【解题卡】利用正方形的性质求解或证明-人教版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

1 利用正方形的性质求解或证明 1．如图，在正方形 ABCD 的对角线 BD 上取点 E 使 BE BA ，连接 AE ，过点 E 作 EF AE 交 BC 于点 F，则 EFC 的大小为 ． 题型特征 已知正方形，求角度或边长 核心考点 正方形的性质、全等三角形的判定性质、等边对等角、45°角的应用 图示 解题方法 ①依据性质转化边长：根据正方形的性质和已知条件转化相等的边 ②利用 45°转化角度：根据 45°角结合等腰三角形内角和求出相关角度 ③证明全等边角替换：借助全等三角形的性质对相等边角进行代换求解 易错警示 易忽略正方形对角线造成的 45°角的性质 方法提炼 2 【答案】67.5° 【思路点拨】由四边形 ABCD 是正方形， EF AE 得 90BAD AEF C      ，则 45ABD ADB CBD CDB        ，而 BE BA ，再利用正方形的性质，可证明 DAE BEF△ ≌△ ，得 AED EFB   ，则 67.5EFC BEA    ，于是得到问题的答案． 步骤一：先利用正方形的性质求角度 ∵四边形 ABCD 是正方形， EF AE ， ∴ DA BA BC DC   ， 90BAD AEF C     ， ∴ 90DAE BAE   ， 90BEF BEA   ， 45ABD ADB CBD CDB       ， 步骤二：再利用正方形的性质与已知条件证明全等求解即可 ∵ BE BA ， ∴ DA BE ，  1 180 45 67.5 2 BAE BEA         ， ∴ DAE BEF  ， 在 DAE 和 BEF△ 中， DAE BEF DA BE ADE EBF         ， ∴  ASADAE BEF△ ≌△ ， ∴ AED EFB   ， ∴ 180 180 67.5EFC EFB AED BEA        ， 3 2． 如图，以正方形 ABCD 的顶点 A 为圆心，以 AD 的长为半径画弧，交对角线 AC 于 点 E，再分别以 D，E 为圆心，以大于 1 2 DE 的长为半径画弧，两弧交于图中的点 F 处， 连接 AF 并延长，与 BC 的延长线相交于点 P ．若 2AB  ，则 CP 的长为 ． 【答案】2 2 【思路点拨】由题意易得 DAP CAP  ， 2AB BC  ， 90BÐ = °，AD BC∥ ，则有 AC CP ， 然后根据勾股定理可进行求解． 步骤一：先利用正方形的性质求等量关系 由作图过程可知，射线 AF 为 CAD 的平分线， ∴ DAP CAP   ， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ 2AB BC  ， 90BÐ = °， AD BC∥ ， ∴ DAP P   ， ∴ CAP P  ， ∴ AC CP ， 步骤二：再利用勾股定理求解即可 由勾股定理得， 2 2 2 22 2 2 2AC AB BC     ， ∴CP 的长为 2 2 .