精品解析：河南省 南阳市第十三中学校2024—2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

南阳市十三中2025年春期九年级数学第一次阶段性学习小结 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 山西煤炭化学研究所 B. 东北地理与农业生态研究所 C. 西安光学精密机械研究所 D. 生态环境研究中心 5. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力 方向的夹角 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形 的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在 边上，，连接 ， 轴，则k的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车，酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度 与呼气酒精浓度 的关系见表格．下列说法不正确的是（ ） 信息窗 （1）血液酒精浓度 呼吸酒精浓度 （2）非酒驾（） 酒驾（） 醉驾（） A. 呼气酒精浓度 越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值为100 C. 当时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 10. 如图，中，， ，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到 ，当点O对应点C在 上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则 的取值范围是______． 13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，且点 ， 在上，，则的长为__________． 14. 如图，抛物线 经过点 ，与y轴交于，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中：①；②方程的解为 和3；③；④，其中正确结论的序号是____________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 18. 如图， 是以 为直径的 上一点， 为的中点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接交 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，求线段 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 19. 如图，一次函数 与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 20. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， AB与墙壁的夹角，喷出的水流BC与AB形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （参考数据： ）． 21. 为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球．已知购买3个 品牌足球和2个 品牌足球共需360元；购买2个 品牌足球和1个 品牌足球共需220元． （1）求两种品牌足球的单价． （2）该学校计划购买两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于 品牌足球数量的2倍，实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m（）元，且限定学校最多购进A品牌足球60个．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 22. 如图，抛物线与直线 交于点A(2，0)和点 ． （1）求 和 的值； （2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点 是直线 上的一个动点，将点 向左平移 个单位长度得到点 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 的横坐标的取值范围． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳市十三中2025年春期九年级数学第一次阶段性学习小结 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 山西煤炭化学研究所 B. 东北地理与农业生态研究所 C. 西安光学精密机械研究所 D. 生态环境研究中心 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力 方向的夹角 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力 的方向竖直向下， 重力 与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 7. 如图，矩形 的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在 边上，，连接 ， 轴，则k的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，证四边形DGOF是矩形，△AHE≌△FOE（AAS），△AHP≌△DGP（AAS），利用矩形与全等三角形的性质求出DG、OG长，得出点D坐标，再把D坐标代入求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G， ∵点和点， ∴OE=1，OF=1， ∵DG⊥x轴， ∴DG y轴，∠DGO=90°， ∵DF x轴， ∴四边形DGOF是矩形， ∴DG=OF=1， ∵AH⊥x轴， ∴∠AHE=90°， ∴∠AHE=∠EOF=90°， ∵∠AEH=∠OEF，AE=EF， ∴△AHE≌△FOE（AAS）， ∴AH=OF=1，EH=OE=1， ∵OE=OF=1， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OEF=45°， ∴∠HAE=∠AEH=∠OEF=45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAH=45°， ∴∠APE=∠DAH=45°， ∴PH=AH=1， ∵∠APH=∠DPG，∠AHP=∠DGP=90°，DG=AH=1， ∴△AHP≌△DGP（AAS）， ∴PG=HP=1， ∴OG=OE+EH+HP+PG=4， ∵点D在第二象限， ∴D(-4,1)， 把D(-4,1)代入，则k=-4， 故选：C． 【点睛】本题考查求反比例函数点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，矩形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于 ，当 , 方程有两个不相等的实根，当 , 方程有两个相等的实根， , 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 9. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车，酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度 与呼气酒精浓度 的关系见表格．下列说法不正确的是（ ） 信息窗 （1）血液酒精浓度 呼吸酒精浓度 （2）非酒驾（） 酒驾（） 醉驾（） A. 呼气酒精浓度 越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值为100 C. 当时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题意，能正确识图是解题的关键．观察图2可直接判断A、B，由可得到 的值，从而判断C，观察图2可得时 的值，从而算出 的值，即可判断D． 【详解】解：A、由图2可知，呼气酒精浓度 越大，的阻值越小，故A正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为100，故B正确，不符合题意； C、由信息窗可知，当时，， 当时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意； D、由图2知，当时，，则， 该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，中，， ，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到 ，当点O对应点C在 上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作 轴于点E，证明 是等边三角形，即得出，，从而可求出 ，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作 轴于点E， ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴ 为等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 【答案】答案不是唯一， 【解析】 【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可． 