专题01 等腰（边）三角形（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题01 等腰（边）三角形 题型概览 题型01等腰三角形的性质 题型02三线合一的计算 题型03等腰三角形的判定 题型04等腰三角形的性质和判定的综合 题型05等边三角形的性质 题型06等边三角形的判定 题型07等边三角形的性质与判定的综合 ( 题型01 )等腰三角形的性质 1．（23·24八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23·24八年级下·广东广州·期中）等腰三角形中，，．则的周长为 ． 3．（23·24八年级下·辽宁锦州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为 ． 4．（23·24八年级下·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接，．求证：． 5．（23·24八年级下·陕西安康·期中）在中，，为边上的中线，把的周长分成18和15两部分，求底边的长． 6．（23·24八年级下·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． ( 题型0 2 ) 三线合一的计算 7．（23·24八年级下·广西防城港·期中）如图，在中，，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．（23·24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，为中线，，则 ． 9．（23·24八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，，的于点，、是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 10．（23·24八年级下·山东青岛·期中）如图，中，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 11．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．求： (1)边上的中线的长． (2)的面积． 12．（23·24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点D是边上一点，，过B点作，且，连接交于点O，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 13．（23·24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． ( 题型0 3 ) 等腰三角形的判定 14．（23·24八年级下·江西南昌·期中）如图，在中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：为等腰三角形． 15．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 16．（23·24八年级下·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 17．（23·24八年级下·广州深圳·期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BE是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形一共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（23·24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 19．（23·24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，于点D，过点C作，，连接并延长，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． ( 题型0 4 ) 等腰三角形的性质和判定的综合 20．（23·24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中， ，，平分交于点，平分交于点，，求的长． 21．（23·24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点D为的边延长线上一点，，若，，则的度数为 ． 22．（23·24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，平分． (1)求证： (2)若，，求的度数． 23．（23·24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若，，则的周长是 ．    24．（23·24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )等边三角形的性质 25．（23·24八年级下·广西钦州·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作，垂足为F，若，求的周长． 26．（23·24八年级下·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 27．（23·24八年级下·贵州黔南·期中）如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是 ． 28．（23·24八年级下·浙江宁波·期中）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数． (2)求证：点是的中点． 29．（23·24八年级下·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 30．（23·24八年级下·山东菏泽·期中）如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 ( 题型0 6 )等边三角形的判定 31．（23·24八年级下·全国·期中）如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形． 32．（23·24八年级下·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 33．（23·24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 34．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． ( 题型0 7 )等边三角形的性质与判定的综合 35．（23·24八年级下·陕西安康·期中）如图，在等边中，点分别在边上，，点在的延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 36．（23·24八年级下·河南漯河·期中）如图，若，且，则的度数为 ． 37．（23·24八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D、E是内两点，连接、和，平分，，若，，则的长度是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 38．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 39．（23·24八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 40．（23·24八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 1．（23·24八年级下·湖北孝感·期中）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23·24八年级下·江西景德镇·单元测试）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 3．（23·24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （   ） A． B．9 C．18 D．36 4．（23·24八年级下·浙江金华·期中）由于传统的木质衣架如图1没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种弹性衣架如图2，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．弹性衣架杆，衣服套进后，衣架自然状态下，则此时两点之间的距离是 ． 5．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则 ． 6．（23·24八年级下·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 7．（2019八年级·安徽·专题练习）如图，在中，，，点、分别是、上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．若是等腰三角形，则的度数为 ． 8．（23·24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，点D、E分别在、上，且，．若为等腰三角形，则的度数为 ． 9．（23·24八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 10．