应城市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者． （ⅰ）现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自同个一组的概率． （ⅱ）若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在所有人的方差． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲：离散型随机变量的数字特征 【考点梳理】 · 考点一、利用定义求离散型随机变量的均值 · 考点二、离散型随机变量均值的性质 · 考点三、两点分布均值 · 考点四：由均值求参数问题 · 考点五、求离散型随机变量的方差和标准差 · 考点六、方差的性质 · 考点七、分布列、均值、方差的综合应用 【知识梳理】 知识点一：离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 知识点二：两点分布的均值：如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 知识点三：离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度． 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 知识点四：离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 【题型探究】 题型一、利用定义求离散型随机变量的均值 1．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【来源】【随堂练】 3.2.3 离散型随机变量的数学期望 随堂练习-湘教版（2019）选择性必修第二册 第3章 概率 【分析】根据分布列结合期望公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 2．(23-24高二下·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中)已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 【答案】D 【来源】新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解. 【详解】依题意，，解得， 则， 所以. 故选：D 3．(23-24高二下·天津四校联考·期中)随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【答案】C 【来源】天津市四校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，得， 所以. 故选：C 题型二、离散型随机变量均值的性质 4．(23-24高二下·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【来源】天津市经济技术开发区第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解. 【详解】由表可得， 又可得,解得， 故选：A 5．(24-25高三上·浙江名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）·)已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024-2025学年高三上学期第一次联考（暑假返校考）数学试题 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 6．(23-24高二下·广东江门新会第一中学·期末)已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】先利用分布列的性质求解参数，然后求解期望，得到结果即可. 【详解】由题意得，解得， 故，而， 则，故A正确. 故选：A 题型三、两点分布均值 7．(22-23高二下·广西百色·期末)若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西百色市2022-2023学年高二下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 8．(21-22高二下·山西太原英才学校高中部·期中)设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【来源】山西省太原市英才学校高中部2021-2022学年高二下学期线上期中数学试题 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【详解】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D 9．(21-22高二下·广东深圳盐田高级中学·月考)已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省深圳市盐田高级中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学试题 【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解. 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 题型四：由均值求参数问题 10．(23-24高二下·北京北京师范大学附属中学·期中)已知某一离散型随机变量的分布列，且，则的值为（    ） 4 9 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【来源】北京市北京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，解得即可. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 11．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】第六节 离散型随机变量的数字特征（讲） 一轮复习点点通 【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可. 【详解】结合题意：， 因为，所以，解得：， 故选：A. 12．(22-23高二下·河北邯郸永年区第二中学·期中)甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【来源】河北省邯郸市永年区第二中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 题型五、求离散型随机变量的方差和标准差 13．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】第七章 随机变量及其分布章末自测 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】由随机变量的性质可得，再结合期望的公式，代入计算，即可求得，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 14．(23-24高二下·福建长乐第一中学·月考)已知随机变量的分布列为 0 2 4 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建省长乐第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷 【分析】根据分布列的性质求出，再根据期望、方差公式求解即可. 【详解】由分布列性质知，， 解得，则， 则． 故选：B. 15．(23-24高二下·青海部分名校·期末)已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 【答案】D 【来源】青海省部分名校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】先求的值，再求的期望与方差. 【详解】∵，∴， ∴， ∴ 故选：D 题型六、方差的性质 16．(24-25高二上·黑龙江双鸭山第一中学·月考)已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【答案】D 【来源】黑龙江省双鸭山第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， 则， 因为， 则. 故选：D. 17．已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题 【分析】利用分布列的性质结合给定概率求出，再求出，进而利用方差的性质计算即得. 【详解】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C 18．(23-24高二下·黑龙江牡丹江海林朝鲜族中学·月考)已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷 【分析】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：B 题型七、分布列、均值、方差的综合应用 19．(24-25高二下·山东烟台莱州第一中学·)在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋里任意取出2个球，这两个球的颜色相同的概率是. (1)求红球的个数； (2)若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望. 