精品解析：山东省济宁市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

绝密★启用前 2025年高一3月份月考数学试题 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 式子的值为　　 A. B. 0 C. 1 D. 2. 设与是两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ） A. － B. － C. － D. － 3. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])图象和直线y＝的交点个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 4. 函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|)在[，]的图象如图所示,为了得到这个函数的图象,只要将f(x)＝sinωx的图象(　　) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 6. 已知单位向量的夹角为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知，是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 若，则的一个可能值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得 B. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C. 若点为的重心，则 D. 若且，则 10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ） A. 点P第一次达到最高点，需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 11. 给出下列命题中，其中正确的选项有（ ） A. 若非零向量满足：，则与共线且同向 B. 若非零向量满足：，则与的夹角为60° C. 若单位向量的夹角为60°，则当取得最小值时， D. 在中，若，则为等腰三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 12. LED（发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量方向上的投影为，则______. 13. 如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______. 14. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围为______. 四、解答题（本大题5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）求向量的夹角； （2）求的值. 16. 已知，． （1）求证：． （2）若为第一象限角，为第四象限角，求的值． 17. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2），，求的值； （3）若在方向上投影向量为，求的最小值． 18 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的单调减区间； （3）当时，记，不等式恒成立，求实数m取值范围． 19. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上有三个解，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高一3月份月考数学试题 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 式子的值为　　 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角和与差的三角函数以及特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数求值，考查计算能力，属于基础题． 2. 设与是两个不共线的向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ） A. － B. － C. － D. － 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的判定定理结合向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：， 若A，B，D三点共线，所有必存在一个实数λ，使得， 即， 可得，解得. 故选：B. 3. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为y＝cos(＋)(x∈[0,2π]),即(x∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y＝的交点有两个. 考点：三角函数的诱导公式及正弦函数的图像. 点评：本小题关键是利用诱导公式把y＝cos(＋)(x∈[0,2π])转化为(x∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y＝的交点个数. 4. 函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|)在[，]的图象如图所示,为了得到这个函数的图象,只要将f(x)＝sinωx的图象(　　) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，即可得到平移方式. 【详解】由函数图象可得:T)＝π，故， 由点(，0)在函数图象上，可得:0＝sin(φ)，解得:φ＝kπ，k∈Z， 又|φ|，φ， 为了得到f(x)＝sin（2x+），只需将f(x)＝sin2x，向左平移个单位. 故选：D． 【点睛】此题考查根据函数图象求解函数解析式，根据平移前后的解析式确定平移方式. 5. 函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，根据二次函数的性质求出的最小值即得答案. 【详解】解：因为， 设，， 则，， 由二次函数性质可知当时，单调递减， 所以当时，取得最小值0， 故的最小值为0． 故选：B. 6. 已知单位向量的夹角为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】，，与夹角为，且，为直角三角形，故选C. 7. 已知，是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断符号，后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】因是第三象限角，则. 即在二象限或四象限，. 又，是第三象限角，则. 则 . 故选：C. 8. 若，则的一个可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简已知等式，可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， 的一个可能值为. 故选：C． 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，考查计算能力，属于基础题． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，则存在唯一实数，使得 B. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C. 若点为的重心，则 D. 若且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由平面向量共线定理判断；对于B，举例判断；对于C，由三角形重心的性质判断；对于D，举例判断 【详解】解：对于A，由平面向量共线定理可知是正确的，所以A正确； 对于B，如图平行四边形中，，共线，但点，，，不共线，所以B错误； 对于C，延长交于，因为点为的重心，所以,，所以，所以C正确； 对于D，当时，， 但不一定相等，所以D错误， 故选：BD 10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ） A. 点P第一次达到最高点，需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项. 【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确； 点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确； 令，解得：，，当时，（s），B选项正确； ，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误； 故答案为：ABD 11. 给出下列命题中，其中正确的选项有（ ） A. 若非零向量满足：，则与共线且同向 B. 若非零向量满足：，则与的夹角为60° C. 若单位向量的夹角为60°，则当取得最小值时， D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；选项B：根据得到以为三边的三角形为等边三角形，从而得到与的夹角为30°；选项C：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；选项D：根据题意分析出都为单位向量，从而得到向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断为等腰三角形. 【详解】选项A：对非零向量， ， 若使成立，即使成立， 则，即，所以与共线且同向，选项A正确； 选项B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误； 选项C：因为单位向量的夹角为60°， 所以 ，所以时，取最小值，故选项C正确； 选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即， 所以，即为等腰三角形,所以选项D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 12. LED（发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量方向上的投影为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可计算. 【详解】如图，，过点作垂直于直线，垂足为，因为，所以，则，在方向上的投影为. 故答案为： 13. 如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，可得出，再利用、、三点共线向量结论得出，可解出实数的值. 【详解】由，得，可得出， 由于、、三点共线，，解得，故答案为. 【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题. 14. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助正弦型函数的单调性计算即可得. 【详解】当时，， 则，解得， 又，故. 故答案为：. 四、解答题（本大题5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）求向量的夹角； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由向量的运算法则，可得，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，向量， 可得，解得， 则， 因为，所以，即向量的夹角. 【小问2详解】 解：由（1）知，， 因为，则. 16. 已知，． （1）求证：． （2）若为第一象限角，为第四象限角，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】 （1）分别将已知条件展开，两式相减、相加可得，的值，两式相除即可求证； （2）利用同角三角函数的平方关系结合角所在的象限求出、的值，利用即可求解. 详解】（1）由题意可得： 得 得． 得：，即 （2）若为第一象限角， 因为为第四象限角， ， . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是灵活运用同角三角函数基本关系，要证，化切为弦即证，所以想到将已知条件展开，给值求值型的关键是用已知角表示所要求的角，即. 17. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2），，求的值； （3）若在方向上的投影向量为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的定义即可求解； （2）利用向量的夹角公式求解即可； （3）先求得投影向量，进而计算可求的最小值. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为， ， ， 所以. 【小问3详解】 在方向上的投影向量为， 所以， 当时，的最小值为． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的单调减区间； （3）当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式，根据正弦函数最小正周期公式可得结果； （2）根据正弦函数的单调递减区间可求出结果； （3）根据正弦函数图象求出的值域，再利用的最值可求出结果. 【小问1详解】 , 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由，， 得，， ，， 所以当时，求函数的单调减区间为. 【小问3详解】 当时，，， 因为不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，，则不等式对恒成立， 所以，解得. 19. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上有三个解，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再根据为奇函数求解即可； （2）根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质求出函数的单调区间，从而得到函数的草图，令，即，，首先判断时不符合题意，依题意方程在上有两不相等实数根，且，，再讨论和，结合二次函数的性质计算可得； 小问1详解】 解：因为图象相邻两对称轴之间的距离是，所以函数的最小正周期，解得， 即， 因为为奇函数， 所以，，即，， 又因为，所以，， 【小问2详解】 解：因为，，所以，所以， 当时，解得，时，解得， 即在上单调递增，在上单调递减，且，，， 函数，的图象如下所示： 因为关于的方程在上有三个解， 令，即，， 若为方程的根，此时，则，不符合题意； 依题意方程在有两不相等实数根、，不妨令，且，； 若为方程的根，此时，则，此时符合题意； 若时，令则， 即，解得， 综上可得； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$