第7-8章 幂的运算与整式乘法（单元测试·培优卷）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第7-8章 幂的运算与整式乘法（单元测试·培优卷） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）计算时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值为（   ） A．4051 B．2025 C．4046 D．4053 7．（19-20七年级下·安徽合肥·期末）若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 8．（24-25八年级上·山西大同·期末）把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则式子（   ） 小红的思路 设， 则， ， ， 的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 10．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024七年级下·全国·专题练习） ． 12．（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）简便运算： ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则的值是 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ． 16．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若是完全平方式，求常数的值 ； 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）指数运算可以做如下推广：m，n是实数，时满足运算：，，已知，，则 ． 18．（24-25八年级上·河南新乡·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知的结果中不含项， （1）求的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值： （1），其中 （2），其中，． 21．（本小题满分10分）（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）计算： （1） （2） （3）运用乘法公式计算： （4） 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算． （1）小明在活动中遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小明解答这个问题． （2）小红在活动中也遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小红解答这个问题． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． （2）已知，，则的值为 ． （3）计算：． 24．（本小题满分12分）（22-23七年级下·四川达州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．例题：求多项式的最小值． 解：， ， ， 当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 填空：①代数式，则的最小值为____________； ②代数式，则的最大值为____________； （2）【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点M、N分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止．设时间为，则当为何值时，的值最大，最大值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B A B D C B 1．B 【分析】本题主要考查幂的运算，根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方法则，分别计算各个选项后，判断即可解答． 解：A、与不属于同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式和平方差公式，运用相关知识计算出各选项的结果再进行判断即可． 解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意； B. ，原选项计算错误，故不符合题意； C.与不是同类项，不能运算，原选项计算错误，故不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则逐项计算即可得． 解：A、，则此项不符合题意； B、，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、，则此项不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了平方差公式的相关知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式，变形正确． 对后两项添括号时，变为，对后两项添括号时，变为，即可求解． 解：， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了平方差公式的有关运算，由得，据此即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解： ， ∵， ∴原式， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，利用完全平方公式确定的值是解题关键．由，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0确定的值，然后代入求值即可． 解：∵， 整理可得， ∴， ∴，解得， ∴． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键． 由图1可得：阴影部分的面积为： 由图2可得：阴影部分的面积为： 再利用阴影部分的面积相等可得答案． 解：由图1可得：阴影部分的面积为： 由图2可得：阴影部分的面积为： 由阴影部分的面积相等可得： 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据小红的思路，设，进行计算，即可求解． 解：若，设， 则， ∵， ∴， 的最小值为． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 11． 【分析】该题考查了幂的乘方和单项式乘法，据此解答即可． 解：， 故答案为：． 12．2025 【分析】本题考查了求代数式的值及多项式乘以多项式运算，由多项式乘以多项式得，可得，，即可求解；能熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键． 解：， ， ，， 解得，， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了平方差公式，有理数的乘方运算，熟练运用平方差公式是解决此题的关键．先变形，然后再计算即可得解． 解： ， 故答案为： ． 14．// 解：本题考查代数式的求值、多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则将展开即可得出结果． 【分析】解： ∵，， ∴原式 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，代数式求值，先根据多项式乘多项式的运算法则展开乘积，再根据展开式中不含和项，可得含和项的系数为，求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解： ， ∵乘积展开式中不含和项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．或10/10或 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是数完全平方公式的特点．根据题意，可知或，从而知道或，然后解方程即可． 解：是完全平方式， 或 或 或 或． 故答案为：或10． 17． 【分析】本题考查了幂的运算的应用，由，得，即可求解；能熟练利用幂的运算公式求解是解题的关键． 解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．2 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 解： ， 故答案为：2． 19．（1）；（2）． 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 解：（1）解：原式， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 20．（1），；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）首先根据单项式，多项式的乘法运算法则计算乘法运算，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，得到化简的结果，把的值代入化简后的代数式计算求值即可； （2）首先根据完全平方公式和多项式的乘法计算乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式计算求值即可． 解：（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ； 当，时，原式； 21．（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）利用完全平方公式化简，再按运算顺序求解即可； （2）运用平方差及完全平方公式求解即可； （3）运用乘法平方差公式简化运算； （4）先算单项式乘以单项式，再算单项式除以单项式即可． 解：（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ． 22．（1）；（2）26 【分析】本题考查幂的运算，完全平方公式变形计算： （1）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆用进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（1）B；（2）2；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 解：（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：2； （3）解：原式 ． 24．（1）①5；②6；（2），理由见分析；（3）当时，有最大值，最大值为． 【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 解：（1）解：① ， ， ， 当时，． ∴有最小值，最小值为5，即的最小值为5； ② ∵， ∴， ∴， ∴当时，， ∴有最大值，最大值为6，即的最大值为6； （2）解：，理由如下： ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$