精品解析：重庆育才中学2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题

重庆育才中学教育集团初2025届初三（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体，即可作答．本题考查了由三视图还原几何体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，主视图和左视图都是宽度相等的长方形，俯视图也是长方形， ∴该几何体是长方体， 故选：B． 3. 已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之积为定值，据此逐项判断即可．本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值． 【详解】解：点在双曲线上，， A，，不在此双曲线上； B，，在此双曲线上； C，，不在此双曲线上； D，，不在此双曲线上； 故选B． 4. 如图，点A，B在直线 上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平角的定义以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平角的定义计算出，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 已知，且 的周长为10，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键． 根据“相似三角形周长比等于相似比”列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴相似比为， ∴，即，解得：． 故选C． 6. 如图，用规格相同的小棒摆成“蜂房”图案，第1个图案有4个“”，第2个图案有7个“”，第3个图案有10个“”，…，按此规律，则第2025个图案中的“”的个数是（ ） A. 6071 B. 6073 C. 6074 D. 6076 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，已知字母的值求代数式的值，先观察图形得出后面的图形个数比它前面的图形个数多3，且第一个图形的“”的个数是4，故第个图形得“”的个数是，再把代入，进行解答即可． 【详解】解：依题意，第1个图案有4个“”， 第2个图案有7个“”， 第3个图案有10个“”， 以此类推：后面的图形个数比它前面的图形个数多3， 即第个图形得“”的个数是， 把代入， 得， 故选：D 7. 已知，则实数 应在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．由二次根式的乘法、加法进行计算，再进无理数的估算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴； ∴实数 应在4与5之间， 故选：C． 8. 如图，在中，，，在斜边 上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点 、、 ，又以点 为圆心， 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，扇形面积，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明 是等腰直角三角形，再运用勾股定理算出，结合三线合一得，，结合题意，分别算出，，，的值，再代入图中阴影部分的面积，进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵在斜边 上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点 、、 ，又以点 为圆心， 长为半径画弧， ∴， 则 ， ， ， 则图中阴影部分的面积， 故选：D． 9. 如图，以的斜边为边，在 的同侧作正方形，正方形的对角线 、交于点，连结，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再构造三角形全等，得，，然后再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在 上截取，使，设与 交于点F， 由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到系数之间的规律是解题的关键． 先计算出三次操作的所有整式，然后找出规律进行判断即可． 【详解】解：第1个整式：， 第2个整式：， 第一次操作：得第3个整式：， 第二次操作：得第4个整式：， 第三次操作：得第5个整式：， 第四次操作：得第6个整式：， 第五次操作：得第7个整式：， 第六次操作：得第8个整式：． 故①正确． 由此规律可知，当n为偶数时，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为；当n为奇数时，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为1． 第n个整式与第个整式x项的系数和为． ∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为． 故②不正确． 第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 故③错误． 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，含特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：5． 12. 若六边形的内角中有一个内角为 ，则其余五个内角之和为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和性质，根据算出六边形的内角和，再减去 ，即可得出其余五个内角之和，即可作答． 【详解】解：依题意，六边形的内角和：， 则其余五个内角之和， 故答案为：． 13. 一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别写有汉字“行”，“知”，“育”，“才”，从箱子中随机抽取2张卡片，则抽取的2张卡片上的汉字能组成“育才”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意先画树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：依题意，由树状图得 可知共有12种可能，抽取的2张卡片上的汉字能组成“育才”的结果有2种， ∴抽取的2张卡片上的汉字能组成“育才”的概率是． 故答案为： 14. 若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【答案】20 【解析】 【分析】先计算出不等式组的解集，再根据解的情况判断出；然后计算分式方程的解，再结合其解为非负整数即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组至多有两个偶数解， ∴， 解得， ， 解得且， ∵该方程解为非负整数， ∴，13， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了含参不等式组和分式方程，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解是解题的关键． 15. 如图， 是 的直径，点 在 上，过点 作于点，点 为 上一点，连接 交 于点，，延长与过点 的切线交于点 ，若，，则______；______． 【答案】 ①. ②. ##0.8 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，确定，再由勾股定理求出 ．根据切线的性质，确定，先求出的正切值，再由正切的定义求出．连接，设交于点 ，证，由垂径定理证得，由证得，令，根据相似三角形的性质得求得，从而求出，最后由，问题得以解决． 【详解】解：是 的直径， ， ， 是 的切线， ， 在中，， 连接，设交于点 ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用等知识，解题的关键是构造辅助线，利用垂径定理求出 ． 16. 对于一个四位数，满足千位数字的平方减去个位数字的平方之差等于由百位数字与十位数字组成的两位数，则称这样的四位数 为“首尾平方呼应数”，并规定，例如：6204，因为，所以6204是一个“首尾平方呼应数”，则．若是一个“首尾平方呼应数”，则______；若（ ，，，是整数，且，，，）是一个“首尾平方呼应数”，且能被2整除，则所有满足条件的 的最大值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】先由“首尾平方呼应数”的定义列式，结合为正整数，且，为整数，且，即可得，，则； 根据N是一个“首尾平方呼应数”，可得出，化简，得出，结合能被2整除，得出是整数，结合，且，求出，或，，然后结合，，，求出n、p的值，即可求解． 【详解】解：∵对于一个四位数，满足千位数字的平方减去个位数字的平方之差等于由百位数字与十位数字组成的两位数，则称这样的四位数 为“首尾平方呼应数”，且是一个“首尾平方呼应数”， ∴， ∴， ∵为正整数，且，为整数，且， ∴， 则， 解得； 则， ∴， 故； ∵ ， ∴，，，， 又N是一个“首尾平方呼应数”， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵能被2整除，6能被2整除， ∴能被2整除， ∴是整数， ∵，，即， 当时，或， 此时（舍去）， 或（舍去）； 当时，或或， 此时（舍去）， 或（舍去）， 或（舍去）； 当时，或或， 此时， 或； 或（舍去）； ∵，， 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∴所有满足条件的 的最大值为． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，完全平方公式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、多项式乘多项式的法则进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了调查九年级学生的体质健康情况，我校举行了女子800米和男子1000米长跑比赛．已知男生1000米成绩的核定标准如下：“优秀”等级：长跑成绩范围在3分00秒到3分50秒之间；“良好”等级：成绩范围在3分51秒到4分05秒之间；“合格”等级：成绩范围在4分06秒到4分55秒之间：“待加强”等级：成绩在4分56秒以上．现将九年级男生的1000米长跑成绩折算成百分制，并从九年级（1）班，（2）班中各抽取10名男生的1000米长跑成绩进行整理，描述和分析．（成绩得分用表示： 组．，组．， 组．，组．）下面给出部分信息： 九年级（1）班男生的长跑成绩在组中的数据为：，，． 九年级（2）班男生的长跑成绩：，，，，，，，，，． 九年级抽取的男生长跑成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 （1）班 87.5 98 （2）班 87.5 88 九年级（1）班抽取的男生长跑成绩频数分布直方图 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，你认为我校九年级（1）、（2）班中，哪个班男生的体质健康较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校九年级共有2000名男生参加了此次长跑比赛，估计我校九年级男生参加此次长跑比赛成绩达到90分及以上的学生人数是多少？ 【答案】（1）， （2）九年级（2），九年级（2）的中位数大于九年级（1）的中位数（答案不唯一） （3）900人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位线，众数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先排序，取中间的两个数，的平均数，即为中位数，根据出现次数最多的数是众数，进行作答即可． （2）认真分析九年级抽取的男生长跑成绩统计表，得出九年级（2）的满分率大于九年级（1）的满分率，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵从九年级（1）班，（2）班中各抽取10名男生的1000米长跑成绩进行整理， ∴将九年级（1）班的长跑成绩整理排序后，位于第和位的长跑成绩为 则， ∵九年级（2）班男生的长跑成绩为出现次数为2， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：九年级（2）男生的体质健康较好，理由如下： 依题意，九年级（1）班的平均数和九年级（2）班的平均数是相等的，九年级（1）班的中位数为，九年级（2）班的中位数为，， 即九年级（2）的中位数大于九年级（1）的中位数， ∴九年级（2）男生的体质健康较好； 【小问3详解】 解：依题意，（人）， ∴我校九年级共有2000名男生参加了此次长跑比赛，估计我校九年级男生参加此次长跑比赛成绩达到90分及以上的学生人数是人． 19. 小育同学在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形里面作出一个菱形？他发现：通过角平分线构造平行四边形，再利用平行四边形边的关系可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）在中，用尺规作的角平分线 交 于点 ，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：中，，的角平分线 交 于 ，在上截取，连接．证明：四边形是菱形． 证明： 平分 ①______． 四边形 为平行四边形， ， ②______， ， ③______． ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 是菱形．（④______） 【答案】（1） 如图所示： （2），，，一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图—角平分线，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的做法进行作图，得出点E，再以点为圆心，以 的长为半径，画弧交于一点，即为，进行作答即可； （2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，再通过等角对等边得，结合，则，再证明四边形是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务． （1）求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？ （2）公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）15 （2）3种 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式组的应用，理解题意并解方程和不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设旧型服务器每小时处理x项任务，则新型服务器每小时处理1.5x项， 小时小时， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：一台新型服务器每小时能处理的任务量是15项． 【小问2详解】 解：设购入y台新服务器，则购入台旧服务器， ， 解不等式组，得， ∵y为正整数， ∴，5，6， 则，5，4， 方案一：购入4台新服务器，6台旧服务器； 方案二：购入5台新服务器，5台旧服务器； 方案三：购入6台新服务器，4台旧服务器； 即共有三种方案． 21. 如图1，在矩形 中，对角线 、交于点，，．动点 以每秒1个单位长度的速度沿着运动，动点同时从 点出发以相同的速度沿着运动，过点作交 于点 ，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点 到 的距离与到 的距离之和为，与的周长之比为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图2）中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.1） 【答案】（1）； （2） 解：如图所示， 当时，的值随着x的值增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，分和两种情况，证出，得出的长，再证出，得的长，即可求解； （2）根据函数解析式画图即可，借助图像描述其性质； （3）求出交点即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴，，， 由勾股定理得， ∴， 过点E作交 于点H，交于点M， ∴， ∴，， 当时， 则， ∴， 即， 解得， ∵， ∴ ∴， 即， 解得， ∴； 当时， 则， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图像可知，两个函数图像在之间有交点， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、一次函数的图像、反比例函数的图像与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及反比例函数和一次函数的图像与性质是解题的关键． 22. 2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市 出发，临行前小陶决定先到在超市 北偏东 方向上的图书馆 还书后，再到体育馆；小乐则按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭后，再沿北偏东方向走到体育馆，已知体育馆分别在超市 的北偏东 方向上和图书馆 的南偏东 方向上． （1）求报亭与体育馆之间的距离；（结果保留根号） （2）若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到达体育馆．（参考数据：，，结果精确到0.1） 【答案】（1）报亭与体育馆之间的距离米 （2）小陶先到达体育馆 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真分析题干的条件，得出，，故在中， （米），，然后证明是等腰直角三角形， 在中，，即可作答． （2）先分别算出小陶和小乐经过的路程，再分别除以他们各自的速度，然后比较，即可作答． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵体育馆分别在超市 的北偏东 方向上和图书馆 的南偏东 方向上． ∴， 依题意，米， ∴， 在中，（米），， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴报亭与体育馆之间的距离米； 【小问2详解】 解：由（1）得，米， 在中， ， 故（米）， 则（米）， ∵ ∴， 在中，（米）， 在中，， ∴（米）， 则（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∵小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分， ∴（分钟），（分钟）， ∵ ∴小陶先到达体育馆． 23. 如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点 ． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点 为直线 下方抛物线上一动点，过点 作于点 ，轴交直线 于点，点 为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点 的坐标及的最小值． （3）在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线 方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接 、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1） （2），的最小值 （3）或 【解析】 【分析】（1）将 的坐标代入直线的解析式，再求出的坐标，将 、代入抛物线解析式，即可求解； （2）交轴于 ，设，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由即可求解 的坐标；过 作直线轴，作关于直线的对称点，连接、，当 、、三点共线时，的值最小，此时，即可求解； （3）由平移得将抛物线沿射线 方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位，，①当在的下方时， 、关于轴对称，由待定系数法得直线 的解析式为，联立此直线与的解析式即可求解；②当在的上方时，作关于直线的对称点 ，连接、，延长交于， 设，可得，求出，同理可求直线的解析式，联立的解析式与的解析式即可求解． 【小问1详解】 解： 点 在直线上， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， ， 解得：， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：交轴于 ， 设， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设， 当取得最大值时，取得最大值， ， 当时，取得最大值， ， 当时，取得最大值； 如图，过 作直线轴，作关于直线的对称点，连接、， ， ， 当 、、三点共线时， 的值最小， 此时， ， 将沿轴方向移动到， ， ； 故，的最小值； 【小问3详解】 解：由得 当时，， ， ， 设向下平移个单位，则向右个单位， 将抛物线沿射线 方向平移个单位得到新抛物线， ， 解得：， 将抛物线沿射线 方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位， ， ①当在的下方时， 当 时， ， ， ， 、关于轴对称， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 可设直线 的解析式为， ， 解得：， 直线 的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； ②当在的上方时， 作关于直线的对称点 ，连接、，延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：，， ， 同理可求直线的解析式， 联立， 解得：，（舍去）， ， 综上所述：点坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题，待定系数法，相似三角形的判定及性质，二次函数图象的平移，勾股定理等；掌握二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题的解法，能熟练利用待定系数法、勾股定理进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关 24. 如图， 与均为直角三角形，． （1）如图1，点与点 重合，过点作于点 ，与 相交于点，若，，求的度数． （2）如图2，点 在 上，，，连接，点 为 的中点，点 在上，连接、，，请写出、 、的数量关系并予以证明． （3）在（2）的条件下，如图3，点 为直线 上的动点，点关于直线的对称点为点，点为线段的中点，连接、、，当的值最大时，求的值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 过点 作交 延长线于 ，连接 ，延长交 于 ，则， ∵，， ∴，则， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵点 为 的中点， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴，则 为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 则， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作，由题意可知，解直角三角形可得，，根据，得，，进而可得，即可求解； （2）过点 作交 延长线于 ，连接 ，延长交 于 ，则，先证为等腰直角三角形，得，再证，得，，再证，则，可知 为的中点，则，再证，进而可证得，得，由，即，得，则，再结合即可得结论； （3）设，连接，由折叠可知，，可得，易知，得，延长至 使得，可得，易得，得，可知，即当点在的延长线上时，取得最大值，连接，，过点作，可得，均等腰直角三角形，求得，设，在中，，列出方程求得 ，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：过点F作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 则， 即， ∴， ∵过点作于点 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，， 连接，由折叠可知，，则，，即， ∵， ∴，则， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 延长至 使得， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，当点在的延长线上时取等号， ∴当点在的延长线上时，取得最大值， 连接，，过点作， ， ∵，则，均等腰直角三角形， ∴，则 ∵，即， ∴设，则，，， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造相似三角形和全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团初2025届初三（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 3. 已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B在直线 上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且 的周长为10，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 6. 如图，用规格相同的小棒摆成“蜂房”图案，第1个图案有4个“”，第2个图案有7个“”，第3个图案有10个“”，…，按此规律，则第2025个图案中的“”的个数是（ ） A. 6071 B. 6073 C. 6074 D. 6076 7. 已知，则实数 应在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 8. 如图，在中，，，在斜边 上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、 ，又以点 为圆心， 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，以的斜边为边，在 的同侧作正方形，正方形的对角线 、交于点，连结，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含 项的系数的2倍与第21个整式中含 项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含 项的系数之和等于． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为______． 13. 一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别写有汉字“行”，“知”，“育”，“才”，从箱子中随机抽取2张卡片，则抽取的2张卡片上的汉字能组成“育才”的概率是______． 14. 若关于 的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 15. 如图， 是 的直径，点 在 上，过点 作 于点，点 为 上一点，连接 交 于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则______；______． 16. 对于一个四位数，满足千位数字的平方减去个位数字的平方之差等于由百位数字与十位数字组成的两位数，则称这样的四位数 为“首尾平方呼应数”，并规定，例如：6204，因为，所以6204是一个“首尾平方呼应数”，则．若是一个“首尾平方呼应数”，则______；若（ ，，，是整数，且，，，）是一个“首尾平方呼应数”，且能被2整除，则所有满足条件的 的最大值为______． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 为了调查九年级学生的体质健康情况，我校举行了女子800米和男子1000米长跑比赛．已知男生1000米成绩的核定标准如下：“优秀”等级：长跑成绩范围在3分00秒到3分50秒之间；“良好”等级：成绩范围在3分51秒到4分05秒之间；“合格”等级：成绩范围在4分06秒到4分55秒之间：“待加强”等级：成绩在4分56秒以上．现将九年级男生的1000米长跑成绩折算成百分制，并从九年级（1）班，（2）班中各抽取10名男生的1000米长跑成绩进行整理，描述和分析．（成绩得分用 表示：组．，组．， 组．，组．）下面给出部分信息： 九年级（1）班男生的长跑成绩在组中的数据为：，，． 九年级（2）班男生的长跑成绩：，，，，，，，，，． 九年级抽取的男生长跑成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 （1）班 87.5 98 （2）班 87.5 88 九年级（1）班抽取的男生长跑成绩频数分布直方图 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，你认为我校九年级（1）、（2）班中，哪个班男生的体质健康较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校九年级共有2000名男生参加了此次长跑比赛，估计我校九年级男生参加此次长跑比赛成绩达到90分及以上的学生人数是多少？ 19. 小育同学在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形里面作出一个菱形？他发现：通过角平分线构造平行四边形，再利用平行四边形边的关系可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）在中，用尺规作的角平分线交于点 ，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：中，，的角平分线交于 ，在上截取，连接．证明：四边形是菱形． 证明：平分 ①______． 四边形 为平行四边形， ， ②______， ， ③______． ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 是菱形．（④______） 20. 某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务． （1）求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？ （2）公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？ 21. 如图1，在矩形 中，对角线 、交于点，，．动点 以每秒1个单位长度的速度沿着运动，动点同时从 点出发以相同的速度沿着运动，过点作交 于点 ，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为 秒，点 到的距离与到 的距离之和为，与的周长之比为． （1）请直接写出，关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图2）中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时 的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.1） 22. 2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市出发，临行前小陶决定先到在超市北偏东方向上的图书馆 还书后，再到体育馆；小乐则按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭后，再沿北偏东方向走到体育馆，已知体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆 的南偏东方向上． （1）求报亭与体育馆之间的距离；（结果保留根号） （2）若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到达体育馆．（参考数据：，，结果精确到0.1） 23. 如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在 轴上，直线与轴相交于点 ． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点 为直线 下方抛物线上一动点，过点 作于点 ，轴交直线 于点，点 为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿 轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点 的坐标及的最小值． （3）在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线 方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 24. 如图， 与均为直角三角形，． （1）如图1，点与点 重合，过点作于点 ，与 相交于点，若，，求的度数． （2）如图2，点 在 上，，，连接，点 为 的中点，点在上，连接、，，请写出、 、的数量关系并予以证明． （3）在（2）的条件下，如图3，点 为直线 上的动点，点关于直线的对称点为点，点为线段的中点，连接、、，当的值最大时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $