4.3 用乘法公式分解因式（二）同步练习2024-2025学年浙教版数学七年级下册

4.3 用乘法公式分解因式（二） 一．基础巩固（共15小题） 1．a2+4a+k是一个完全平方式，k应为（　　） A．2 B．4 C．±4 D．﹣4 2．下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 4．若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（　　） A．﹣25 B．﹣15 C．15 D．20 5．若x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值一定为（　　） A．5 B．7或﹣5 C．±5 D．5或﹣7 6．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 7．在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将（x2+y2）（x2+y2﹣8）+16进行因式分解结果是（　　） A．（x2+y2﹣4）2 B．（x﹣y）4 C．（x2﹣y2﹣4）2 D．（x2+y2+4）2 8．在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　） A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4 9．已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B．8 C．﹣8 D．±8 10．已知x是有理数，则多项式x﹣1x2的值（　　） A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能是正数或负数或零 11．将m2+2m+1因式分解后的结果为 　 　． 12．因式分解的结果为　 　． 13．因式分解：（x+y）2﹣6（x+y﹣1）+3＝　 　． 14．若4x2﹣12x+m可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 　 　． 15．在多项式x2+1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是 　 　.（写出一个即可） 二．能力提升（共2小题） 16．在4ab+3b2，a2+b2，3a2﹣4ab这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解． 17．若|a+4|与b2+4b+4互为相反数，把多项式（x+a）（x+b）+1因式分解． 三．拓展探究（共1小题） 18．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值； ②已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，求x﹣2024的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 用乘法公式分解因式（二） 一．基础巩固（共15小题） 1．a2+4a+k是一个完全平方式，k应为（　　） A．2 B．4 C．±4 D．﹣4 【分析】根据乘积二倍项确定出这两个数是a和2，根据（a±b）2＝a2±2ab+b2求出22即可． 【解答】解：∵4a＝2×2•a， ∴k＝22＝4． 故选：B． 2．下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐个判断即可． 【解答】解：①x2﹣2x﹣1，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解因式； ④﹣a2+b2＝b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），能用平方差公式分解因式； ⑤x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式； ⑥m2﹣m+1，不能用完全平方公式分解因式； 所以能用公式法分解因式的有3个， 故选：B． 3．如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 【分析】根据添加项是中间项或第一项可作判断． 【解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，不符合题意； B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不符合题意； C、，不符合题意； D、x2+1加上，无法构成完全平方式，符合题意； 故选：D． 4．若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（　　） A．﹣25 B．﹣15 C．15 D．20 【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案． 【解答】解：4x2+kx+25＝（2x+a）2， 当a＝5时，k＝20， 当a＝﹣5时，k＝﹣20， 故k+a的值可以是：25或﹣25． 故选：A． 5．若x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值一定为（　　） A．5 B．7或﹣5 C．±5 D．5或﹣7 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【解答】解：由题意得，x2﹣（k+1）x+9＝x2±6x+9＝（x±3）2， ∴k+1＝±6， 解得：k＝5或﹣7， 故选：D． 6．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 【分析】根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：∵（x+2y）2＝x2+4xy+4y2， ∴墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 7．在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将（x2+y2）（x2+y2﹣8）+16进行因式分解结果是（　　） A．（x2+y2﹣4）2 B．（x﹣y）4 C．（x2﹣y2﹣4）2 D．（x2+y2+4）2 【分析】把x2+y2看成整体，将多项式展开，再运用完全平方公式进行分解因式即可． 【解答】解：（x2+y2）（x2+y2﹣8）+16 ＝（x2+y2）2﹣8（x2+y2）+16 ＝（x2+y2﹣4）2， 故选：A． 8．在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　） A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4 【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可． 【解答】解：A．4x2+1+4x＝（2x+1）2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意； B．4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意； C．4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，即是整式2x﹣1的完全平方，故本选项不符合题意； D．4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B．8 C．﹣8 D．±8 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值． 【解答】解：∵多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解， ∴a＝±2×1×4＝±8． 故选：D． 10．已知x是有理数，则多项式x﹣1x2的值（　　） A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能是正数或负数或零 【分析】利用完全平方公式分解因式，然后根据非负数的性质判断即可得解． 【解答】解：x﹣1x2＝﹣（x2﹣x+1）＝﹣（x﹣1）2， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴多项式x﹣1x2的值不可能为正数． 故选：B． 11．将m2+2m+1因式分解后的结果为 　（m+1）2　． 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：m2+2m+1＝（m+1）2， 故答案为：（m+1）2． 12．因式分解的结果为　　． 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 13．因式分解：（x+y）2﹣6（x+y﹣1）+3＝　（x+y﹣3）2　． 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（x+y）2﹣6（x+y﹣1）+3＝（x+y）2﹣6（x+y）+9＝（x+y﹣3）2， 故答案为：（x+y﹣3）2． 14．若4x2﹣12x+m可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 　9　． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【解答】解：∵4x2﹣12x+m＝（2x）2﹣2×3×2x+m可以用完全平方公式来分解因式， ∴m＝32＝9． 故答案为：9． 15．在多项式x2+1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是 　2x（答案不唯一）　.（写出一个即可） 【分析】根据完全平方公式的形式解答即可． 【解答】解：∵x2+1+2x＝（x+1）2， ∴加上的单项式可以是2x． 故答案为：2x（答案不唯一）． 二．能力提升（共2小题） 16．在4ab+3b2，a2+b2，3a2﹣4ab这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解． 【分析】选择a2+b2，3a2﹣4ab，根据整式的加减运算法则计算得到4a2﹣4ab+b2，然后根据完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：选择a2+b2，3a2﹣4ab， 则（a2+b2）+（3a2﹣4ab） ＝a2+b2+3a2﹣4ab ＝4a2﹣4ab+b2， ∴4a2﹣4ab+b2＝（2a﹣b）2． 17．若|a+4|与b2+4b+4互为相反数，把多项式（x+a）（x+b）+1因式分解． 【分析】根据互为相反数的两数和为0以及绝对值和偶次幂的非负性，求得a、b的值，再利用公式法分解因式即可． 【解答】解：由条件可知|a+4|+b2+4b+4＝|a+4|+（b+2）2＝0， ∴a+4＝0，b+2＝0， 解得：a＝﹣4，b＝﹣2． ∴（x+a）（x+b）+1 ＝（x﹣4）（x﹣2）+1 ＝x2﹣6x+8+1 ＝x2﹣6x+9 ＝（x﹣3）2． 三．拓展探究（共1小题） 18．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值； ②已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，求x﹣2024的值． 【分析】（1）根据所给图形，用两种不同的方法表示出图形的面积即可解决问题． （2）将（a+2b）（a+b）展开，得出各项的系数即可解决问题． （3）根据（1）中的发现进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 图2的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：a2+b2+2ab， 所以（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+b2+2ab． （2）因为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，且A号卡片的面积为a2，B号卡片的面积为b2，C号卡片的面积为ab， 所以需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张． （3）①由（1）知， ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]． ②因为（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20， 所以（x﹣2024+1）2+（x﹣2024﹣1）2＝20， 则（x﹣2024）2+2（x﹣2024）+1+（x﹣2024）2﹣2（x﹣2024）+1＝20， 所以（x﹣2024）2＝9， 则x﹣2024＝±3． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$