精品解析：福建省晋江市养正中学2024--2025学年下学期3月份八年级数学月考卷

养正中学2024-2025学年初二下数学学科素养检测（一）试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 分式有意义时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 华为手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A. 4 B. 7 C. 21 D. 28 4. 当时，函数和函数函数值相等，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. -2 5. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6. 直线上有三个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 平面直角坐标系中，点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第二象限，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线，线段，匀速运动到A，当点P运动的时间为t时，的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的纵坐标为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点的横坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算_____________． 12. 一次函数的图象不经过第_______象限. 13. 当_____________时，方程会产生增根． 14. 将一次函数图象向上平移3个单位，平移后图象解析式为______． 15. 若，其中a，b常数，则_____． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．若函数|（为常数）与直线有交点、，现给出以下结论，其中正确结论的序号是_____________． ①面积总为2； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 三、解答题（共9小题，共86分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 解分式方程： （1） （2） 19. 已知实数a满足，求分式的值． 20. 已知一次函数的图象经过点， （1）求一次函数的解析式； （2）直线与轴的交点为，求的面积． 21. 关于的分式方程的解为正数，求的取值范围是什么？ 22. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． （1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？ （2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？ 23. 阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点，，试求、两点间的距离； （2）已知点，且，求的值； （3）求代数式的最小值． 24. 小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行．当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在图书馆查阅资料时间为_________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟． （2）求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）若设两人在路上相距不超过千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有______分钟． 25. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，P是x轴上的动点． （1）求k的值． （2）连结PB，当时，求OP的长． （3）过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线上．是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 养正中学2024-2025学年初二下数学学科素养检测（一）试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 分式有意义时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求解即可． 【详解】解：x-1≠0， 解得x≠1， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握知识点是解题关键． 2. 华为手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 3. 把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A. 4 B. 7 C. 21 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘上或除以相同的数 (0除外)，分式的大小不变；分式的分母乘上4，要使分式的大小不变，分子也要乘上4，然后即可算出分子应该加上几． 【详解】解：， ， 故选：C． 4. 当时，函数和函数的函数值相等，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数值相等构建方程即可解决问题； 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查两直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 5. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的内容，当分式的值为0时，即分子为，分母不为，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：B． 6. 直线上有三个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又直线上有三个点，，，且， ． 故选：C 7. 平面直角坐标系中，点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第二象限，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第二象限， ∴点A的横坐标是，纵坐标是1， ∴点A的坐标是． 故选：B． 8. 如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线，线段，匀速运动到A，当点P运动的时间为t时，的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断出点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案． 【详解】解：点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小；当点P在线段上运动时，的长逐渐变大； 所以D选项的图象符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的纵坐标为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键． 过点B作轴于点E，过点C作轴于F，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于F， ∴， ∴， ∴， 和中， ， ∴， ∴，， ∵点，， ∴， ∴点C的纵坐标为1． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点的横坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图1，以为边作等边，连接，    由题意 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过P作轴，垂足为T，    ∵是等边三角形，， ∴， ∵点A的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为． 当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，掌握计算公式是解题的关键． 根据即可计算． 【详解】解：， 故答案为：4． 12. 一次函数的图象不经过第_______象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，k<0，过二、四象限，b>0，与y轴交于正半轴，综合来看即可得到结论. 【详解】因为解析式中，-5<0,3>0,图象过一、二、四象限，故图象不经过第三象限. 故答案为第三象限. 13. 当_____________时，方程会产生增根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根． 先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出． 【详解】解：把方程化为整式方程得， 方程有增根， ， ， 把代入得， ， 故答案为：． 14. 将一次函数图象向上平移3个单位，平移后图象的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据上加下减，左加右减的规律进行作答即可 【详解】解：∵一次函数图象向上平移3个单位 ∴平移后图象的解析式为 故答案为： 15. 若，其中a，b为常数，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．若函数|（为常数）与直线有交点、，现给出以下结论，其中正确结论的序号是_____________． ①的面积总为2； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线平行问题，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．