【详解】设无理数的被开方数为x， ∵无理数比3大且比4小， ∴9＜x＜16， ∴其中的一个无理数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则 的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于 的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，且点 ， 在上，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O， 从图中可得：的半径为OB=5， 连接OC， ∵∠BAC=22.5°， ∴∠BOC=2 22.5°=45°， 的长为． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键． 14. 如图，抛物线 经过点 ，与y轴交于，抛物线的对称轴为直线 ，则下列结论中：①；②方程的解为 和3；③；④，其中正确结论的序号是____________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，以及与一元二次方程和不等式之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①∵抛物线 经过点，，，故本选项正确； ②由对称轴为 ，一个交点为，另一个交点为，∴方程的解为 和3，故本选项正确； ③由对称轴为 ，，∴ ，则，故本选项正确； ④∵抛物线 与y轴交于，∴，∵ ，∴，故本选项正确． 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，以及与一元二次方程和不等式之间的关系，掌握相关知识是解题的关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接 ，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分 点在线段 上和 的延长线上，且，勾股定理求得 即可． 【详解】如图，连接 ， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ， ， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时， 点在 上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点 的位置是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】（1）实数的计算，根据实数的运算法则求解即可； （2）分式的化简，根据分式的运算法则计算求解． 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，负指数幂，二次根式的化简，零次幂的计算，分式的化简等知识，牢记公式与定义，熟练分解因式是解题的关键． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 18. 如图， 是以 为直径的 上一点， 为的中点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接交 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，求线段 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， ∵ 为切线， ∴ ， ∴ ， ∵ 为的中点， ∴ 垂直平分 ， ∴， 在 和 中， , ∴， ∴， ∴， 是 的半径， ∴ 是 的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接 ，如图，根据垂径定理由 为的中点，得到 为 的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得 与 相切； （2）设 的半径为 ，则，，得出，解得 ，求出 的长； （3）由扇形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 的半径为 ，则， 在 中，， ∴， 即， 解得 ， ∴， ∵， , ， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴在 中，， ∴． 19. 如图，一次函数 与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入 即可求出一次函数解析式； （2）直线 在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为 ，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得 ， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入 ，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线 在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为 ， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 20. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， AB与墙壁的夹角，喷出的水流BC与AB形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （参考数据： ）． 【答案】安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置． 【解析】 【分析】过B作于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点B作于点G，延长EC、GB交于点F， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 21. 为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球．已知购买3个 品牌足球和2个 品牌足球共需360元；购买2个 品牌足球和1个 品牌足球共需220元． （1）求两种品牌足球的单价． （2）该学校计划购买两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于 品牌足球数量的2倍，实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m（）元，且限定学校最多购进A品牌足球60个．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）两种品牌足球的单价分别为 元， 元， （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据购买3个 品牌足球和2个 品牌足球共需360元；购买2个 品牌足球和1个 品牌足球共需220元进行列二元一次方程组，再解出 ， 的值，即可作答． （2）先表示，然后解出，再进行分类讨论，且结合一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设两种品牌足球的单价分别为 元， 元， 依题意， 解得， ∴两种品牌足球的单价分别为 元， 元， 【小问2详解】 解：依题意，设购买A品牌的足球为个，则购买A品牌的足球为个，总价为 元， 则 依题意，，且， 解得； ①当时， 随的增大而增大， 即当时， 最小，且为； 故购买A品牌的足球为 个，则购买A品牌的足球为 个，总价最小． ②当时，，可取范围内任意整数， ③当时， 随的增大而减小， 即当时， 最小，且为； 故购买A品牌的足球为 个，则购买A品牌的足球为个，总价最小． 22. 如图，抛物线与直线 交于点A(2，0)和点 ． （1）求 和 的值； （2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点 是直线 上的一个动点，将点 向左平移 个单位长度得到点 ，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点 的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， ；（2）不等式>的解集为 或 ；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得 和 的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：， ； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为 ，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当 或 时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为 或 ； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1 BB1 3，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】（1） 或 或 或 （2）①15，15； ② ，理由如下： （3）cm或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得 ，结合矩形的性质得 ，进而可得 ； （2）根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得 ，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设 分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： ，sin∠BME= 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ②略 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴ ； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴ ． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $