精品解析： 福建省龙岩市新罗区龙岩初级中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考(3月)数学试卷

2024—2025学年第二学期九年级数学练习（一） 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示： 故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 4. 盐城是江苏省第一产粮大市．2023年全市小麦总产量约2400000吨，数据2400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将2400000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选D． 5. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标符号，根据点在第二象限列出关于a的不等式组成为解题的关键． 根据点第二象限，列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，解得：． 故选：A． 6. 估计：的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9. 如图，在中，是一条对角线，，且与相交于点E，与相交于点F，，连接，若，则的面积等于（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．由可设，，根据得，结合知，再由知，继而根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角函数的比值关系，熟悉掌握折叠的性质是解题的关键． 利用折叠的性质得到，，利用角的等量代换得到，再利用勾股定理求出的长，进而求解即可． 【详解】∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得到：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； 故选：B． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 单项式的次数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的次数， 根据单项式的次数解答，单项式中所有字母指数的和即为单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是． 故答案为：3． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的特征，其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13 化简：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式的减法运算，先化为同分母，再根据同分母的减法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：2． 14. 关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的范围，解一元一次不等式，两个方程相减后，整体代入法得到关于的不等式进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，把代入，求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，轴，推出的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 详解】解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∵把直线向上平移3个单位长度，得到， ∴联立，解得：或， ∴， 作轴，轴，则：， 则：， ∴ ； 故答案为：6． 16. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①先根据正方形的性质证得和全等，再利用证得和全等，即可得出垂直平分；②连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即的最小值；③先证，再根据相似三角形的性质及，即可判断；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， 垂直平分， 故①正确； ②如图，连接与交于点，交于点，连接，， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ，， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ∴由勾股定理得，， ， 即的最小值为， 故②错误； ③垂直平分， ， ， ， 又， ， ， 即， 由①知， ， 故③正确； ④垂直平分， ， 又， ， 故④不正确； 综上，正确的是：①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9题，共86分，请写出解过程或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分别根据乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义求出每一部分的值，再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简、再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，最简二次根式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用分式的运算法则进行化简运算，再把代入运算即可． 【详解】解：原式 ， 把代入可得：原式． 20 A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，注意得到方程的解需要检验．设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料．根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，”列方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 依题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 则（）． 答：B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 21. 如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到） 【答案】堤坝高为8米，山高为20米． 【解析】 【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于H， ∵坡度i为， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 过B作于F， 则， 设， ∵． ∴， ∴， ∵坡度i为， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：堤坝高为8米，山高为20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，的外心为点，反比例函数的图象过点A． （1）求反比例函数和直线l的解析式； （2）在函数的图象上取异于点A的一点B，作轴于点C，连接OB交直线l于点P．若的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，直线l的解析式为 （2） 【解析】 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，反比例函数k的几何意义，以及坐标与图形性质． （1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式；由A为直角三角形外心，得到A为斜边中点，根据A坐标确定出M与N坐标，设直线l解析式为，将M与N坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线l解析式； （2）利用反比例函数k的意义求出的面积，由的面积是面积的3倍求出的面积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； ∵的外心为点， ∴A为中点，即，， 设直线l解析式为， 将，代入得： ， 解得：，， 则直线l解析式为； 【小问2详解】 解：∵B为反比例函数图象上的点，且轴， ∴， ∵的面积是面积的3倍，， ∴， 设P横坐标为， ∴， ∴， 把代入，得． 则P坐标为． 23. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线； （2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出 【小问1详解】 证明：连接，延长，交于点，连接如图， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴即 ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，, ∴， 解得，， ∴， ∴ 在中， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键． 24. （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． （3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 25. （2011福建龙岩，24， 13分)如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线，且与x轴交于点D，AO=1． (1) 填空：b=_______．c=_______， 点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长； (3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】24、（1），B(5，0) （2）由（1）求得 ∴C（2，4） ∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2） 易求直线BC的表达式为，整理得 设直线EF的表达式为 ∵EF为BC的中垂线 ∴EF⊥BC ∴ 把E（3.5，2）代入求得 ∴直线EF的表达式为， 在中，令y=0，得 ∴F(，0) ∴FC=FB= （3）存在，作∠OBC平分线交DC于点P，则P满足条件．当然也可以作∠OBC的邻补角的平分线交DC于点P’，也满足条件，坐标求法一样． 设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离．（用到点到直线的距离公式） ∴ ∴ ∴或 解得或 ∴P（2，）或P（2，）． 【解析】 【详解】（1）由抛物线，其对称轴为直线，即=2 得b值，且与x轴交于点D，AO=1得A、B坐标，代入一个即可求出c值． （2）求出C的坐标，易求直线BC的表达式， 再由线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F， 得直线EF的表达式，令y=0，得，∴F(，0) ∴FC=FB= （3）作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件．当然也可以作∠OBC的邻补角的平分线交DC于点P，也满足条件，坐标求法一样． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期九年级数学练习（一） 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 盐城是江苏省第一产粮大市．2023年全市小麦总产量约2400000吨，数据2400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 估计：的值在（ ） A 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 9. 如图，在中，是一条对角线，，且与相交于点E，与相交于点F，，连接，若，则的面积等于（ ） A. 2 B. C. D. 3 10. 如图，在中，，，将折叠，使点落在边上点处，为折痕，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 单项式的次数是______． 12. 因式分解：_________． 13. 化简：______． 14. 关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是______． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为______． 16. 如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 三、解答题：（本大题共9题，共86分，请写出解过程或证明过程） 17. 计算：． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 19. 先化简、再求值：，其中． 20. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 21. 如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，的外心为点，反比例函数的图象过点A． （1）求反比例函数和直线l的解析式； （2）在函数的图象上取异于点A的一点B，作轴于点C，连接OB交直线l于点P．若的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 23. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． （3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求长． 25. （2011福建龙岩，24， 13分)如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线，且与x轴交于点D，AO=1． (1) 填空：b=_______．c=_______， 点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长； (3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $