精品解析：广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

2024—2025学年高三年级新质月考卷（六） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2．考查范围：高考全部内容. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集和交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以或， 又集合，所以或. 故选：B 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】复数， 当时，，复数，是纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 3. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和、差的正弦公式和同角三角函数的基本关系计算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：D. 5. 已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形为平行四边形，且面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由四边形为平行四边形，可得，由可得；将点代入，可得，将代入解析式即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形可知，，设，则， 所以，所以，解得，则， 将点代入得，，即，由于点在的增区间上， 所以，，则，， 所以， 故. 故选：A. 6. 已知数列的前n项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，即可求出数列的通项公式，再利用“和谐项”的定义得出，通过等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由，得， 所以，即，于是有 因为，所以， 所以数列是从起，公比为的等比数列， 所以， 当时，，所以此式不满足， 故的通项公式为所以， 因为，所以， 数列的所有“和谐项”的平方和为： . 故选：A. 7. 已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式可得，再由正弦定理可得，再根据，可求椭圆的离心率. 【详解】设，，则，即，① 在中，， 由余弦定理可得：， 即，② ①②得：， 所以， 又， 又， 因为，则，即， 所以. 故选：B. 8. 已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用导数的方法研究的零点，易知的零点也是的零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造函数，利用导数方法研究其最小值即可. 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立； 设，，则， 令得；令得； 所以在上单调递减，在上单调递增； 当，因为；当时，；当时，； 故在上有两个零点，记为，，不妨令； 显然当或时，；当时，； 要使恒成立，则，也是的两个零点， 故，； 又，所以，则，所以； 令，则， 令得；令得； 所以在上单的递减；在上单调递增；则； 因为当时，的两个零点关于对称，此时的两个零点不可能关于对称，因此；所以； 当时，的恒成立；此时需要恒成立，则，所以； 综上，的最小值为； 故选：D 【点睛】关键点点睛： 本题关键点在于借助导数研究零点，得到的零点也是的零点，即可结合韦达定理得到，再构造相应函数，借助导数研究其最小值即可. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，函数，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 对任意的，至少存在一个实数根 C. 存在，使得有三个不同实数根 D. 对任意的在上是增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数在上的取值范围判断A；按探讨在上的实数根情况、探讨在上的实数根情况判断B；求出时，的实数根判断C；由函数在上是增函数求出的范围判断D. 【详解】函数， 当时，函数在上单调递增， 又函数的对称轴为， 对于A，当时，，当时，， 则，即，故A错误； 对于B，当时，由，得，因此存在，使得， 则，即至少存在一个实数根， 当时，由，解得或，此时都大于1， 因此是的解，∴对任意的至少存在一个实数根，故B正确； 对于C，取，，由，得或， 解得或或，此时有三个不同实数根，故C正确； 对于D，若在上是单调递增函数，则，解得， 因此当时，在上是单调递增函数，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：方程根的个数判断方法： （1）直接法：直接求出f（x）=0的解； （2）图象法：作出函数f（x）的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 10. 某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件B相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可. 【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确； ，，故C正确； 所以，， 所以， 则， 所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 11. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，其中点在第一象限，点是的中点，垂直准线于，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 点到准线距离为 C. 点到准线与到直线的距离之和的最小值为 D. 若以为直径的圆经过焦点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三点共线设直线方程，利用向量之间的关系求点坐标即可得到选项A正确；根据直线不过点时结论不成立可得选项B错误；根据抛物线定义把问题转化为焦点到直线的距离，可得选项C正确；利用基本不等式可得选项D正确. 【详解】由题意得，直线的斜率不为，.设. A.由得直线过点，设， 由得，，∴. 由得，∴， ∴，即， ∴直线的斜率为，选项A正确. B.当直线不过点时，设，由三角形两边之和大于第三边得. 根据抛物线定义得，. 由是的中点，可得， 故点到准线距离为，选项B错误. C.由抛物线定义得点到准线的距离等于点到焦点的距离， ∴点到准线与到直线的距离之和即与点到直线的距离之和， 当且仅当与直线垂直时取得最小值， 即点到直线的距离，为，选项C正确. D.设，由选项B得，. ∵以为直径的圆经过焦点，∴，∴， ∴， ∵，当且仅当时取等号， ∴，即的最大值为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线的定义转化条件，数形结合解决问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数是__________. 【答案】160 【解析】 【分析】根据二项式展开，然后在与相乘，找到这一项即可. 【详解】由于题目要求的系数， 所以对于的展开项中，没有这一项. 所以只需要求出的项在与相乘即可. ，故系数为160. 故答案为:160. 13. 如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用直观图以及三棱锥的性质构造正方体求得外接球的半径R，即可得出外接球的表面积. 【详解】因为，， 所以，， 过点P作平面于点D，则， 由，可知平分， 设与的交点为O，则， 所以，所以四边形是正方形， 故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体， 则该正方体的体对角线即为三棱锥外接球的一条直径， 设该外接球的半径为R，则，即， 则其表面积为. 故答案为： 14. 已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】求得，令，得到，令，利用导数求得函数的单调性和极大值，分和，两种情况讨论，转化为，求得，即可求解. 【详解】因为函数，可得， 令，可得，令，可得， 当时，可得，此时单调递增， 当时，可得，此时单调递减， 所以，函数的极大值为，当且仅当时，， 所以，可得，如图所示， 当时，有两个实数根，记为， 当时，；当时，， 所以在处取得极大值，不符合题意； 当时，有一个实数根，记为， 当时，；当时，， 所以在处取得极小值，也是最小值， 综上可得，在内取得最小值，即时，函数取得最小值， 所以，即，即， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 要证，只需证， 故令， 则恒成立，即在上单调递增， 故，即当时，； （2） 先证明左半部分：， 由（1）知当时，，令，其中，则， 代入上述不等式，得，即， 对该不等式的取值从到进行累加即得； 再证明右半部分：， 由左半部分的证明过程可知，只需证明 ，即只需证， 故令，则恒成立， 即在上单调递减，所以，即当时，， 令，其中，则，代入上述不等式， 得，即， 对该不等式的取值从到进行累加即得， 故. 【解析】 【分析】（1）由题干条件直接构造函数求导求得其单调性和最值即可证明； （2）利用第（1）问的结论，令，其中，则，可代入第（1）问得到的不等式，进行累加即可证明左半部分，右半部分同理构造出函数不等式进行证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知中，，，． （1）求； （2）当取得最小值时，求BD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式即求解； （2）设，由余弦定理可得，，进而利用基本不等式可求最小时，的长. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 解得； 【小问2详解】 设，由，得， 由，可得 在中，由余弦定理可得，即， 在中，由余弦定理可得，即， ， 当且仅当，即等号成立， 所以当取得最小值时，. 17. 已知等轴双曲线C的右焦点为，点列，，，，，是C在第一象限的点列，，，，，是渐近线在第一象限的点列，过右顶点且与x轴垂直的直线与渐近线在第一象限的交点为，对，直线轴，轴，设点的横坐标为，，记． （1）证明：数列为等差数列，并求出的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求使得的的最大值. 【答案】（1） 证明：由等轴双曲线的右焦点为可知，双曲线中， 由双曲线中的平方关系可知， 所以双曲线的方程为，所以过第一象限的渐近线方程为， 右顶点为，因为直线轴，所以，故， 由题意可设，又轴，且在双曲线上满足双曲线方程， 则，所以，即， 又，所以，即，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. （2）119 【解析】 【分析】（1）先求出等轴双曲线的方程，得到右顶点坐标，进而得到数列首项，再根据几何关系即可证明数列为等差数列，并求出其通项公式； （2）先利用几何关系得到数列的通项公式，利用裂项相消法求出，解不等式得的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 令，则，解得，即的最大值为. 18. 如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面α的上方，点A恰在平面α内，点B到平面α的距离为2．若容器中装有水，静止时水面与平面的交线与的夹角为0，记水面到平面α的距离为d． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面α的距离； （3）当时，求所装的水的体积. 【答案】（1）证明：   如图连接， 根据正方体的性质可知平面， 因平面，故， 在正方形中，，又，平面， 故平面，根据题意，故平面平面. （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方体的性质证得平面，结合可得； （2）根据截面与平面的位置关系，可得； （3）先根据确定水面在正方体的截面，进而根据位置关系求得三棱台的体积，进而可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图为正方体中截面与平面， 根据（1）作平面，为垂足，连接，则过点， 交于点， 由题意，，， 易知，故，得， 故可知点到平面α的距离为8 【小问3详解】 如图，当时，作，且，则， ，易知，则，得， ， 还原到正方体中，如图所示，，， 则三棱台的体积为正方体中除去所装水剩下的体积， ， ， , ， 故所装水的体积为 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率. （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. ①若，，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】（1） （2）①；②P的最大值为，此时t的值为. 【解析】 【分析】（1）由分类加法原理和分步乘法原理求解； （2）①由题意可知，要摘到最适合他的灯谜，有两种情况，最适合他的灯谜是第3条和最适合他的灯谜是最后1条，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果； ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再用导数求出最值即可. 【小问1详解】 8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，由抽取规则可知， 该顾客取到写有卡片的概率为. 【小问2详解】 ①这4条灯谜的位置从第1条到第4条排序，有种情况. 要摘到最适合的灯谜，有以下两种情况： 最适合的灯谜是第3条，其他的灯谜随意在哪个位置，有种情况， 最适合的灯谜是最后1条，第二适合的灯谜是第1条或第2条，其他的灯谜随意在哪个位置，有种情况 故所求概率为. ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜在灯谜中排在第条， 因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，所以， 以给定所在位置的序号作为条件， 当时，最适合的灯谜在前k条灯谜之中，不会被摘到，此时 当时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合的一条在前k条灯谜中时， 此时， 由全概率公式知， 令函数，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以当时，取得最大值，最大值为，此时 即P的最大值为，此时t的值为. 【点睛】方法点睛： 全概率公式是将复杂事件的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三年级新质月考卷（六） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2．考查范围：高考全部内容. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形为平行四边形，且面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，函数，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 对任意的，至少存在一个实数根 C. 存在，使得有三个不同实数根 D. 对任意的在上是增函数 10. 某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件B相互独立 C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，其中点在第一象限，点是的中点，垂直准线于，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 点到准线距离为 C. 点到准线与到直线的距离之和的最小值为 D. 若以为直径的圆经过焦点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数是__________. 13. 如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为______. 14. 已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）证明：． 16. 已知中，，，． （1）求； （2）当取得最小值时，求BD． 17. 已知等轴双曲线C的右焦点为，点列，，，，，是C在第一象限的点列，，，，，是渐近线在第一象限的点列，过右顶点且与x轴垂直的直线与渐近线在第一象限的交点为，对，直线轴，轴，设点的横坐标为，，记． （1）证明：数列为等差数列，并求出的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求使得的的最大值. 18. 如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面α的上方，点A恰在平面α内，点B到平面α的距离为2．若容器中装有水，静止时水面与平面的交线与的夹角为0，记水面到平面α的距离为d． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面α的距离； （3）当时，求所装的水的体积. 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率. （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. ①若，，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $