江苏省灌南高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 灌南高级中学 2024-2025 学年第二学期第一次月考 高一年级数学学科试卷 考试时间长度：120 分钟 满分：150 分 命题人：李磊磊 做卷人：汤湾湾 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．已知向量 (2,3), ( , 4)a b x   ，若 ( )a a b    ，则实数 x （ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 8 3  D． 8 3 2. 化简 cos43 cos13 sin 43 sin13   ，得（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. cos56 3. 已知向量 ,a b   的夹角为 60°，且 | | 1,| | 2a b     ，则 a b    （ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 1 D. 2 4．已知 1cos cos 2    ， 3sin sin 3    ，则  cos   （ ） A． 1 24 B． 5 24  C． 17 24 D． 17 24  5. 已知四边形 ABCD 的三个顶点为 A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且 2BC AD   ，则顶点 D的坐标为（ ） A. 7(2, ) 2 B. 1(2, ) 2 C. (3，2) D. (1，3) 6. 已知 4cos 5   ， π ,0 2        ， 1tan 2   ，则  tan   的值为（ ） A. 2 5  B. 10 11  C. 2 11  D. 2 7. 已知 1 2,e e   是两个不共线的向量 1 2 1 23 , 2a e e b e ke          ，若 a与 b  是共线向量，则实 数 k的值为（ ） A. 6 B. 6 C. 3 2 D. 3 2  高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 8. 矩形 ABCD中， 2AB  ， 1AD  ，M 是矩形 ABCD内(不含边框)的动点， 1MA   ， 则MC MD   的最小值为（ ） A. 6 B. 6 1  C. 6 2  D. 3 6 2  二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．下列命题中错误．．的有（ ） A． a b  的充要条件是 | | | |a b  且 a b∥  B．若 a b∥  ，b c   ∥ ，则 a c   ∥ C．若 a b∥  ，则存在实数，使得 a b  D． | | | | | | | | | |a b a b a b         10. 下列计算中正确的是（ ） A.     sintan tan tan tan sin x yx y x y x y     B.  sin sin sin      C.  cos cos cos      D. ,  都是锐角，  5 10cos ,sin 5 10      ，则 2cos 2   11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若 , ,a b c   为非零向量，则    b c a c a b         不与 c垂直 B. 、 为实数，若 a b   ，则 a与 b  共线 C. 若平面内有四个点 , , ,A B C D，则必有 AC BD BC AD       D. 在 ABC 中，D为 BC的中点，若 AB AC AD AB AC        ，则BD  是 BA  在 BC  上的投影向量 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共计 15 分. 12. 设为实数，已知 e  为单位向量，向量 a  的模为 2，a e   ，则  ______． 高一数学试卷 第 3 页 （共 4 页） 13. 计算 3 tan15 1 3 tan15     ＝________. 14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中 国人所崇尚的图腾． AB是圆O的一条直径，且 AB 4 ． ,C D 是圆O上的任意两点， 2CD  ，点 P在线段CD上，则 PA PB   的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计 77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分）已知 1 2,e e   是平面上两个不共线的向量且 1 2 1 2 1 24 , , 2AB ke e CD e ke BD e e                （1）若 ,CAB D   方向相反，求 k的值； （2）若 , ,A C D三点共线，求 k的值. 16．（15 分）求解下列各题： （1）已知  1sin cos , 0, π 5      ，求 tan  的值； （2）化简：  tan70 cos10 3tan20 1   . 高一数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 17．（15 分）已知向量    1,2 , 3,a b k    . （1）若  2a a b    ，求实数 k的值； （2）若 a与 b  的夹角是钝角，求实数 k的取值范围. 18．（17 分）已知函数   22 3 sin cos 2cosf x x x x   . (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意 , 2 t     ，都有   1 1f x   ，求实数 t的取值范围. 19．（17 分）在图 1中，已知圆心角为60的扇形 AOB 的半径为 1，C 是 AB 弧上一定点， 1tan 3 COA  ，P是 AB 弧上一动点，作矩形 MNPQ，如图 2 所示． (1)求 AB 弧的长及扇形 AOB 的面积； (2)若 1tan 2 POC  ，求 POA 、 BOP 和 cos BOP ； (3)在图 2 中，求矩形 MNPQ 面积的最大值？这时 POA 等于多少度？ 灌南高级中学2024-2025学年第二学期第一次月考 高一年级数学学科试卷 考试时间长度：120分钟 满分：150分 命题人：李磊磊 做卷人：汤湾湾 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，若，则实数（ ） A． B． C． D． 2. 化简，得（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. (3，2) D. (1，3) 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中错误的有（ ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 10. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 都是锐角，，则 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，则______． 13. 计算＝________. 14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知是平面上两个不共线的向量且 （1）若方向相反，求的值； （2）若三点共线，求的值. 16． （15分）求解下列各题： （1）已知，求的值； （2）化简：. 17．（15分）已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 19．（17分）在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示． (1)求AB弧的长及扇形AOB的面积； (2)若，求、和； (3)在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？ 高一数学试卷第 1 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高一第二学期第一次月考数学试卷参考答案 1. B 2.C 3.C 4.C 5.A 6. D 7. A 8.C 9. ABC 10. AD 11.CD 12. 2 13. 1 14. 1,0 15.解（1）由题意知， //AB CD   ，则存在 R ，使得 AB CD   ，即  1 2 1 24ke e e ke        ， 从而 4 k k       ，得 2 2k      ，或 2 2k      ，又 ,CAB D   方向相反，则 2, 2;k    （2）由题意知，   1 21 2AD AB BD k e e          ，由 , ,A C D三点共线得，，存在 R  ，使 得 AD CD   ，即    1 2 1 21 2k e e e ke         ，从而 1 2 k k        ，得 1 2 k      或 2 1 k      ， 所以 1k  或 2k   . 16.解（1）由 2 2 1sin cos , 5 sin cos 1,            可得 225sin 5sin 12 0    . 解得 4sin 5   或 3sin 5    ， 由  0, π  ，故 4sin 5   . 所以 1 3cos sin 5 5      . 于是 4tan 3    . （2）原式 3sin20tan70 cos10 1 cos20             sin70 3sin20 cos20cos10 cos70 cos20                 2cos10 sin20 cos30 cos20 sin30 cos70         2cos10 sin10 sin20      1  . 17.解（1）因为  2 5,2 2a b k     ，且  2a a b    ， 所以    1 5 2 2 2 0k      ，解得 14k  . （2）因为b  与 a的夹角是钝角， 则 0a b   且 a与 b  不共线， 即  1 3 2 0k     且 6k   ， 所以 3 2 k  且 6k   . 18.解（1）   22 3 sin cos 2cosf x x x x   ， π3 sin 2 cos 2 1 2sin 2 1 6 x x x          ， 令 π π π2 2 π , 2 π 6 2 2 x k k       ， k，则 π ππ , π 3 6 x k k      ， k， 故该函数的单调递增区间 π ππ , π 3 6      k k ， k； （2）对任意 π, 2 t    ，都有   1 1f x   可得 π2sin 2 1 6 x      ， 所以 1 1sin 2 2 6 2 x         ， 又 π, 2 x t    ，所以 π π 7π2 2 6 6 6 t x    ， 要满足对任意 π, 2 x t    ，都有   1 1f x   ，则有 5π π 7π2 6 6 6 t   ， 解得： π π 3 2 t  ， 所以实数 t的取值范围为 π π[ , ) 3 2 . 19.解（1）AB弧的长为 π π1 3 3   ， 根据扇形的面积公式可得 21 π π1 2 3 6    . （2）因为 1tan 2 POC  ， 1tan 3 COA  ， 所以   1 1 tan tan 3 2tan tan 11 11 tan tan 1 3 2 COA POCPOA COA POC COA POC                 , ，因为 π0, 3 POA       ，所以 π 4 POA  ， 60 45 15BOP AOB POA       ，  cos cos15 cos 60 45 cos60 cos 45 sin 60 sin 45BOP            1 2 3 2 2 6 2 2 2 2 4       . （3）设 π, 0, , 1 3 AOP OP          ，则 cos cosOQ OP     ， 3sin sin , sin tan 60 3 NMMN PQ OP OM        ， 所以 3cos sin 3 MQ OQ OM      ， 所以矩形CDEF的面积 2 3 3cos sin sin sin cos sin 3 3 S MQ PQ                    1 3 1 cos2 1 3 3 3 π 3sin 2 sin 2 cos2 sin 2 2 3 2 2 6 6 3 6 6                 ， π π 5π2 , 6 6 6        ，所以当 π 6   时，S取得最大值 3 6 ， 所以 π 6 POA  ，矩形CDEF面积的最大值为 3 6 . null 高一第二学期第一次月考数学试卷参考答案 1. B 2.C 3.C 4.C 5.A 6. D 7. A 8.C 9. ABC 10. AD 11.CD 12. 13. 1 14. 15.解（1）由题意知，，则存在，使得，即， 从而，得，或，又方向相反，则 （2）由题意知，，由三点共线得，，存在，使得，即，从而，得或，所以或. 16.解（1）由可得. 解得或， 由，故. 所以. 于是. （2）原式 . 17.解（1）因为，且， 所以，解得. （2）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 18.解（1） ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； （2）对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 19.解（1）AB弧的长为， 根据扇形的面积公式可得. （2）因为，， 所以, ，因为，所以， ， . （3）设，则，， 所以， 所以矩形的面积 ， ，所以当时，取得最大值， 所以，矩形面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$