第三章 整式的乘除 单元检测B卷-2024-2025学年七年级数学下册(2024新浙教版）

2024-2025学年七年级下学期 第三章 整式的乘除 单元检测B卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 5．老师在黑板上书写了一个正确的算式，随后用手掌遮住了一个多项式，形式如下：，则  处应为（    ） A． B． C． D． 6．为了美化校园，学校把一个边长为a米（）的正方形跳远沙池的一边增加1米，相邻的一边减少1米改造成长为米，宽为米的长方形跳远沙池．如果这样，则沙池的面积会（   ） A．变小 B．变大a平方米 C．没有变化 D．变大 7．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 8．学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示． 则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知a，b，c满足，，，则的值为（   ） A．5 B． C．6 D． 10．已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 12．已知，，则 ． 13．计算： ． 14．若，  则的值是 15．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 16．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 第16题 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题10分）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 19．（本题8分）已知，，求下面代数式的值： (1)； (2) 20．（本题8分）如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 21．（本题8分）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题， 例如：若，，求的值． 解：， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)如图，已知，，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中．若的面积为9，和的面积之和为，求线段的长． 22．（本题10分）【实践操作】 如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，把图①中形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③； （1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为：____________________________________，并说明理由． 【应用探究】 （2）利用（1）中验证的公式简便计算：； （3）计算：． 【知识迁移】 （4）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：_______________________________________________．（结果不需要化简） 23．（本题10分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 24．（本题10分）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片张，再取型卡片张，还需取型卡片多少张？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值 　 　个． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下学期 第三章 整式的乘除 单元检测B卷•解析版 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方．积的乘方：分别把积中每一个因式都乘方，再把它们所得的积相乘．根据积的乘方的运算性质进行计算即可求出结果． 【详解】解：． 故选：D． 2．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 【详解】解：A、可以利用平方差公式计算，符合题意； B、不可以利用平方差公式计算，不符合题意； C、不可以利用平方差公式计算，不符合题意； D、不可以利用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 4．一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积由个长方形的面积之和，可表示为； 长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，可表示为，原算式不正确，不符合题意； 长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，可表示为，原算式正确，符合题意； 大长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式可表示为，原算式正确，符合题意； 综上可知：正确，共个， 故选：． 5．老师在黑板上书写了一个正确的算式，随后用手掌遮住了一个多项式，形式如下：，则  处应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的乘除法，直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：C． 6．为了美化校园，学校把一个边长为a米（）的正方形跳远沙池的一边增加1米，相邻的一边减少1米改造成长为米，宽为米的长方形跳远沙池．如果这样，则沙池的面积会（   ） A．变小 B．变大a平方米 C．没有变化 D．变大 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，整式加减的有应用，正确列出算式是解答本题的关键．用变化后的面积减去原来的面积即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴沙池的面积会变小． 故选：A． 7．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用；，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 8．学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示． 则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了整理式混合运算，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键． 根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：A、方案一：如图1，，故此选项不符合题意； B、方案二：如图2，，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 9．已知a，b，c满足，，，则的值为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是根据完全平方公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出，，的值，将题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ，，， 解得，，，， 故选：． 10．已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】整式的混合运算 【分析】将展开得到，得到，，化简求值可得t的值． 【详解】， 由题意， ，， ， ， 得， ， 或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 12．已知，，则 ． 【答案】12 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后整体代入求值即可． 【详解】 把，代入，原式． 13．计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算整式的加法即可，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 故答案为： 14．若，  则的值是 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式相乘，代数式求值，解题的关键在于熟练掌握多项式相乘的运算法则．根据多项式相乘的运算法则，结合题意建立等式，得到，的值，进而即可求出的值． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 则的值是， 故答案为：． 15．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：2． 16．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，可以得到，配方得，把代入即可求出的值．本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解、、这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆上的数字之和应为， 其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ； ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先算积的乘方，再按照单项式乘单项式的计算方法计算； （2）首先计算乘方，再计算单项式的乘法，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题10分）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值、整式的混合运算 【分析】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把代入得出答案． （2）直接利用完全平方公式和平方差公式计算，进而合并同类项，把代入得出答案． 【详解】（1）解：原式． 当，即时，原式． （2）解：原式 ． 当时， 原式 ． 19．（本题8分）已知，，求下面代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活变形是解题的关键， （1）将、的值代入到原式的变形中，计算可得； （2）将、的值代入到原式的变形中，计算可得. 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当，时， ． 20．（本题8分）如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查列代数式，单项式乘多项式与几何图形的面积，化简求值． （1）利用即可求解； （2）根据三角形面积公式分别表示出，，代入中，化简后，由，求出，即，再求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为a，正方形的边长为b（）， ∴ ； （2）解：根据题意：，， 由（1）知， ∴ ； ∵， ∴，即， ∴， ∴． 21．（本题8分）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题， 例如：若，，求的值． 解：， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)如图，已知，，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中．若的面积为9，和的面积之和为，求线段的长． 【答案】(1)的值为； (2)线段的长为． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键． （1）利用完全平方公式变形，整体代入求解即可； （2）设，，先求出的乘积，再求出，把线段的长转化为即可得解． 【详解】（1）解： ， 把，代入， 可得， ∴； （2）解：设，， 由面积为，得，即， 和是等腰直角三角形， 和的面积之和为， ， ， 即，化简得， ∴， （负值舍去）， 线段的长为：． 22．（本题10分）【实践操作】 如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，把图①中形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③； （1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为：____________________________________，并说明理由． 【应用探究】 （2）利用（1）中验证的公式简便计算：； （3）计算：． 【知识迁移】 （4）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：_______________________________________________．（结果不需要化简） 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律． （1）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出： （2）观察（1）的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成，将501拆成即可． （3）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式． （4）将立体图形分割成三部分，分别为：，其和为，恰等于． 【详解】解：（1）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积： ∴；理由如下： 一方面：         另一方面：          ∴ ；      （2）原式              （3）原式     ；             （4）将立体图形分割成三部分，分别为：，其和为． 23．（本题10分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当t的值为4时，的面积最大，最大值为 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为－9 即A的最小值为－9； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为16． 即当t的值为4时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 24．（本题10分）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片张，再取型卡片张，还需取型卡片多少张？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值 　 　个． 【答案】(1)需要卡片张，卡片张，卡片张 (2)要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取型卡片张 (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据多项式乘以多项式，进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式变形，即可求解； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 【详解】（1）∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）∵A型卡片4张，再取B型卡片1张的面积之和为，且是一个完全平方公式， ∴要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）依题意，设长方形的边长为， 则 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形，完全平方公式与图形，熟练掌握多项式乘方法则是解题的关键． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$