【答案】(1)3个 (2)分布列见解析， 【来源】山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高二下学期第三次质量检测（3月）数学试题 【分析】（1）根据两个球的颜色相同的概率是列方程，求解即可； （2）根据求分布列的基本步骤以及期望公式求解即可. 【详解】（1）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件， 则 整理得：， 解得（舍）或. 所以，红球的个数为3个. （2）的取值为，，，，， ， ，，. 所以的分布列为 2 3 4 5 6 . 20．(24-25高二上·江西上饶·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2) 【来源】江西省上饶市2024-2025学年高二上学期期末教学质量测试数学试题 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望；分乙两局或三局获胜求解. （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故. 21．(24-25高二上·广西桂林·期末)设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【来源】广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率； （2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望. 【详解】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试， 则，， 则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为： ； （2）随机变量可能的取值为：， 由题意，甲、乙车投产的概率分别为， 所以， ， ， X 0 1 2 P 所以数学期望． 【高分达标】 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特第二中学·月考)已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 2．(24-25高二下·北京育才学校·月考)船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（   ） A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2600元 【答案】B 【来源】北京市育才学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】由期望计算公式可得答案. 【详解】由题可得出海效益的期望是. 故选：B 3．(24-25高三下·广东清远部分学校·开学考)离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省清远市部分学校2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 4．甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【来源】训练十四 离散型随机变量的均值 【分析】由独立事件乘法公式求得，进而结合分布列求解即可； 【详解】依题意，甲、乙、丙都打中的概率， 解得（负值已舍去）， 所以乙打中的概率为． 由题意可得，的可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以． 故选：D． 5．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省南昌市东湖区南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 6．(23-24高二下·四川遂宁中学校高新校区·月考)设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【来源】四川省遂宁中学校高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又，， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 7．(23-24高二下·广西示范性高中·调研)近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西示范性高中2023-2024学年高二下学期4月联合调研测试数学试题 【分析】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【详解】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故. 所以. 故选：D. 8．(23-24高二下·云南保山实验中学·月考)已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 【答案】C 【来源】云南省保山市实验中学2023-2024学年高二下学期教学测评月考卷数学（七）试题 【分析】求出、、、，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， ，所以A错误； 对于B，因为， ， 即，故B错误； 对于C，，所以当增大时，也增大，故C正确； 对于D,由， 因为，所以当增大时，增大，可知D错误. 故选：C. 二、多选题 9．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江西省赣州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 10．(24-25高二下·湖南长沙雅礼中学·月考)一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望 【答案】ACD 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】对于ACD，分别计算随机变量取不同值时对应的概率，即可求解期望值，对于B，，则可求. 【详解】对于A，的可能值：0，1，2，3， 则，故A正确； 对于B，的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为， 因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果， 因此，，，故B错误； 对于C，的可能值：1，2，3，      则，故C正确； 对于D，的可能值：0，1，2，3， 因为对应的事件为：红或白红，所以， 因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红， 所以， 因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红， 所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 11．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特回民区·期末)一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 【答案】ABD 【来源】内蒙古自治区呼和浩特市回民区2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数据采集数学试题 【分析】对于A，分患病者在混检的4人中和患病者不在混检的4人中两种情况分析判断即可，对于B，分患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他两种情况求解，对于C，分患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他两种情况求解即可，对于D，设检测次数为随机变量，则可能取2，3，4，求出相应的概率，从而可求出期望. 【详解】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者， 若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者， 若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A正确； 对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他， 所以其概率为，所以B正确； 对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他， 其概率为，所以C错误； 对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为 2 3 4 所以，故D正确． 故选：ABD 12．盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11 月期中考试数学试卷 【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD. 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 13．设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题 【分析】根据分布列性质可求出m的值，判断A；根据期望和方差公式计算判断B；利用期望和方差性质可判断CD. 