【解题卡】正方形的判定性质综合-人教版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

1 正方形的判定性质综合 题型特征 在四边形背景下判定正方形，涉及中点、线段、面积计算等问题. 核心考点 正方形的判定性质、勾股定理的应用、垂直平分线的性质 图示 解题方法 ①逐步证明：先证平行四边形，再证矩形/菱形，最后证得正方形； ②边角转化：利用正方形的性质结合已知条件转化边角关系； ③面积转化：借助三角形底边与高的对应关系，进行面积转化求解. 易错警示 易混淆三角形底边与高的对应关系 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB = BC，AB ⊥ BC，E 是边 CD 的延长线上的动点， 连接 AE，过点 C 作 CF ⊥ AE 于点 F. 方法提炼 2 (1) 求证：四边形 ABCD 是正方形. (2)当 F 是 AE 的中点，且 CE = 8 2时，求△ CEF 的面积. 【答案】(1)见下方证明过程；（2）面积为 16 2 【思路点拨】（1）紧扣“平行四边形→菱形/矩形→正方形”的逻辑链判定正方形; （2）根据垂直平分线作辅助线连接对角线 AC，利用勾股定理求出 AD 的长，利用面积平分将 问题求△CEF 的面积转化为求△ACE 的面积. （1）证明正方形 步骤一：证明平行四边形 ABCD 是菱形 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB = BC， ∴平行四边形 ABCD 为菱形. 步骤二：证明菱形 ABCD 是正方形 ∵AB ⊥ BC， ∴菱形 ABCD 为正方形. （2）求面积 步骤一：根据垂直平分线的性质作辅助线 AC，利用勾股定理求出 AD 连接��，如右图所示： ∵�� ⊥ ��于点�，点�为��的中点， ∴��为线段��的垂直平分线， ∴�� = �� = 8 2，�� = ��， ∴�△��� = �△��� = 1 2 �△���， ∵四边形����为正方形， 3 ∴�� = ��，∠��� = 90°， 在 Rt△���中，由勾股定理得：��2 + ��2 = ��2， ∴��2 = 1 2 ��2 = 1 2 × (8 2)2 = 64， ∴�� = 8（负值舍去） 步骤二：根据面积公式求△ACE 的面积，进而求出△CEF 的面积 ∴�△��� = 1 2 �△��� = 1 2 × 1 2 ��·�� = 16 2．