【解题卡】勾股定理中的动点问题-人教版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

1 勾股定理中的动点问题 已知：如图，在 ABC 中， 90C  ， 3cmAC  ， 5cmAB  ，动点 P 从点 C 出发， 按 C B A  的路径，以1cm / s 的速度运动，设运动的时间为 t 秒． 问：当 t 为______S 时，△ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形． 题型特征 动点在直角三角形上运动，涉及等腰三角形的分类讨论. 核心考点 勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论思想. 图示 解题方法 ①勾股求边长：利用勾股定理求出固定边的长度 ②分类讨论：以指定边的两端点为圆心，指定长为半径画弧，进行分类 ③分类求解：根据分类情况，结合动点路径和速度求解时间 易错警示 在进行等腰三角形分类讨论时，易遗漏其中一种分类情况 方法提炼 2 【答案】3或 5.4或 6 【思路点拨】问题要求以 AC 为腰的等腰三角形时，时间是多少，因为△ACP 顶点不确定， 所以需要分类讨论，为保证分类情况完全，分别以点 A 为顶点圆心，AC 为腰长半径，画弧， 可以得到 1 种情况：点 P 交于 AB 边上；以点 C 为顶点圆心，AC 为腰长半径，画弧，可以得 到 2 种情况：点 P 交于 BC 边上和点 P 交于 AB 边上，分类讨论分别计算即可。 步骤一：先利用勾股定理求出动点 P 的所有路径边长 ∵ 90 3cm 5cmC AC AB    ， ， ∴  2 2 2 25 3 4 cmBC AB AC     步骤二：分类讨论，分情况计算时间即可 情况 1：如图，以点 A 为顶点圆心，AC 为腰长半径，画弧，点 P 交于 AB 边上. 此时， 3AC AP  ∴ 5 3 2PB    ∴t = 2 + 4 = 6s 情况 2：如图，以点 C 为顶点圆心，AC 为腰长半径，画弧，点 P 交于 BC 边上和点 P 交于 AB 边上. 当点 P 在 BC 上时， 此时， 3AC CP  ， 3 1 3st    当点 P 在 AB 上时， 此时， 3AC CP  ，过 C 作 CF AB 于 F ， ∵ 1 1 2 2ABC S AC BC AB CF    ， 即 1 13 4 5 2 2 CF     ， 3 解得： 12 5 CF  ， ∵ AC CP ，CF AP ， ∴ 2 2 2 2 12 182 2 2 3 5 5 AP AF AC CF           ， ∴ 18 75 5 5 PB    ， 7 274 =5.4s 5 5 t   ∴ 综上所述：当 t 为 3 或 5.4 或 6s 时，△ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形．