【解题卡】正方形半角模型-人教版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

1 正方形半角模型 模型特征 正方形 90°直角中含 45°角 图示 条件 正方形 ABCD 中，∠EAF =45  结论 △AEF≌△AEG ， △AGF 为等腰直角三角形，EF=EG=BE+DF 点拨 依据正方形边长相等将△ADF 旋转至△ABG 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，CD 上的点，∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF． 【答案】见下方证明过程 方法提炼 2 【思路点拨】先利用正方形边长相等的性质将△ADF 顺时针旋转 90°至△ABG，再通过证 明△GAB≌△FAD 把 DF 转化为 BG，最后证明△GAE≌△FAE 即可得出结论． 步骤一：将△ADF 顺时针旋转 90°至△ABG，证明△GAB≌△FAD 如图，将△ADF 顺时针旋转 90°至△ABG ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠D=∠ABC=90°，AB=AD ∴∠ABG=∠D=90° 在△GAB 和△FAD 中， AB AD ABG D BG DF          ， ∴△GAB≌△FAD（SAS） ∴DF=BG，AG=AF，∠BAG=∠DAF 步骤二：通过证明△GAE≌△FAE，利用对应边相等进行等量代换即可证明结果 ∵∠DAF+∠BAE=45°，∠GAB=∠FAD ∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45° ∵∠EAF=45° ∴∠GAE=∠FAE=45° 在△GAE 和△FAE 中， AG AF GAE FAE AE AE          ∴△GAE≌△FAE (SAS) ∴GE=EF ∵GE=BG+BE ∴EF=DF+BE