第三章 整式的乘除 单元检测C卷-2024-2025学年七年级数学下册(2024新浙教版）

2024-2025学年七年级下学期 第三章 整式的乘除 单元检测C卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一张长方形纸板的四角各减去一个边长为的小正方形（阴影部分），制成如图的无盖纸盒．若该纸盒的容积为，则原长方形纸板的周长为（   ） A． B． C． D． 5．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 6．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 7．已知，则的值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 8．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 9．若，则A的末位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算 ． 12．已知，则x的值为 ． 13．已知，，，且的值与无关，则 ． 14．用简便方法计算的结果是 ． 15．如图1，有边长为b和的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，且，把纸片A，C按如图2所示的方式放入纸片B内，图2中的阴影部分面积，则b与a之间的数量关系为 ． 16．小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 20．【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 21．如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 22．观察下列各式： ； ； …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)直接写出结果： (2)若n是正整数，且，则 (3)根据你发现的规律，计算的值． 23．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 24．【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下学期 第三章 整式的乘除 单元检测C卷•解析版 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．因为与不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B．因为，，故B不符合题意； C．因为与不是同类项，不能合并，故C不符合题意； D．因为，故D符合题意． 故选：D． 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行计算，符合题意； C、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选：B． 3．芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为， 其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为 整数．确定的 值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的 绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，是 正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：， 将用科学记数法表示为， 故选：D． 4．如图，将一张长方形纸板的四角各减去一个边长为的小正方形（阴影部分），制成如图的无盖纸盒．若该纸盒的容积为，则原长方形纸板的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减的应用、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式除法和加法的实际应用，先利用除法求出纸盒的宽，进而求出原长方形纸板的长和宽，再列式求出原长方形纸板的周长即可，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：纸盒的宽为， ∴原长方形纸板的长为，宽为， ∴原长方形纸板的周长为， 故选：． 5．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 6．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据各个图形中各个部分面积之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论． 【详解】解：方案①中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，方案①符合题意； 方案②中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作一个长为，宽为的长方形，则面积为，因此，故方案②符合题意； 方案③中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作底为，高为的大平行四边形的面积，则面积为，因此，故方案③符合题意； 方案④中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作四个长为，宽为的长方形面积和，即为，因此，故方案④不符合题意， 故选：C． 7．已知，则的值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，将两边时平方得，变形得，将已知条件代入后可得，直接开平方即可求得答案．将原式进行正确的变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 即的值为10， 故选：A． 8．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∵， ∴， 又∵ ∴ 故选为：B． 9．若，则A的末位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式． 先在原式上乘以，再反复利用平方差公式化简为，再找出的末尾数规律，即可求解． 【详解】解： ， ∵2的末位数字是2， 的末位数字是4， 的末位数字是8， 的末位数字是6， 的末位数字是2， ， ∴每4次为一个循环， ∵， ∴的末位数字与的末位数字相同，即末位数字是6， ∴的末位数为5 故选：C． 10．已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将变形化为，即可得到，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂运算，准确计算是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算； 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知，则x的值为 ． 【答案】8 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将化为，再根据同底数幂的乘法运算得到，再解方程即可． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：8． 13．已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式运算中的无关型问题．根据题意，列出算式，化简后，根据值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ； ∵的值与无关， ∴， ∴； 故答案为：． 14．用简便方法计算的结果是 ． 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 15．如图1，有边长为b和的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，且，把纸片A，C按如图2所示的方式放入纸片B内，图2中的阴影部分面积，则b与a之间的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】列代数式、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、列代数式等知识点，用含a，b的代数式表示出是解题的关键． 先用含a，b的代数式表示出，再利用化简即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴． 故答案为：． 16．小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 【答案】 【知识点】合并同类项、单项式乘多项式的应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式，再令化简结果等于25，计算平方根即可得． 【详解】解： ， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则是解题的关键． （1）将看作整体，用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）先根据幂的乘方运算法则进行计算，再根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （4）先根据幂的乘方和同底数幂运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据平方差公式进行化简，去括号，然后合并同类项，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19．已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）结合（1）所得结果，利用完全平方公式求解即可； （3）根据多项式乘多项式展开计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：由（1）可知，， 则； （3）解：． 20．【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 【答案】（），；（）；（）；；（）． 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键． （）利用两个面积相等列式即可； （）利用探究中的公式计算即可； （）利用探究中的公式计算即可； 利用探究中的公式计算即可； （）算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：（）图中，图中， 故答案为：，； （）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：， 故答案为：； （）由， ∵，， ∴原式， 故答案为：； ； （）解： ． 故答案为：． 21．如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【知识点】列代数式、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可． 【详解】（1）解： 即该住宅的面积； （2）解：由图形可知，卫生间的面积为， 卫生间的地面面积为， ， ， 卧室1的面积为， 卧室2的面积为， 卧室以外的面积为， （元）． 答：购买地砖至少需要花费4500元． 22．观察下列各式： ； ； …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)直接写出结果： (2)若n是正整数，且，则 (3)根据你发现的规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查整式乘除综合，熟练掌握整式乘除相关规律是解题的关键， （1）根据题意找整式运算的规律，即可得到答案； （2）根据题意找整式运算的规律，即可得到答案； （3）根据（2）中整式运算规律的逆运算计算，即可得到答案； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 23．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)它们的“对消值”为； (3)代数式的最小值是． 【知识点】整式加减的应用、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【详解】（1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 24．【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1)D (2) (3)①；②29 (4)见解析 (5)①；②35 (6) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】（1）体现的数学思想是数形结合； （2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论； ②利用①中的等式直接代入求得答案即可； （4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将展开即可； （5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式． 【详解】（1）解：这体现的数学思想是数形结合； 故选：D； （2）解：由题意得阴影部分的面积． 故答案为：； （3）解：①∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为， ∴由面积相等可得：； 故答案为：； ②由①可知， ∵，， ∴， 故答案为：29； （4）解：面积为的长方形如图所示： ∴； （5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积， 得到的等式为； ②∵，， ∴ ． 故答案为：；35； （6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积； 右边体积长方体的体积； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判断的前提，用代数式表示图形的面积、体积是解决问题的关键．注意应用数形结合思想． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$