第07讲：离散型随机变量及其分布列【5大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第07讲：离散型随机变量及其分布列 【考点梳理】 · 考点一、离散型随机变量的分布列的性质 · 考点二、离散型随机变量的分布列 · 考点三、由离散型随机变量的分布列求概率 · 考点四、两点分布 · 考点五、离散型随机变量的综合问题 【知识梳理】 知识点一：随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二：离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 知识点三：离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点四：两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【题型探究】 题型一、离散型随机变量的分布列的性质 1．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)下表是离散型随机变量．的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 题型二、离散型随机变量的分布列 4．北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 5．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 6．某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 题型三、由离散型随机变量的分布列求概率 7．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 8．设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 9．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 题型四：两点分布 10．已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 11．若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 12．若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 题型五：离散型随机变量的综合问题 13．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 14．门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 15．化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【高分达标】 一、单选题 1．已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 3．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 4．某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 5．设随机变量等可能取值为，如果，那么（    ） A． B． C． D． 6．已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（    ） A． B． C． D． 7．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 8．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 10．已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 11．围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 12．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 13．已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 14．设随机变量的分布列如表： 1 2 3 … 2020 2021 … 则下列说法正确的是（    ） A．当为等差数列时， B．数列的通项公式可能为 C．当数列满足时， D．当数列满足时， 三、填空题 15．已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 16．已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 17．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 18．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 19．某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则 ． 20．设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 ①； ②当时，； ③若为等差数列，则； ④的通项公式可能为． 其由所有正确命题的序号是 ． 四、解答题 21．设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 22．一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 23．A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 24．某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 25．在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 26．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲至少有1次未击中目标的概率； (2)记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 27．甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：离散型随机变量及其分布列 【考点梳理】 · 考点一、离散型随机变量的分布列的性质 · 考点二、离散型随机变量的分布列 · 考点三、由离散型随机变量的分布列求概率 · 考点四、两点分布 · 考点五、离散型随机变量的综合问题 【知识梳理】 知识点一：随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二：离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 知识点三：离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点四：两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【题型探究】 题型一、离散型随机变量的分布列的性质 1．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】4.2.2 离散型随机变量的分布列——课后作业（提升版） 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)下表是离散型随机变量．的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 3．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 【答案】C 【来源】微专题9 随机变量的分布列、期望、方差 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即，则， 解得，所以， 故选：C． 题型二、离散型随机变量的分布列 4．北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【来源】训练十三 离散型随机变量的分布列及两点分布 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率； （2）由已知的取值为100，80，60，40，再求出对应的概率，即可得分布列. 【详解】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 5．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【来源】课时检测训练65 离散型随机变量及其分布列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版） 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【详解】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 6．某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 【答案】分布列见解析 【来源】第十章 第6讲 高散型随机变量及其分布列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版） 【分析】先根据题意得X的所有可能取值，再应用独立事件的乘法公式计算对应概率，最后写出分布列即可. 【详解】日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为，，，， 根据题意可得X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20， 则， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 14 15 16 17 18 19 20 P 题型三、由离散型随机变量的分布列求概率 7．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【来源】课时检测训练65 离散型随机变量及其分布列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版） 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 8．设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【来源】黑龙江省双鸭山第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 9．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【来源】北京市顺义区第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 题型四：两点分布 10．已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】新疆部分名校2023-2024学年高二下学期期中联合考试数学试题 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 11．若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【答案】B 【来源】山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 12．若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【答案】B 【来源】内蒙古自治区赤峰市红山区部分学校2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 题型五：离散型随机变量的综合问题 13．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【来源】课时检测训练65 离散型随机变量及其分布列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版） 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解. （2）根据随机变量的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列. 【详解】（1）学生甲恰好答对两题的概率. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 且， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 14．门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【来源】吉林省四平市第一高级中学、长春市十一高中、白山市抚松县第一中学2024-2025学年高二上学期三校联考数学试题（B） 【分析】（1）根据组合公式求出各取值概率即可的分布列； （2）根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】（1）X的可能取值为1，2，3，4，5． ，，， ，． 因此X的分布为： X 1 2 3 4 5 P （2） 15．化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）由题知甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），进而根据古典概型与独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）依次求得离散型随机变量的分布列取值对应的概率，进而求出随机变量的分布列. 【详解】（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”， 由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种）， 因为每位消费者抽中三等奖的概率均为， 所以，． （2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3， 由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况， 表示4个人挑选了4种奖品，所以； 表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品， 所以； 当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种）， 对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种）， 所以有2种奖品被选中的方法有（种）， 所以，； 当表示4个人挑选了同一种奖品， 所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 【高分达标】 一、单选题 1．已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省多校2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试题 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A. 2．甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【来源】训练十二 离散型随机变量 【分析】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 3．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【来源】4.2.2 离散型随机变量的分布列——随堂检测 【分析】根据计算. 【详解】因为，所以. 故选：A. 4．某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 【答案】B 【来源】贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题 【分析】根据分布列中的概率和为1可得的方程，求得的值，进而结合对立事件概率公式可求得结果. 【详解】由题意可得，解得， . 故选：B. 5．设随机变量等可能取值为，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】吉林省白山市第七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：B. 6．已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】先根据分布列的性质和期望公式求出，再根据即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 7．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市级重点高中联合体2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【分析】计算出，从而得到答案. 【详解】，， 故，A正确， 其他选项，均不合要求. 故选：A 8．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】上海市南洋模范中学2024届高三上学期开学考试数学试题 【分析】由概率和为可求解，即为所求. 【详解】由题意知，， 则，解得， 即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为. 故选：B. 二、多选题 9．下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【来源】【随堂练】 3.2.1 离散型随机变量及其分布 随堂练习-湘教版（2019）选择性必修第二册 第3章 概率 【分析】根据离散型随机变量的特征判断即可. 【详解】对于ABD，ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，故ABD符合； 对于C，一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不符合. 故选：ABD. 10．已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】广西壮族自治区河池市十校联体2023-2024学年高二下学期第二次联考（5月）数学试题 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：AD 11．围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 【答案】CD 【来源】重庆市求精中学校2023-2024学年高二下学期第二阶段考试数学试题 【分析】对ABCD，分析出满足各自选项的所有情况，再利用独立事件的乘法公式一一判断即可. 【详解】对于A，且甲获得冠军有两种情况:且甲获得冠军，且甲获得冠军， 且甲获得冠军表示甲连胜三场，且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜， 所以且甲获得冠军的概率为，故A错误; 对于B，有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙获胜， 第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜， 所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为，故B错误; 对于C，包含两种情况:比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得冠军， 所以，故C正确； 对于D，甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况： 第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜， 所以甲赢了第一场，乙获得冠军的概率为， 因为为，所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军，故D正确. 故选：CD. 12．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【来源】河南省周口市项城市第一高级中学等5校2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 13．已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】ABC 【来源】北师大版（2019） 选修第一册 数学奇书 学业评价（四十） 离散型随机变量的分布列 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得， 则. 故选：ABC. 14．设随机变量的分布列如表： 1 2 3 … 2020 2021 … 则下列说法正确的是（    ） A．当为等差数列时， B．数列的通项公式可能为 C．当数列满足时， D．当数列满足时， 【答案】BD 【来源】福建省泉州市铭选中学、泉州九中、侨光中学三校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，结合数列的特性逐项分析判断作答. 【详解】对于A，由为等差数列，得前2021项和，则有，A错误； 对于B，若数列的通项公式为， 则前2021项和，B正确； 对于C，依题意，数列前2021项和，则有，C错误； 对于D，令，则，， 因此当时，，D正确. 故选：BD 三、填空题 15．已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【答案】 【来源】4.2.2 离散型随机变量的分布列——课堂例题 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 故答案为： 16．已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 【答案】0.9/ 【来源】4.2.1 随机变量及其与事件的关系——课后作业（巩固版） 【分析】由题意可知：，结合对立事件概率求法即可得到结果. 【详解】令，解得，且， 所以． 故答案为：0.9． 17．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 【答案】/0.0625 【来源】预习02 随机变量及其分布列-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019） 【分析】记为甲、乙、丙在第局获胜，写出对应的基本事件，应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率即得. 【详解】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则. 由已知，可取，其中表示事件为“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或 “乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”， 所以 . 故答案为：. 18．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【答案】 【来源】2025年高考领航卷（五）数学卷 【分析】根据题意先列出的所有可能取值，再分析各个取值的情况，求得和的值，由随机变量的分布列的概率和为1求得. 【详解】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则. 故答案为：. 19．某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则 ． 【答案】0.5/ 【来源】福建省安溪第八中学2023-2024学年高二下学期5月份质量检测数学试题 【分析】根据取得不同值概率之间的关系式和概率之和为一的性质，可以求得取得对应的概率，再分析的情况即可求出结果． 【详解】根据题意可知： 优秀产品的数量是良好产品数量的两倍，即， 合格产品的数量是良好产品数量的一半，即， 不合格产品的数量等于合格产品数量，即， 因为所有产品的总数量是固定的，可以根据以上条件计算各个等级产品的概率： ，，，， 其中表示良好产品的占比， 因此应该满足以下条件：，解得， 因此：，，，． 就是取到2，3或4的概率之和： ， 因此，即抽取的产品质量大于优秀的概率为0.5． 故答案为：0.5． 20．设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 ①； ②当时，； ③若为等差数列，则； ④的通项公式可能为． 其由所有正确命题的序号是 ． 【答案】①②③． 【来源】北京市第六十六中学2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题 【分析】随机变量概率分布列与数列结合. 【详解】对于①，， ， ，故①正确； 对于②，当时，，故②正确； 对于③，若为等差数列，则，，故③正确； 对于④，当的通项公式为时， ，故④错误． 故答案为：①②③． 四、解答题 21．设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【来源】【导学案】 3.2.1 离散型随机变量及其分布 课前预习-湘教版（2019）选择性必修第二册 第3章 概率 【分析】（1）根据分布列的性质可得，即可求解. （2）根据即可求解. 【详解】（1）由题意知， ，解得， . （2） . 22．一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【来源】河南省名校大联考2024-2025学年高二上学期阶段性测试（二）数学试题 【分析】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 23．A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析 【来源】广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题 【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【详解】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 24．某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【来源】河北省承德市重点高中2023-2024学年高二下学期4月联考数学试题 【分析】（1）利用全概率公式即可得到答案； （2）首先分析出X的可能取值有0，1，2，再按步骤写出分布列即可. 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 25．在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【来源】河南省豫北名校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法计算概率即可； （2）利用离散型随机变量的分布列公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有， 标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有， 合计（种）不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为. （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 26．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲至少有1次未击中目标的概率； (2)记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【来源】天津市嘉诚中学2023-2024学年高二下学期期中质量调查数学试卷 【分析】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果． （2）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列． （3）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果． 【详解】（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件， 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响， 射击3次，相当于3次独立重复试验，故； （2）依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且， 即，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件， 则，、为互斥事件，， ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. 27．甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)0.12，答案见解析 【来源】甘肃省白银市靖远县第四中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）由题意得：分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由题意得，计算出的值，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为； （3）由及，求出，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 【详解】（1），，， 的分布列为 -1 0 1 （2）由题意得 ， ， . 于是有，整理可得， 根据中点公式有， 故的中点的横坐标为. （3）由（2）可知，于是， 又，所以， 表示最终认为甲获胜的概率， 由计算结果可以看出，当甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时， 当甲的累计得分为分时，认为甲获胜的概率为， 此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$