第7-8章 幂的运算与整式乘法（单元测试·基础卷）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第7-8章 幂的运算与整式乘法（单元测试·基础卷） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，纳米就是米．数据用科学记数法表示为：（    ） A． B． C． D．以上都可以 2．（2019·浙江台州·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）下列各式，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 6．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）若且，则代数式的值等于（   ） A．2 B．1 C．0 D． 7．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）已知，，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 8．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（    ） A．25 B．23 C．25或 D．或23 9．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．（24-25八年级上·山东德州·期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释．那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么的值为 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）若表示，表示，则 ． 14．（22-23七年级下·江西景德镇·期中） 15．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 16．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）可利用完全平方式求某些多项式的最小值．例如，，由非负性知，当时，多项式有最小值1．则对于多项式，当 时，有最小值是 ． 17．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图，是小华家的住房结构平面图（单位：），她家打算把客厅铺上地砖，若铺地砖的价格为100元，那么购买地砖需要花费 元？（用代数式表示） 18．（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： （1） （2）； 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）先化简再求值： （1）其中 （2），其中． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）请用两种方法分别表示正方形的面积用含a、b的代数式表示： ①______；②______． 由此可以验证一个重要的公式是______． （2）若图中a，b满足，，求的值． （3）若，求的值． 22．（本小题满分10分）（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】 我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： _____； _____； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，， 例如，． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算，写出计算过程； （3）猜想，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A B D A D A C 1．A 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较小的数，用科学记数法表示一个数就是把一个数写成的形式，其中，本题中小数点向右移动了位，所以． 解：． 故选： A． 2．B 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方等知识，根据运算法则逐项运算即可得到答案． 解：A. 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B 3．D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的特点，两数和与两数差的乘积，进行判断即可． 解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，能用平方差公式进行计算，符合题意； 故选D． 4．A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为， 故选． 5．B 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了代数式求值，多项式乘以多项式，运用整体代入求值是解题的关键；把变形为，再整体代入求值即可． 解：，， ， 故选：． 7．A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 根据完全平方公式展开，再分别求出，，即可得出答案． 解：因为， ，得，即， ，得，即，则， 所以． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或23． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴，，． ∴ ， 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式用代数式表示图乙中，空白正方形的面积即可． 解：图2中，空白正方形的边长为，因此面积为，还可以表示为：， 所以，此等式是， 故选：C． 11． 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．利用同底数幂的乘法法则求解即可． 解：． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式计算即可求解，掌握整体思想是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查单项式乘单项式的知识．根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果． 解：根据题意得： ． 故答案为： 14． 【分析】根据平方差公式求解即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 【点拨】本题考查平方差公式的应用，熟记平方差公式是解决问题的关键． 15．， 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，据此求解即可． 解：∵A是二项式， ∴是一个二项式的完全平方， ∴可以写成一个二项式的完全平方， ∴，． 故答案为：，． 16． 1 -1 【分析】利用完全平方公式把代数式变形成偶次方加一个数的形式，再让偶次方等于0，求出x的值，确定此时的最小值． 解： ， 时，有最小值是． 故答案为：1；． 【点拨】考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式，会凑完全平方式子是做题关键． 17． 【分析】本题考查了整式的乘法运算的应用，先求出客厅面积，再用单价乘以面积即可得出购买地砖所需费用． 解：客厅铺上地砖的面积为（平方米）； 买地砖所需费用为：（元； 故答案为：． 18．15 【分析】本题考查了数字变化规律．根据图形中的规律，即可求出的展开式中含项的系数． 解：根据题意得：， ， 所以的展开式中含项的系数是15． 故答案为：15． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）分别计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）分别利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 20．（1），；（2），31 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，求值过程中需要注意整体代入思想的应用． （1）利用单项式乘以多项式，平方差公式计算，再代入求值； （2）先利用单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式计算，再将变形为，最后整体代入求值． 解：（1）解：， ， 当时，原式； （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 21．（1） ；；；（2）7；（3）20 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据代入计算即可； （3）设，，则，根据题意可得，由代入求出的值即可． 解：（1）解：①大正方形的边长为， ∴面积为， 故答案为：； ②拼成图中大正方形的4部分的面积和为， 故答案为：； 由①②可得； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ； （3）解：设，，则， ， ． 22．（1）；（2）． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式变形即可求解； 解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（1）3，4；（2）；（3）6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解 解：（1）∵， ∴； 故答案为3，4； （2）设，，则，， 因为，所以， 所以； （3）， 理由如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以． 24．（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题． （1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为5即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 解：（1）解：； 故答案为：； （2）解：； （3）解：①由可得： ， ∴； ②由可得： 原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$