【详解】由离散型随机变量X的分布列性质可得，A正确； ， ，B正确； 由于，故，C错误，D正确； 故选：ABD 14．(23-24高二下·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗实验高级中学·月考)一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题 【分析】根据给定条件，求出X的分布列，再结合期望、方差的定义逐项计算判断即得. 【详解】女性成员人数X的可能值为， 则， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 15．(24-25高二下·湖南郴州·)已如随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 【答案】 【来源】湖南省郴州市2024-2025学年高二下学期3月份联考数学试题 【分析】由题意可得，根据期望公式求出，再求出方差，再根据方差的性质即可得解 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 16．(24-25高二下·河北衡水第二中学·调研)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望 . 【答案】1.52 【来源】河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二下学期第一次调研考试数学试题 【分析】根据题意，X的取值分别为1，2，3，分别求出，，，由此能求出李明参加考试次数的分布列. 【详解】由题意，X的取值分别为1，2，3. ，，. ∴李明参加考试次数X的分布列为： X 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 . 故答案为：. 17．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【答案】 【来源】7.3.1 离散型随机变量的均值 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由期望公式求，再根据期望性质求结论. 【详解】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 故答案为：. 18．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示. 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是 ，工期延误天数的方差为 . 【答案】 3 9.8 【来源】【课后练 】3.2.4 离散型随机变量的方差 课后作业-湘教版（2019）选择性必修第二册 第3章 概率 【分析】根据题意可得的可能取值为0，2，6，10，然后求出相应的概率，从而可求出的数学期望和方差. 【详解】由已知条件和概率的加法公式知，， ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1 故； . 故工期延误天数的方差为9.8. 故答案为：3，9.8. 四、解答题 19．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. (1)求赛完4局且乙获胜的概率； (2)若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【来源】浙江省慈溪市2024-2025学年高三上学期期末测试数学试卷 【分析】（1）根据已知分析赛完4局且乙获胜的对应事件，再应用独立事件乘法公式求概率； （2）由题设确定的可能取值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）设“赛完4局且乙获胜”为事件，即乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜. （2）的可能取值为，，1，4，5，6， 则，，， ，，， 的分布列如表所示 1 4 5 6 所以. 20．(24-25高二上·吉林“BEST合作体”·期末)某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. (1)若用方案一，求X的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 【答案】(1)分布列见解析， (2)方案二，理由见解析 【来源】吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望； （2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可. 【详解】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6， ，， ，， ∴的分布列为： 3 4 5 6 期望值. （2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6， ，， ， ， ∴的期望值 ∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高. 21．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 【答案】(1)14 (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）分一轮，二轮，三轮，四轮分别计算可得总场数； （2）（i）随机变量的取值为，分别计算可得其分布列，进而可求数学期望；（ii）根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）第一轮，轮空一个队，其余14个队，共7个组比赛7场，第二轮8个队比赛4场， 第三轮半决赛2场，第4轮决赛1场，故共有场比赛； （2）（i）随机变量的取值为， 当，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ； （ii）设一号队参加比赛的场数为3为事件，一号队获得冠军为事件， 则， 由（i）知，， 则， 即一号队在的条件下获得冠军的概率为. 22．(24-25高三上·江苏常州·期末)某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得分．设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响． (1)经过1轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望； (2)求经过3轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【来源】江苏省常州市2024-2025学年高三上学期期末质量调研数学试题 【分析】（1）求出随机变量的可能取值和概率可得答案； （2）分析经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况分，根据独立事件的乘法公式及互斥事件的概率求和公式可得答案. 【详解】（1）随机变量的可能取值为， ， ， ， 0 1 ； （2）经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况有： A班3轮每一轮得分都高于B班；A班有2轮得分高于B班， A班有1轮得分高于B班，另两场都是0分， 所以所求概率． 23．(24-25高二上·云南保山智源高级中学·月考)9月23日，2024年中国农民丰收节湖北主会场启动仪式在应城市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，应城市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者． （ⅰ）现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自同个一组的概率． （ⅱ）若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在所有人的方差． 【答案】(1)77.5 (2)（i）；（ii）145. 【来源】云南省保山市智源高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（1月）数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质列方程组求得，然后结合百分位数的定义求解． （2）（i）根据分层抽样求分层人数，再利用列举法结合古典概型运算求解；（ii）先两组的频率之比，然后根据平均数和方差的公式求解． 【详解】（1）由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为， 因为，且， 设第80百分位数为，则，解得， 第80百分位数为77.5 （2）（ⅰ）根据分层抽样，和的频率比为， 故在和中分别选取4人和1人，分别设为，，，．和， 则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，，，，，，，，，，共10个，即， 记事件“两人来自同一组”， 则事件A包含的样本点有，，，，，共6个，即， 所以 （ⅱ）设第二组、第三组的平均数与方差分别为，，，， 可知第二组、第三组的频率之比为， 成绩在的平均数， 成绩在的方差 ， 故估计成绩在的方差是145． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$