求得、的坐标，即可得出，利用三角形面积公式求得△的面积即可判断①；根据满足，即可求出的取值范围，可以判断②；求得直线与函数的交点为，，，根据图象即可判断③；求得直线与直线平行，与直线平行时的的值，根据图象即可求得正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点时的的取值，可以判断④． 【详解】解：①把代入为常数）得，， 解得或， ，，，， ， ，故①正确； ②当时，，； 当时，即， 的取值范围为．故②正确； ③由，解得， 由，解得， 直线与函数的交点为，，， 则的解集为，故③正确； ④时，直线与直线平行，时，直线与直线平行， 正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点，则或．故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（共9小题，共86分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简零次幂，二次根式，负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【小问1详解】 解：， 方程的两边同乘，得， 解得，检验：把代入， 则，是原方程的增根， ∴原方程无解． 【小问2详解】 解：， 方程的两边同乘，得，解得． 检验：把代入． ∴是原方程的解． 19. 已知实数a满足，求分式的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算括号内的，再计算分式的乘除，然后算加减，最后将数值整体代入计算即可． 【详解】原式 . ∵， ∴， ∴原式． 20. 已知一次函数的图象经过点， （1）求一次函数的解析式； （2）直线与轴的交点为，求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式以及一次函数与轴的交点等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）先求出与轴的交点为，再根据三角形的面积公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴把，分别代入 得 解得 ∴； 小问2详解】 解：∵直线与轴交点为， ∴当时，则 ∴ ∴的面积 21. 关于的分式方程的解为正数，求的取值范围是什么？ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程的解法求出的表达式，然后利用题意列出关于的不等式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 且， 解得：且． 22. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． （1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？ （2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？ 【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元 （2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元 【解析】 【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润每个的利润销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题， 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【小问1详解】 解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴ 故答案为：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元． 【小问2详解】 解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个， 根据题意得：， 解得：， 设商店共获利w元，则，即 ∵， ∴w随m的增大而增大，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为500． 故答案为：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元． 23. 阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点，，试求、两点间的距离； （2）已知点，且，求的值； （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）13 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【小问1详解】 解：根据两点的距离公式得，； 小问2详解】 解：根据题意得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵看成点到两点和的距离之和， ∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， ∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． 24. 小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行．当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在图书馆查阅资料的时间为_________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟． （2）求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）若设两人在路上相距不超过千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有______分钟． 【答案】（1）15；0.5 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）由函数图象的数据可以求出小聪在图书馆查阅资料的时间为15分钟，由速度=路程÷时间，就可以得出小聪返回学校的速度； （2）利用待定系数法求出s与t的函数解析式即可； （3）分类讨论，当小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前,当小聪、小明在相遇之前及当小聪、小明在相遇之后，分别求出来即可． 【小问1详解】 解：由题意，得： 小聪在图书馆查阅资料的时间为（分钟）； 小聪返回学校的速度为（千米/分钟）． 故答案为：15；0.5． 【小问2详解】 解：设，把，代入得： ， 解得：； ∴小聪从图书馆返回学校时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：设小聪从学校到图书馆时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式为：，把代入得： ， 解得：， ∴小聪从学校到图书馆时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式为：， 设小明运动的路程与时间之间的函数关系式为，把代入得： ， 解得：， ∴小明运动的路程与时间之间的函数关系式为； ∵， 解得：， ∴小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前，时，两人相距不超过千米， 当小聪从图书馆刚开始返回时，小明与图书馆之间的距离为：（千米）， ∴当小聪从图书馆刚开始返回时，小聪和小明为“可控距离”， 当小聪、小明在相遇之后，两人相距千米时， ， 解得：， ∴小聪和小明“可控距离”的时间：（分钟） 综上可知，小聪和小明“可控距离”的总时间为（分钟）． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 25. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，P是x轴上的动点． （1）求k的值． （2）连结PB，当时，求OP的长． （3）过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线上．是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）OP=1； （3）存在，点坐标为：或或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法得出解析式解答即可； （2）设P（m，0），根据勾股定理得出方程解答即可； （3）设Q（2，t），分下列情况：①当△PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°时，如图1；②当△PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ=90°时，如图2；③当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°时，如图3；④当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°时，如图4；分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论． 【小问1详解】 将，代入得： ， 解得：， 的值是； 【小问2详解】 设， ，， ，，， ， ，即， 解得， ； ； 【小问3详解】 存在，点坐标为：或或． 过点Q作平行于轴的直线，点在直线上，设直线交轴于点， 设， ，， 直线的解析式为：， 设点的坐标为， 过点作的平行线，交轴于点， 直线的解析式为：， ，，， ①当是等腰直角三角形，时，如图1， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 联立方程组得， 解得：， ； ②当是等腰直角三角形，时，如图2， 则， ①， 过点作直线，垂足为， 则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； ③当是等腰直角三角形，时，如图3， 则， 过点作轴于点， 则， 轴， ， ， ， ， ， ， ； ④当是等腰直角三角形，时，如图4， 则， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ，， ，， ， ； 综上所述，点坐标为：或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $