清单03 三角函数的性质与图像（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

清单03 三角函数的性质与图像 清单01 周期函数 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  清单02 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 清单03 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 【考点题型一】周期问题（） 【例1】已知函数，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式1-2】设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 【变式1-3】函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】若函数（其中常数）的最小正周期为，则 . 【考点题型二】解三角不等式及定义域问题（） 【例2】已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】不等式的解集是 . 【变式2-2】函数的定义域为 . 【变式2-3】函数的定义域为 . 【变式2-4】函数的定义域为 ． 【考点题型三】求单调区间（） 【例3】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】求奇偶性与对称性（） 【例4】已知函数图象的一个对称中心为点的一个周期为，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式4-2】求函数的对称中心为 ． 【变式4-3】函数在区间上的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-4】下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求最值（值域）（） 【例5】已知函数． (1)求的最小正周期及图象的对称中心； (2)当，求的最大值与最小值． 【变式5-1】已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（    ） A．5 B．－5 C．1 D．－1 【变式5-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最小值为 . 【变式5-3】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求的最小值及此时的值. 【变式5-4】已知函数的最小正周期为． (1)求和的对称中心； (2)求在上的最值并求相应的的值． 【考点题型六】换元法求最值（值域）（） 【例6】函数，则的最小值为 ． 【变式6-1】已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数的值域为 ． 【变式6-3】已知，求函数的最小值． 【变式6-4】设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是 . 【考点题型七】根据奇偶性和对称性求参数（） 【例7】已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式7-1】已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ． 【变式7-2】 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 【变式7-3】已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 【变式7-4】已知函数，若存在常数，使为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】根据单调性求参数（） 【例8】已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 【变式8-1】已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【变式8-3】设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式8-4】若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的取值范围是 . 【考点题型九】根据最值（值域）求参数（） 【例9】已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式9-3】函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 【考点题型十】由图象确定函数的解析式（） 【例10】函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）. A． B． C． D． 【变式10-2】已知函数（，，）的部分图象如图所示，与x轴交于点，且平行四边形EDCB的面积为. (1)求函数的解析式 (2)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围 【变式10-3】已知函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A． B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴 【变式10-4】（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．图象的一条对称轴是直线 C．图象的一个对称中心是点 D．函数是偶函数 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 三角函数的性质与图像 清单01 周期函数 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  清单02 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 清单03 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 【考点题型一】周期问题（） 【例1】已知函数，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因， 则的一个对称中心为，一条对称轴为， 又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的为， 则最小正周期为，则. 故选：B 【变式1-1】若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为的最小正周期为，所以，得. 故选：D 【变式1-2】设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为的最小正周期， 且，， ，． 所以， 所以. 故选：B． 【变式1-3】函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的图象如图所示，    由图象可知最小正周期为. 故选：B. 【变式1-4】若函数（其中常数）的最小正周期为，则 . 【答案】6 【详解】依题意，，所以. 故答案为：6 【考点题型二】解三角不等式及定义域问题（） 【例2】已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 【变式2-1】不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由，即，可得， 所以解集为. 故答案为： 【变式2-2】函数的定义域为 . 【答案】 【详解】对于，有， 解，得且， 解，得， 综上，， 所以的定义域为. 故答案为：. 【变式2-3】函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2-4】函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，得， 解得 故答案为：. 【考点题型三】求单调区间（） 【例3】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为． 故选：B 【变式3-1】已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减，故C正确，D错误. 故选：C 【变式3-2】函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：. 【变式3-3】函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得：. 故选：C. 【变式3-4】（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，且当时，在上单调递增，所以A正确． 对于B，因为，且当时，在上单调递增，所以B正确． 对于C，当时，，不单调，所以C不正确． 对于D，因为，且当时，单调递增，所以D正确． 故选：ABD 【考点题型四】求奇偶性与对称性（） 【例4】已知函数图象的一个对称中心为点的一个周期为，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，最小正周期为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，最小正周期为，故D错误. 故选：A 【变式4-1】函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为，函数是偶函数. 故选：D. 【变式4-2】求函数的对称中心为 ． 【答案】， 【详解】令，解得， 则其对称中心为，. 故答案为：， 【变式4-3】函数在区间上的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】设，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称对称， ， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又， 选项BCD不能同时满足以上要求，而选项A满足以上要求， 所以选项A中的图象是函数的可能图象. 故选：A. 【变式4-4】下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，，即函数图象关于直线对称，A是； 对于B，当时，，即函数图象不关于直线对称，B不是； 对于C，当时，，即函数图象不关于直线对称，C不是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是. 故选：A 【考点题型五】求最值（值域）（） 【例5】已知函数． (1)求的最小正周期及图象的对称中心； (2)当，求的最大值与最小值． 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为，（） (2)最大值为，最小值 【详解】（1）因 则的最小正周期为． 由，可得（） 解得（）， 故图象的对称中心为，（）. （2）因为，所以． 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故当时，，的最小值为， ，． 故的最大值为，最小值． 【变式5-1】已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（    ） A．5 B．－5 C．1 D．－1 【答案】A 【详解】若，则， 所以（当时取“”）； 若，则， 所以（当时取“”）. 综上可知：的最大值为：5. 故选：A 【变式5-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意，得，所以， 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 【变式5-3】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求的最小值及此时的值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为， (2)时，的最小值为 【详解】（1）令，， 得，， 令，， 得，， 故函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为，. （2）因为，所以， 所以， 所以，所以的最小值为， 此时，解得， 所以时，的最小值为. 【变式5-4】已知函数的最小正周期为． (1)求和的对称中心； (2)求在上的最值并求相应的的值． 【答案】(1)， (2)时，取得最小值；时，取得最大值3． 【详解】（1）因为的最小正周期为，所以，则， 所以， 由得，， 所以的对称中心． （2）由（1）知， 因为，所以， 所以， 所以，当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值3． 【考点题型六】换元法求最值（值域）（） 【例6】函数，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 【变式6-1】已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 【变式6-2】函数的值域为 ． 【答案】 【详解】将两边平方可得： ， 因为，所以，，则， 则，即，即函数的值域为. 故答案为： 【变式6-3】已知，求函数的最小值． 【答案】4 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【变式6-4】设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是 . 【答案】 【详解】， 因为，所以，则， 所以，则， 所以函数的值域是. 故答案为：. 【考点题型七】根据奇偶性和对称性求参数（） 【例7】已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，所以.又，所以，解得，代入检验，得到，显然符合题意. 故选：B. 【变式7-1】已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ． 【答案】0 【详解】∵函数的图象关于直线对称， ∴对任意的，有，则，即， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：0． 【变式7-2】 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为函数的图象关于中心对称， 则，解得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 【变式7-3】已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 【答案】8 【详解】函数关于点对称， 所以，所以， 要使函数在区间上有且只有两条对称轴，所以, 因为，所以，所以，所以或或； 当时，，则函数只有一个对称轴不合题意； 当时，，则函数有且只有两条对称轴符合题意； 当时，，则函数有三条对称轴不符合题意； 所以. 故答案为：. 【变式7-4】已知函数，若存在常数，使为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以， 因为存在常数，使为奇函数，则， 所以， 此时为偶函数， 所以， 因为，所以的最小值为． 故选：D． 【考点题型八】根据单调性求参数（） 【例8】已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【详解】因为函数在上单调， 所以，得. 又直线为的图象的对称轴， 所以， 得，当时，. 故选：B. 【变式8-1】已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 【变式8-2】已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【答案】 【详解】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 【变式8-3】设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 【变式8-4】若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得； 当时，由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得， 综上所述. 故答案为：. 【考点题型九】根据最值（值域）求参数（） 【例9】已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由于在递增， 所以， 又由可得：， 由在上恰好取得一次最大值， 则， 所以综合上述可得：， 故选：A. 【变式9-1】已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 【变式9-2】已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式9-3】函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 【变式9-4】已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可得：， 令 由题意可知：在可取到， 结合余弦函数的性质可知需满足：， 解得， 所以的最小值为， 故答案为： 【考点题型十】由图象确定函数的解析式（） 【例10】函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】周期为，则，所以， 由，且在附近单调递减，所以，解得 又因为，所以，则， 因为，可得，所以， 故选：B. 【变式10-1】若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 即， 把点代入方程可得， 所以，，即，， 因为，所以， ， 因为， 经检验，其他选项都不满足，所以函数的一条对称轴方程为， 故选：A． 【变式10-2】已知函数（，，）的部分图象如图所示，与x轴交于点，且平行四边形EDCB的面积为. (1)求函数的解析式 (2)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可知，又因为平行四边形的面积为， 所以，解得， 所以， 又的图象过点， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以. （2）若，则， 若函数在区间上单调递增， 则由复合函数单调性可知， 所以，解得. 【变式10-3】已知函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A． B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴 【答案】C 【详解】根据图象和题目条件可知，， 所以，解得，A正确； 将代入，可得，解得，B正确； 所以， 令得，， C错误， 令得，，故是函数的一条对称轴，D正确， 故选：C． 【变式10-4】（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．图象的一条对称轴是直线 C．图象的一个对称中心是点 D．函数是偶函数 【答案】BD 【详解】由函数的部分图象知，，即，解得 过点，解得， ，选项A错误； 当时，的一条对称轴是直线，选项B正确； 令，解得的对称中心是，选项C错误； ，是定义域上的偶函数，选项D正确. 故选:BD. 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$