精品解析：山东省滨州市惠民县第二中学勇进部2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

致远高一数学3月月考卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ） A. 与共线 B. 与不共线 C. 若，则 D. 若，则是一个单位向量 2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或3 C. 或3 D. 3 6. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 有下面四个命题，真命题的是（ ） A. B. 若，且，则 C. ，则 D. 两个虚数不能比较大小 11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 13. 已知向量是单位向量，且夹角为，则_______． 14. 已知，，则在方向上的投影的坐标为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． （1）作出，，，； （2）求的模． 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，求. 17. 已知向量，． （1）若，求实数的值 （2）求与的夹角； 18. 已知中是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用来表示，. （2）当时，判断是否垂直.若成立，给出证明，若不成立，说明理由. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致远高一数学3月月考卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ） A. 与共线 B. 与不共线 C. 若，则 D. 若，则是一个单位向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项. 【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确； 故选：D. 2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数的除法运算即可. 【详解】． 故选：B． 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 故选：B 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理得到，由同角三角函数关系得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，所以. 故选：A 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或3 C. 或3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分别求即得. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 6. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，结合向量的夹角公式可求答案. 【详解】由模长公式， 由夹角公式. 故选：A 7. 已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和坐标运算，即可求解. 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 8. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解. 【详解】因为， 在复平面内对应的点在第三象限， ，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值. 【详解】因为，所以， 解得或0或． 故选：ABC 10. 有下面四个命题，真命题的是（ ） A. B. 若，且，则 C. ，则 D. 两个虚数不能比较大小 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的定义和复数的乘方，直接计算和判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错；对于C，当，时，，故C错；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，D正确. 故选：AD 11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D． 【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得，则， 所以的面积为，故C正确； 对于D，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】对于坐标法表示的向量,向量的模为,代入计算即可 【详解】由题, 故答案为： 【点睛】本题考查向量的模,属于基础题 13. 已知向量是单位向量，且夹角为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模的性质和数量积的定义求解即可. 【详解】由已知，， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知，，则在方向上的投影的坐标为____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影的坐标为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． （1）作出，，，； （2）求的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【小问1详解】 根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． 【小问2详解】 由两点间距离公式得， 则． 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解； （2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可得， 即， 所以，因为， 所以，又，解得； 【小问2详解】 若，则，这里是三角形外接圆的半径， 解得， 由余弦定理可得. 17. 已知向量，． （1）若，求实数的值 （2）求与的夹角； 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量垂直数量积为0，即可求； （2）利用数量积的夹角公式结合条件即得. 【小问1详解】 当时，， ∴，则， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴； 又∵，、 ∴. 18. 已知中是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用来表示，. （2）当时，判断是否垂直.若成立，给出证明，若不成立，说明理由. 【答案】（1），； （2）不垂直，证明如下： 由可得，， ，又因为，所以， ， 所以与不垂直. 【解析】 【分析】（1）直接利用平面向量的线性运算求解； （2）求出，，再求出，又，即得证. 【详解】（1）， 因为，所以. （2）与不垂直.证明略. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由已知结合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $