精品解析：北京市顺义区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2024—2025学年顺义一中学高二第二学期3月月考试题 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在等差数列中，，则公差的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列下标的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，. 故选：C 2. 下列求导运算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确；     对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；     对于D，，故D错误. 故选：D. 3. 已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式结合下标的性质计算即可. 【详解】由题意可得. 故选：B 4. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程即可. 【详解】因为函数，所以，所以，， 所以在点处的切线方程为，即. 故选：A. 5. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 6. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究极值点即可. 【详解】由，因为是函数的极小值点， 所以，即 则当或时，，所以在上递增， 则当时，，所以在上递减， 即在时有极大值, 故选：D . 7. 若在上是单调递增的，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调递增得出导函数大于等于0，再参数分离结合余弦函数值域求解即可. 【详解】因为在上是单调递增的， 所以上恒成立，所以上， 因为，所以，， 则的取值范围是. 故选：C. 8. 设等比数列的前项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】充分性的证明可分和时，当取反例即可；必要性的证明可假设. 【详解】充分性： 当时，，所以为递增数列； 当，若时，假设，则数列，则， 所以充分性不成立； 必要性：假设，则数列为， 取，则，，，但， 所以必要性不成立， 故选：D 9. 已知是无穷等比数列，其前项和为，，.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求解出，然后对分奇偶讨论可得和，结合函数的单调性可求结果. 【详解】设的公比为，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为对任意正整数恒成立， 所以对任意正整数恒成立； 当是偶数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以，所以， 当是奇数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以时，，所以， 综上所述，的取值范围是， 故选：B 10. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当时，分离参数后构造函数求导，当结合复合函数的单调性可得④正确. 【详解】对于①，当时，，令； 当时，，令， 所以的递增区间是和，故①正确； 对于②，当时，；当时，； 当时，，又在上为递减函数，在为递增函数， 做出函数图象如下： 所以函数有两个零点，故②错误； 对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确； 对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立， 令，， 令可得，所以当时，，为递减函数；当时，，为递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立， 当时，， 当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可； 综上的最大值为1，故④正确； 故选：D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 2和6的等差中项是______. 【答案】4 【解析】 【分析】由等差中项的性质计算即可 【详解】2和6的等差中项为. 故答案为：4 12. “藻井”又称“绮井”“天井”是中国建筑中一种顶部装饰手法，将建筑物顶棚向上凹进如井状，四壁饰有藻饰花纹.藻井最上面的顶心放置明镜或者雕刻蟠龙，所以近代“藻井”也称为“龙井”. 为了更好的传播我国的建筑文化，北京建筑博物馆制作了“藻井冰箱贴”，“藻井”是由五片圆形四周带有“宫殿”的大小相同的强磁金属片重叠摆放构成，每个金属片上的宫殿个数成等比数列，冰箱贴的最下面一层为“明镜”没有宫殿，第二层有4个宫殿，第三层有8个宫殿，则冰箱贴的最上一层有______个宫殿，一套冰箱贴中共有______个宫殿. 【答案】 ①. 32 ②. 60 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得第一空；由等比数列的求和公式可得第二空. 【详解】由题意可得公比，设等比数列为，则 冰箱贴的最上一层有个宫殿； 一套冰箱贴中共有. 故答案为：32；60. 13. 已知一个物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为______：物体在1s时的瞬时速度为______. 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】根据平均速度和瞬时速度的定义，结合导数来求解. 【详解】根据平均速度的定义，平均速度，其中是位移的变化量，是时间的变化量. 已知位移，当时，；当时，. 则位移的变化量，时间的变化量. 所以平均速度. 瞬时速度是位移函数对时间的导数，先对位移函数求导，可得. 那么物体在1s时的瞬时速度，就是时导函数的值，即. 故答案为： ； . 14. 已知函数，的单调递增区间为______，则的极大值为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解不等式和即可求出单调性和极值. 【详解】定义域为，因，则， 得；得或， 则在，上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为. 故答案为：； 15. 已知数列满足：，有下列结论：则下列关于的判断正确的是 ①，使得数列为等比数列； ②，，有； ③，，使得； ④，，当时，有； 所有正确结论的序号是______ 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据等比数列的定义、数列的单调性以及数列的有界性等知识.对于每个结论，结合数列的递推公式进行分析和推理. 【详解】判断①，若数列为等比数列，则（为公比）. 已知，若，则，即. 若为常数，那么也必须为常数，设，则，即. 若，为常数，代入得，化简得，即，，. 当时，，，，此时数列是常数列，也是等比数列（公比为），所以，使得数列为等比数列，①正确. 判断②，当时，. 根据均值不等式，有，当且仅当，即时取等号. 所以，，因为，. 当时，，即，所以②错误. 判断③，取，在同一坐标系中作出函数的图象， 根据递推关系，依次标出,结合图象可得，逐渐趋近于2，且与交替出现，③错误. 判断④，由，当且仅当时，等号成立， . 所以， 所以 对于，，当时，，即，④正确. 所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 三、解答题（本题共6个试题，总分85分） 16. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及的最大值. 【答案】（1） （2）；最大值为 【解析】 【分析】（1）设公差，得出关于的方程组即可求； （2）利用等差数列的前项和公式求，再结合二次函数的单调性即可求最值. 【小问1详解】 设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 ，， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在上的最值. 【答案】（1）的单调递增区间为和,单调递减区间为; （2）最大值为,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可. （2）利用导数求解函数在闭区间上的最值即可. 【小问1详解】 对求导可得：， 令,则,解得或； 时，则，解得或， 所以在上单调递增； 当时，则,即, 所以在 上单调递减； 因此，的单调递增区间为和,单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知和为函数的极值点; , , , , 所以在 上的最大值为,最小值为0. 18. 两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）数列根据可算公比及通项；选①则可根据和关系求通项；选②条件不足，无法确定；选③根据首项和公差可求通项； （2）利用分组求和，求等差和等比数列的前项和. 小问1详解】 设数列的公比为，则，得， 则； 选①：时，，又因满足上式，故， 当时，，则，又满足上述，故. 选②：已知，无法确定数列. 选③：可知数列是以为首项，为公差的等差数列，则 【小问2详解】 ，则 ， 19. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若，讨论函数的零点个数. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）先将问题转化为与的交点个数，再由（1）画出函数图象后可得. 【小问1详解】 ，， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递增函数， 所以的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 的零点个数即为与的交点个数， 由，可得，， 时；时；时， 结合（1）画出图象如下： 所以，当时，函数无零点； 当或，函数有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 20. 已知函数， （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）求出函数在处的导数，利用点斜式方程即可得到切线方程； （2）求出的导数，讨论参数的范围，根据的符号，写出单调区间； （3）将函数图象的位置关系转化为函数等式恒成立问题，根据(2)中的单调区间，求参数范围即可. 【小问1详解】 已知函数 ，则， 将代入可得 将代入可得， 所以切点为,切线斜率, 则切线方程为，整理得； 【小问2详解】 已知，其定义域为. ， 令，， 当，即时，恒成立(因为二次函数开口向上)， 则恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，由，根据求根公式可得，； 则在和上, 单调递增； 在上，, , 单调递减； 综上，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的 单 调 递 增 区 间 为 和 , 单 调 递 减 区 间 为 . 【小问3详解】 由题意知在上恒成立，即在上恒成立， 等价于上恒成立， 令，则恒成立， 对进行求导，， 令，对其求导得， 所以在上单调递增； 又，所以当时，，即, 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 所以, 即实数的最大值为2. 21. 若有穷正整数数列：，，，…，（）满足如下两个性质，则称数列为数列：①（1，2，3，…，）；②对任意的，都存在正整数，使得. （1）判断数列：1，1，2，2，4，4和数列：1，1，1，3，3，5是否为数列，说明理由； （2）已知数列：，，，…，（）是数列. （ⅰ）若，试列举所有的数列； （ⅱ）证明：对任意的，与不能同时成立. 【答案】（1）数列，数列不是； （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据T数列的定义分别验证条件①②即可判断数是否为T数列. （2）（ⅰ）利用T数列的定义依次求出8项即可；（ⅱ）利用反证法假设存在，使得，分别根据条件①②验证假设，即可得结论. 【小问1详解】 对于数列A，，，，即数列A满足性质①， 又，，，，，即数列A满足性质②， 所以数列A是T数列； 对于数列B，，，且对任意的正整数， 有，即数列B不满足性质②， 所以数列B不是T数列. 【小问2详解】 （ⅰ）对任意的，由性质①，，由性质②，， 当时，，而为正整数，则， 当时，，而为正整数，则，由（1）知，符合题意， 或，此时，满足性质②，符合题意； 当时，，为正整数， 若，则或或， 当时，，符合题意； 当时，，对任意的正整数， 有，不满足性质②； 当时，由（1）知，符合题意， 若，则或， 当时，由（1）知，不符合题意； 当时，，满足性质②， 因此数列前6项为：；；， 当时，，为正整数， 若，则，满足性质②，或都不满足性质②； 若，则或满足性质②， 或或都不满足性质②； 若，则或满足性质②， 或或都不满足性质②， 所以，所有的数列为：；；； ；. （ⅱ）假设存在，使得， 由性质①，可得， 由性质②，存在正整数，使得， 由，得，则，， 而，矛盾， 所以与不能同时成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年顺义一中学高二第二学期3月月考试题 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在等差数列中，，则公差的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列求导运算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. 30 D. 60 4. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若在上是单调递增的，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设等比数列的前项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知是无穷等比数列，其前项和为，，.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 2和6的等差中项是______. 12. “藻井”又称“绮井”“天井”是中国建筑中一种顶部装饰手法，将建筑物顶棚向上凹进如井状，四壁饰有藻饰花纹.藻井最上面顶心放置明镜或者雕刻蟠龙，所以近代“藻井”也称为“龙井”. 为了更好的传播我国的建筑文化，北京建筑博物馆制作了“藻井冰箱贴”，“藻井”是由五片圆形四周带有“宫殿”的大小相同的强磁金属片重叠摆放构成，每个金属片上的宫殿个数成等比数列，冰箱贴的最下面一层为“明镜”没有宫殿，第二层有4个宫殿，第三层有8个宫殿，则冰箱贴的最上一层有______个宫殿，一套冰箱贴中共有______个宫殿. 13. 已知一个物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为______：物体在1s时的瞬时速度为______. 14. 已知函数，的单调递增区间为______，则的极大值为______ 15. 已知数列满足：，有下列结论：则下列关于的判断正确的是 ①，使得数列为等比数列； ②，，有； ③，，使得； ④，，当时，有； 所有正确结论的序号是______ 三、解答题（本题共6个试题，总分85分） 16. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及的最大值. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在上的最值. 18. 两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 19. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若，讨论函数的零点个数. 20. 已知函数， （1）求曲线在处切线方程； （2）设函数，求函数单调区间； （3）在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. 21. 若有穷正整数数列：，，，…，（）满足如下两个性质，则称数列为数列：①（1，2，3，…，）；②对任意的，都存在正整数，使得. （1）判断数列：1，1，2，2，4，4和数列：1，1，1，3，3，5是否为数列，说明理由； （2）已知数列：，，，…，（）是数列. （ⅰ）若，试列举所有的数列； （ⅱ）证明：对任意的，与不能同时成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $