第06讲：条件概率与全概率公式与全概率公式【5大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第06讲：条件概率与全概率公式与全概率公式 【考点梳理】 · 考点一、条件概率的定义及计算 · 考点二、条件概率的性质及应用 · 考点三、利用全概率公式求概率 · 考点四、利用贝叶斯公式求概率 · 考点五、条件概率和全概率公式的综合问题 【知识梳理】 知识点一　条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 知识点二　概率乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 知识点三　条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 知识点四．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式． 【题型归纳】 题型一、条件概率的定义及计算 1．(24-25高二下·河南驻马店青桐鸣·月考)现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省驻马店市青桐鸣2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数求，进而求条件概率. 【详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 2．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】训练九 条件概率 【分析】事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”，由古典概型概率公式求得则，，再由条件概率计算公式即可求解； 【详解】设事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”， 由题意可得：，， 所以． 故选：B． 3．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为． 设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件， 所以甲获得冠军的概率为， 比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为, 故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为． 故选：A 题型二、条件概率的性质及应用 4．(23-24高二下·江苏南京玄武高级中学·月考)已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南京玄武高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 5．(23-24高二下·广东深圳科学高中·期中)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省深圳科学高中2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 6．A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西师范大学附属中学2024届高考第三次模拟测试数学试题 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 题型三：利用全概率公式求概率 7．(24-25高三下·安徽·调研)甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】安徽省2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 8．(24-25高三下·广东汕头·第一次模拟)设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省汕头市2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试题 【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 9．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【来源】训练十一 全概率公式 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 题型四：利用贝叶斯公式求概率 10．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】高三数学综合原创基础小卷03 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 11．(24-25高三·北京朝阳区清华大学附属中学朝阳学校CACA·)现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】　北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳学校CACA2024-2025学年12月尖子生测试高三数学1试卷 【分析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 12．(23-24高二下·福建泉州部分中学·期末)某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下学期7月期末联合检测数学试题 【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解. 【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，， 依题意，，，，则， 由有：， 因为，所以 ， 所以. 故选：B. 题型五;条件概率和全概率公式的综合问题 13．(24-25高二下·湖北荆门德艺高级中学·月考)现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省荆门德艺高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】（1）由古典概型的概率计算，利用全概率公式，可得答案； （2）利用条件概率，可得答案. 【详解】（1）记事件表示第一次取到i号球，，表示第二次取到1号球， 依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且 ，，，，， 应用全概率公式，有. （2）依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同. 则. 14．(24-25高二下·河北沧州运东四县部分学校·)“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【来源】河北省沧州市运东四县部分学校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【详解】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 15．(24-25高二上·江西九江·期末)“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 【高分达标】 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏南通区部分高中·)甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南通市区部分高中2024-2025学年高二下学期3月份质量检测数学试卷 【详解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 2．已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 【答案】D 【来源】模块综合检测卷 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】由，可得 所以：． 故选：D 3．从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】训练十一 全概率公式 【分析】由全概率公式即可知所得的两位数能是偶数的概率. 【详解】设“两位数的十位是奇数”为事件，“两位数的十位是偶数”为事件，“两位数是偶数”为事件； 则可得， 可得. 故选：A. 4．(24-25高二下·百师联盟·)甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】百师联盟2024-2025学年高二下学期开学摸底大联考数学试题 【分析】利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件：甲射中10环，事件：乙射中10环，事件：10环被射中， 则，， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 5．小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 【答案】A 【来源】湖北省鄂东新领先协作体2025届高三下学期2月联考数学试题 【分析】利用全概率公式计算即可得到结果. 【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为， 故选：A. 6．(24-25高二上·江西九江·期末)如图所示，5颗串珠用一根竹签串起．现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】利用列举法逐个情况都列出来即可求得结果. 【详解】 列举法：依次将标识符号为：-1-2-3-4-5-，将它们依次取出， 一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，所有的可能结果如下： （1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4）， （1，5，2，3，4），（1，5，2，4，3），（1，5，4，2，3），（1，5，4，3，2）， （5，4，1，2，3），（5，4，1，3，2），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1）， （5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3），（5，1，4，2，3），（5，1，4，3，2）共16种可能． 其中1，2连在一起有（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3）， （1，2，5，3，4），（5，4，1，2，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1）， （5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3）9种可能．， 故选：D． 7．(24-25高二上·河南焦作·期末)甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】由条件求，，结合条件概率公式求结论. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：C. 8．(24-25高二·辽宁名校联盟·)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 9．(24-25高二上·江西赣州·期末)某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】C 【来源】江西省赣州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用全概率公式求解. 【详解】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”， “从车间中随机取出一件产品是合格品”， 则， 所以， 故选：C 10．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（    ） A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9 【答案】C 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据全概率公式，即可求解. 【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件， 则，，且，， 则 . 故选：C 11．(24-25高二上·黑龙江新时代高中教育联合体·期末)春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【来源】黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高二上学期期末联合考试数学试卷B 【分析】根据古典概型的概率公式，求得选取的人为A，B，C三个地区的概率，由题意，明确A，B，C三个地区患流感的条件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根据条件概率的定义，可得答案. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知，，， ，，， 则 故. 故选：C. 12．(24-25高二上·广西桂林·期末)已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．第二次取到3号球的概率为 B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 【答案】C 【来源】广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式判断AB的正误，根据条件概率判断C的正误，根据先分组再分配的方法计算后可判断D的正误. 【详解】选项A： 设为“第1次在1号口袋中取号球”，为“第二次取号球” 则 ， 故A选项正确. 选项B： 设为“第二次取号球”，则 ， 故，， ， 所以则它来自1号口袋的概率最大，B选项正确. 选项C：，所以C选项错误. 选项D： 将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个， 先将个球分成组，有，，三种分法. 对于，有种方法； 对于，有种方法； 对于，有种方法. 所以不同的分配方法共有种，D选项正确. 故选：C 【点睛】方法点睛： 对于复杂的概率问题，常常采用分情况讨论，利用全概率公式和条件概率公式进行求解.通过确定不同的事件及其发生的概率，以及在不同条件下目标事件发生的概率，来计算最终的概率. 在计算不同的分配方法时，采用先分组再排列的策略.对于不同的分组方式，需要注意是否存在重复情况，合理运用组合数和排列数公式进行计算. 二、多选题 13．(24-25高二下·山东泰安新泰一中老校区（新泰中学）·月考)一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【来源】山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题 【分析】A利用概率公乘法式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率的乘法公式求解；D由条件概率公式可得. 【详解】对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、设第一摸出黄球求事件，第二次摸出红球为事件， 由前面的计算可得， 由条件概率公式，所以选项D正确. 故选：ABD. 14．设是一次随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．相互独立 C． D． 【答案】AB 【来源】山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题 【分析】根据互斥事件的概率加法公式、对立事件概率公式、独立事件的判定公式、条件概率公式，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，由于与是互斥事件，则 ，故A正确； 对于B，已知，可得. 设，则，. 由A项可知，即. 解得，由，可得相互独立，故B正确； 对于C，根据德摩根定律，再由对立事件概率公式，由B项可知， 所以，故C错误； 对于D，根据，，，则； 又，，，则. 则，故D错误. 故答案为：AB 15．(24-25高二上·江西九江·期末)现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 对于A：由全概率公式可得 ，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于CD：，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD. 16．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】第七章 随机变量及其分布章末自测 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】由互斥事件的加法公式可得A错误，利用独立事件的乘法公式可得B正确，C正错误；再由条件概率的计算公式可求得D正确. 【详解】根据题意易知，A错误； 由独立事件的乘法公式可得，B正确； 易知，C错误； 由题可知，而, 所以正确． 故选：BD 17．(24-25高三上·广东茂名“衡水金卷”·)某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 【答案】AB 【来源】广东省茂名市“衡水金卷”2024-2025学年高三上学期12月份联考数学试题 【分析】A项由互斥事件概念可得；B项由概率乘法公式可得；C项由全概率公式求解即可判断；D项由全概率公式求概率，再结合相互独立事件的等价条件判断. 【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确； B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，. 则事件“小李获得0.4学分”即事件， 由概率乘法公式得， ，故B正确； C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 则由全概率公式得， ，故C错误； D项，由C项知； 若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 由全概率公式可得 ； 即； 所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响， 故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误. 故选：AB. 18．某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 【答案】ACD 【来源】江苏省苏州市八校2025届高三上学期12月联考数学试卷 【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可. 【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确； ，，故C正确； 所以，， 所以， 则， 所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 19．在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 【答案】CD 【来源】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（八） 【分析】由题意，根据相互独立事件的概率乘法，结合条件概率的定义，可得答案. 【详解】对于A，当输入时，收到的概率为，收到，的概率分别为， 故收到的信号字母变的概率为．又信号的传输相互独立， 从而当输入时，输出的信号只有三个的概率为，故A错误． 对于B，，故B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，， ， 所以，故D正确． 故选：CD． 三、填空题 20．(24-25高二下·湖南长沙麓山国际实验学校·)现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【答案】 【来源】湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高二下学期第一次学情检测（3月）数学试卷 【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，根据题意求出.，，，，然后利用全概率公式可求出结果. 【详解】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 21．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率； (3)甲、乙两人有人抽到难签的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【来源】4.1.1 条件概率——随堂检测 【分析】（1）结合古典概型的概率计算公式计算出正确答案； （2）根据缩小样本空间的方法计算出正确答案； （3）结合古典概型的概率计算公式、对立事件等知识计算出正确答案. 【详解】（1）依题意，10个考签中有4个难签， 所以甲抽到难签的概率是. （2）甲抽到难签后，还剩9个考签中有3个难签，乙抽到难签的概率为. （3）“甲、乙两人有人抽到难签”的对立事件为“甲、乙都没抽到难签”， 甲、乙都没抽到难签的概率为， 所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为. 22．(24-25高二下·江西吉安阳明中学·)某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 【答案】 【来源】江西省吉安市阳明中学2024-2025学年高二下学期第一次段考数学试卷 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】设表示选到的教师是数学教师，用表示选到的是女教师， 则，，而设女数学教师被选到的概率是， 由条件概率公式得． 故答案为：. 23．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 【答案】 【来源】模块综合检测卷 【分析】由互斥事件的和事件概率计算及条件概率计算公式即可求解； 【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件，“从中取出2粒都是白子”为事件， “任意取出2粒恰好是同一色”为事件，则，且事件与互斥． 所以， 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为． 故所求概率为． 故答案为： 24．已知，，，则 . 【答案】 【来源】训练十一 全概率公式 【分析】根据全概率公式和条件概率公式进行计算即可. 【详解】. . 故答案为： 25．(24-25高二上·云南昆明第一中学·期末)周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是 ；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是 . 【答案】 【来源】云南省昆明第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式来求解即可. 【详解】周先生到达会议室心到的概率为：； 若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是： ； 故答案为：①；②. 26．(24-25高二上·四川绵阳·期末)甲、乙二人下围棋，根据规则，先确定第一局谁先落子.由乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，若甲猜正确，由甲先落子，否则乙先落子，之后每局由上一局负者先落子.若甲先落子，则甲胜的概率为0.5，若乙先落子，则乙胜的概率为0.6，采取三局两胜制（无平局情况），则乙通过前两局就获胜的概率为 . 【答案】/ 【来源】四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期末教学质量测试数学试题 【分析】首先分别求出甲乙先落子的概率，再利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，则甲猜正确的概率为， 即甲先落子的概率为，乙先落子的概率为， 若甲先落子，则乙通过前两局就获胜的概率为； 若乙先落子，则乙通过前两局就获胜的概率为， 所以乙通过前两局就获胜的概率为. 故答案为：. 四、解答题 27．(24-25高二下·陕西渭南白水县白水中学·)袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【答案】(1) (2) 【来源】陕西省渭南市白水县白水中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试题 【分析】（1）利用条件概率的定义并结合古典概型即可得到答案； （2）利用条件概率公式即可. 【详解】（1）若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球， 则第二次取出红球的概率为. （2）用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球的概率为. 28．(24-25高二上·河南驻马店·期末)袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为. (1)求白球和黑球各有多少个； (2)求第二次取出白球的概率； (3)已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率. 【答案】(1)袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4 (2) (3) 【来源】河南省驻马店市2024-2025学年高二上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】（1）利用对立事件的概率求解即可 （2）根据古典概型的概率公式求解即可； （3）利用条件概率公式求解即可 【详解】（1）设黑球的个数为， 由已知可得，可得， 因为且，因此，， 所以，袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4. （2）记事件A：第二次取出白球， 则 （3）事件：第一次取出黑球， 则. 29．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题 【分析】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，根据可得结果. （2）针对乙同学在A箱中选择的题目进行分类，结合全概率公式计算可得结果. 【详解】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”， 则． 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以． 故． （2）设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则． 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，． 由全概率公式可得． 30．“猜灯谜”起源于春秋战国时期，是我国汉族特有的一种民俗文化娱乐活动形式，具有浓郁的民族风格，其灯谜的谜体多种多样，基本可以归为：正扣法、反扣法、侧扣法、增字法、损字法等二十种法门．在一次猜灯谜的活动中，甲、乙两名同学分别抽到正扣法与反扣法两种谜体，将其汇总后共有10道灯谜，其中正扣法有4道灯谜，现甲、乙两人先后依次抽取其中一道． (1)求甲抽到正扣法且乙抽到反扣法的概率； (2)在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】7.1.1 条件概率 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】（1）运用古典概型概率公式，结合排列组合公式计算； （2）运用条件概率公式计算即可. 【详解】（1）记“甲抽到正扣法”为事件，“乙抽到反扣法”为事件，“甲抽到正扣法且乙抽到反扣法”即为事件，则由题可得， 因为，所以． （2）“在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜”即为事件发生的条件下，事件发生的概率，显然， 则． 31．(24-25高二上·山东德州第一中学·)在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】山东省德州市第一中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性测试数学试题 【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； （2）根据条件概率公式求解. 【详解】（1）比赛进行了三局，即前两局比赛中甲乙各赢一局，设事件“比赛进行三局”， ； （2）设事件“甲获胜”， ． 32．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【答案】(1)（i）；（i i） (2) 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可； （2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可. 【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以.   （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：条件概率与全概率公式与全概率公式 【考点梳理】 · 考点一、条件概率的定义及计算 · 考点二、条件概率的性质及应用 · 考点三、利用全概率公式求概率 · 考点四、利用贝叶斯公式求概率 · 考点五、条件概率和全概率公式的综合问题 【知识梳理】 知识点一　条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 知识点二　概率乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 知识点三　条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 知识点四．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式． 【题型归纳】 题型一、条件概率的定义及计算 1．(24-25高二下·河南驻马店青桐鸣·月考)现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 2．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二、条件概率的性质及应用 4．(23-24高二下·江苏南京玄武高级中学·月考)已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·广东深圳科学高中·期中)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6．A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用全概率公式求概率 7．(24-25高三下·安徽·调研)甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高三下·广东汕头·第一次模拟)设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立B． C． D． 9．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 题型四：利用贝叶斯公式求概率 10．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高三·北京朝阳区清华大学附属中学朝阳学校CACA·)现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 12．(23-24高二下·福建泉州部分中学·期末)某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 题型五;条件概率和全概率公式的综合问题 13．(24-25高二下·湖北荆门德艺高级中学·月考)现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 14．(24-25高二下·河北沧州运东四县部分学校·)“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 15．(24-25高二上·江西九江·期末)“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【高分达标】 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏南通区部分高中·)甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 3．从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·百师联盟·)甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 6．(24-25高二上·江西九江·期末)如图所示，5颗串珠用一根竹签串起．现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河南焦作·期末)甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二·辽宁名校联盟·)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·江西赣州·期末)某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 10．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（    ） A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9 11．(24-25高二上·黑龙江新时代高中教育联合体·期末)春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 12．(24-25高二上·广西桂林·期末)已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．第二次取到3号球的概率为 B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 二、多选题 13．(24-25高二下·山东泰安新泰一中老校区（新泰中学）·月考)一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 14．设是一次随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．相互独立 C． D． 15．(24-25高二上·江西九江·期末)现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 16．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高三上·广东茂名“衡水金卷”·)某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 18．某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 19．在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 三、填空题 20．(24-25高二下·湖南长沙麓山国际实验学校·)现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 21．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率； (3)甲、乙两人有人抽到难签的概率； 22．(24-25高二下·江西吉安阳明中学·)某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 23．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 24．已知，，，则 . 25．(24-25高二上·云南昆明第一中学·期末)周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是 ；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是 . 26．(24-25高二上·四川绵阳·期末)甲、乙二人下围棋，根据规则，先确定第一局谁先落子.由乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，若甲猜正确，由甲先落子，否则乙先落子，之后每局由上一局负者先落子.若甲先落子，则甲胜的概率为0.5，若乙先落子，则乙胜的概率为0.6，采取三局两胜制（无平局情况），则乙通过前两局就获胜的概率为 . 四、解答题 27．(24-25高二下·陕西渭南白水县白水中学·)袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 28．(24-25高二上·河南驻马店·期末)袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为. (1)求白球和黑球各有多少个； (2)求第二次取出白球的概率； (3)已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率. 29．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 30．“猜灯谜”起源于春秋战国时期，是我国汉族特有的一种民俗文化娱乐活动形式，具有浓郁的民族风格，其灯谜的谜体多种多样，基本可以归为：正扣法、反扣法、侧扣法、增字法、损字法等二十种法门．在一次猜灯谜的活动中，甲、乙两名同学分别抽到正扣法与反扣法两种谜体，将其汇总后共有10道灯谜，其中正扣法有4道灯谜，现甲、乙两人先后依次抽取其中一道． (1)求甲抽到正扣法且乙抽到反扣法的概率； (2)在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜的概率． 31．(24-25高二上·山东德州第一中学·)在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 32．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$