（23·24八年级下·陕西榆林·期中）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 11．（23·24八年级下·江苏无锡·期中）已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求t的值． 12．（23·24八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，且．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 13．（23·24八年级下·云南昭通·期中）已知：如图，在中，，其中、边上的高、相交于点O． (1)求证：； (2)请判断是什么三角形，并说明理由． 14．（23·24八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，是的角平分线，且，过点D作，交于E点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰（边）三角形 题型概览 题型01等腰三角形的性质 题型02三线合一的计算 题型03等腰三角形的判定 题型04等腰三角形的性质和判定的综合 题型05等边三角形的性质 题型06等边三角形的判定 题型07等边三角形的性质与判定的综合 ( 题型01 )等腰三角形的性质 1．（23·24八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解∶∵， ， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶B． 2．（23·24八年级下·广东广州·期中）等腰三角形中，，．则的周长为 ． 【答案】或 【详解】解：当时，符合三角形三边关系，周长为； 当时，符合三边关系，周长为． 故答案为：或． 3．（23·24八年级下·辽宁锦州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为， 故答案为：或． 4．（23·24八年级下·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． 5．（23·24八年级下·陕西安康·期中）在中，，为边上的中线，把的周长分成18和15两部分，求底边的长． 【答案】9或13 【详解】解：设，则． 如图1，若，则， 解得，即． 此时，所以． 如图2，若，则， 解得，即． 此时，所以． 综上所述，底边的长为9或13． 6．（23·24八年级下·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：如图， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 当为腰时，， 点的坐标为； 当为腰时，， 又点的坐标为， 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 故答案为：或或． ( 题型0 2 ) 三线合一的计算 7．（23·24八年级下·广西防城港·期中）如图，在中，，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ， ， ． 故选：D ． 8．（23·24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，为中线，，则 ． 【答案】14 【详解】解：∵，，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：14． 9．（23·24八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，，的于点，、是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【详解】解：∵在中，，的于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 10．（23·24八年级下·山东青岛·期中）如图，中，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N， ∵是边上的中线， ∴平分， ∴M在上， 在中，， ∴， ∴， ∵E关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 11．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．求： (1)边上的中线的长． (2)的面积． 【答案】(1)8 (2)120 【详解】（1）解：在中，，是的中线， ∴， ， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴． 12．（23·24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点D是边上一点，，过B点作，且，连接交于点O，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23·24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． 【答案】等腰三角形，证明见解析 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ( 题型0 3 ) 等腰三角形的判定 14．（23·24八年级下·江西南昌·期中）如图，在中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）证明：∵为中点， ， 在和中， ， ， ∴； （2）证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ∴为等腰三角形． 15．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 16．（23·24八年级下·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 17．（23·24八年级下·广州深圳·期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BE是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形一共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，则△ABC是等腰三角形； ∴∠ABC=∠ACB=(180°−∠A)=(180°−36°)=72°， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠DBE=∠EBC=36°， ∴∠DBE=∠A， ∴BE=AE，则△ABE是等腰三角形； ∵DE∥BC， ∴∠EBC=∠BED=36°，∠ADE=∠ABC=72°，∠AED=∠ACB=72°； ∴∠DBE=∠BED，∠ADE=∠AED， ∴BD=ED，AD=AE， ∴△BDE和△ADE是等腰三角形； ∵∠BEC=180°−∠ACB−∠EBC=72°， ∴∠BEC=∠ACB， ∴BE=BC，则△BCE是等腰三角形； ∴图中等腰三角形的个数有5个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理等．解题的关键是进行角的等量代换． 18．（23·24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)） (2)点M的坐标为或 【详解】（1）解：直线交轴于点 ， 解得， ， 将直线向下平移4个单位长度，得到的直线， 令，则，解得， 令，则， ，； （2）解：若时， ， ， ，    若， ，， ， ， ，，    综上，的坐标为或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键． 19．（23·24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，于点D，过点C作，，连接并延长，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)50° (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）且， ， 又， 等腰中， 又， 在中； （2）且， 根据等腰三角形“三线合一”可得， 又在与中， ， ； （3）由（2）可得， ， 又且， ． ( 题型0 4 ) 等腰三角形的性质和判定的综合 20．（23·24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中， ，，平分交于点，平分交于点，，求的长． 【答案】 【详解】解：， ，， 平分，平分， ，， ， ， ，， ． 故的长为． 21．（23·24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点D为的边延长线上一点，，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图：在上截取，连接， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（23·24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，平分． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：平分， ； （2）解∶， ， ， 平分， ， 23．（23·24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若，，则的周长是 ．    【答案】20 【详解】∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴． 同理可得：． ∴周长， 故答案为：20． 24．（23·24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． ( 题型0 5 )等边三角形的性质 25．（23·24八年级下·广西钦州·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)36 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为36． 26．（23·24八年级下·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． ∴在和中， ， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键． 27．（23·24八年级下·贵州黔南·期中）如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/75度 【详解】解：是等边三角形， ， 是的中线， ， 由题意得：， ， 故答案为：． 28．（23·24八年级下·浙江宁波·期中）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数． (2)求证：点是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：三角形是等边， ， 又， ， 又， ； （2）证明：连接， 等边中，是的中点， 由（1）知 又 是的中点． 29．（23·24八年级下·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（23·24八年级下·山东菏泽·期中）如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵边的边长为4，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． ( 题型0 6 )等边三角形的判定 31．（23·24八年级下·全国·期中）如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形． 【答案】或或 【详解】解：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ，，， 当时， ， ； 当时， ， ， ， 当时， ， ， ． 故答案为：或或． 32．（23·24八年级下·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴是等边三角形， 故选：A． 33．（23·24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】详见解析 【详解】证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 34．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． ( 题型0 7 )等边三角形的性质与判定的综合 35．（23·24八年级下·陕西安康·期中）如图，在等边中，点分别在边上，，点在的延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【详解】如图，过点作，垂足为，则，设， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， 故答案为：3． 36．（23·24八年级下·河南漯河·期中）如图，若，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：． 37．（23·24八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D、E是内两点，连接、和，平分，，若，，则的长度是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】解∶延长交于点，延长交于点． ，平分 ，． ． ， ． ． ， ， ． ． ． 故选∶A． 38．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）是等边三角形． 理由：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 39．（23·24八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 40．（23·24八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ． 1．（23·24八年级下·湖北孝感·期中）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当长为的边为腰时，底长为， ∵， ∴腰长为时符合题意； 当长为的边为底时，腰长为， ∵， ∴腰长为时符合题意； 综上，这个等腰三角形的腰长为或， 故选：． 2．（23·24八年级下·江西景德镇·单元测试）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故选：C． 3．（23·24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （   ） A． B．9 C．18 D．36 【答案】B 【详解】解：过点A作于G，过点E作于F， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴的面积． 故选：B． 4．（23·24八年级下·浙江金华·期中）由于传统的木质衣架如图1没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种弹性衣架如图2，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．弹性衣架杆，衣服套进后，衣架自然状态下，则此时两点之间的距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， 即此时两点之间的距离是， 故答案为：． 5．（23·24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23·24八年级下·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 7．（2019八年级·安徽·专题练习）如图，在中，，，点、分别是、上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： ①当时，如图： ∴， ∴； ②当时，如图： ∴， ∴； ③当时，如图： ∴， ∴； 综上所述，为或或． 故答案为：或或． 8．（23·24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，点D、E分别在、上，且，．若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，，， ∴， ， ， 设，则，， 根据三角形内角和定理可得，， 分三种情况： ①当时，有， 解得； 则 ②当时，有， 解得； 则 ③当时，有，方程无解， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 9．（23·24八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ，， ， ， 的面积， 的面积为； 10．（23·24八年级下·陕西榆林·期中）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由（1）得， ∴． 11．（23·24八年级下·江苏无锡·期中）已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)、8.4、9、9.5 【详解】（1） 解：中，，，， ， ， ， 解得，； （2） 解：当点在上，时，， 则， 当点在上，时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当时，， 当时， 如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、8.4、9、9.5时，为等腰三角形； 12．（23·24八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，且．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 13．（23·24八年级下·云南昭通·期中）已知：如图，在中，，其中、边上的高、相交于点O． (1)求证：； (2)请判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵、是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 14．（23·24八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，是的角平分线，且，过点D作，交于E点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，平分， ∴，， 在中，， ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$