精品解析：陕西省榆林市绥德县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024～2025学年度第二学期第一次月考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加减法法则计算得解. 【详解】. 故选：A 2. 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的意义及向量坐标运算求解判断. 【详解】与向量共线的单位向量是或. 故选：D 3. 若向量，，，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式计算得解. 【详解】由已知有，所以. 故选：C 4. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 两个单位向量是相等向量 C. 共线的两个向量方向相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 5. 河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的实际速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量关系求解即可. 【详解】设表示水流速度，表示实际速度（即静水速度），表示与合速度， 则，，由题意可得. 故选：B. 6. 已知非零向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量夹角公式求解. 【详解】由，， 得， 而，因此，又， 所以. 故选：A 7. 已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用平面向量共线定理，由于，所以存在实数使得；然后将与的表达式代入，再根据平面向量基本定理，列出关于的方程组，最后求解方程组得出的关系. 【详解】解析　因为，所以存在实数使因为，， 所以，可得所以. 故选：C. 8. 已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】在三角形中利用数形结合构造关于不等式，解之即可求得的最大值 【详解】以向量与为两边作△，，， 则 则在△中，即， 则，当且仅当即时等号成立. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理解三角形，逐项进行判断. 【详解】由正弦定理，有，得， 由且，得或. 故选：BD 10. 已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断. 【详解】因为，则和共线，不满足条件； 设，则，无解，故和不共线，能作为基底； 同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底． 故选：ACD． 11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C. 已知点，，为坐标原点，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的定义，结合数量积的定义逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得， 则，而，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得， 则，而，则，又， 即，因此， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由，可得. 故答案为：. 13. 已知，，若、、三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】由、、三点共线，得，而， 因此，所以. 故答案为： 14. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【详解】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量的夹角为，，． （1）求的值； （2）若和垂直，求实数的值． 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义式计算可得； （2）由数量积的运算律结合数量积的定义和垂直关系的向量表示求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为和垂直，所以， 即. 16. 已知向量，，向量满足． （1）求向量； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求解即可； （2）代入向量的坐标，利用坐标相等可得的方程，即可求求解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以，解得. 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 18. 在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. （1）求； （2）若为正实数，求的最小值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由可求解； （2）由三点共线得到，再结合基本不等式即可求解； 【小问1详解】 设点，由中心坐标公式得： ， ， 又， 所以，， 故 法二： 根据题意：， 所以，. 【小问2详解】 由， 得， 所以 因为三点共线， 所以. 则 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 19. 已知的内角的对边分别为，为锐角，的面积为，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图，若，，为内一点，且，，求的长. 【答案】（1）直角三角形或钝角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面积公式及余弦定理代入化简，然后利用正弦定理边化角可得答案； （2）由（1）的结果得到为等腰直角三角形，然后解，可得，进而可得，再解即可求出的长. 【小问1详解】 ， ，即， 再由正弦定理边化角得， ， ，又为锐角， ， 或， 或， 为直角三角形或钝角三角形； 【小问2详解】 由（1）的结果以及，可得， 为等腰直角三角形，又， ， 在中， 则，解得，负值舍去， 又， ， ， 在中，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期第一次月考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 两个单位向量是相等向量 C. 共线的两个向量方向相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 5. 河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的实际速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C. 已知点，，为坐标原点，则 D. 若，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______． 13. 已知，，若、、三点共线，则______． 14. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量的夹角为，，． （1）求的值； （2）若和垂直，求实数的值． 16. 已知向量，，向量满足． （1）求向量； （2）若，求实数的值． 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 18. 在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. （1）求； （2）若为正实数，求的最小值. 19. 已知的内角的对边分别为，为锐角，的面积为，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图，若，，为内一点，且，，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $