精品解析：浙江省杭州市上城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 平面直角坐标系中，点的位置在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据在各象限内点的坐标的符号特征解答即可． 【详解】解：∵点， ∴为负，为正， ∴点在第二象限， 故选：． 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质逐步计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 4. 若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况进行分析，分别根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 故选：D． 5. 如图是尺规作的角平分线的痕迹，这样作角平分线的根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图；根据作图得出符合全等三角形的判定定理，即可得出答案． 【详解】解：由作法得：， 在和中， ∵， ∴， ∴，即平分． 故选：A． 6. 有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A. 个 B. 个 C. 个或个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角的概念求出三角形的总数，再根据直角三角形和钝角三角形的个数，即可求解． 【详解】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布．根据“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”即可判断． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限，可以排除选项BD； 当时，， ∴直线经过第一、三象限，直线与轴的交点在原点下方，选项A符合题意； 当时，， ∴直线经过第二、四象限，直线与轴的交点在原点上方，选项C不符合题意； 故选：A． 8. 下列四个选项中，经过变形，一定能得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一分析即可解答． 【详解】解：∵，当， ∴，故A选项不符合题意； B、∵， ∴，故B选项符合题意； C、∵， ∴，故C选项不符合题意； D、∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 9. 已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴，C选项错误，D选项错误； 故选：． 10. 如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列几个说法：①；②当为中点时，是等边三角形；③当时，是等边三角形．其中正确的是（　　） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，根据中点的定义得出，推得，根据等边对等角得出，根据三角形的外角性质得出，等边对等角得出，根据三角形的外角性质得出，①符合题意；根据中点的定义和垂直平分线的判定和性质得出，，推得，，根据直角三角形的性质得出，，即，根据等边三角形的判定定理即可得出②符合题意；根据垂直平分线的判定和性质得出，，结合①中结论求出，，根据等边三角形的判定定理即可得出③符合题意． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， 又∵是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵中点，， ∴，， ∴， 即，， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，故②符合题意； ∵，是中点， ∴，， 即， ∴，， ∴是等边三角形，故③合题意； ∴其中正确的是①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，三角形的外角性质，等边三角形的判定定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. “的倍与的差是正数”用不等式可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系列式是关键．根据数量关系列不等式即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 12. 点与点关于轴成轴对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变换轴对称．根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解． 【详解】解：点与点关于轴成轴对称，则点的坐标为． 故答案为：． 13. 写出“全等三角形的面积相等”的逆命题是______________；这个逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 【答案】 ①. 面积相等的两个三角形为全等三角形 ②. 假 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假性．根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形为全等三角形，假． 14. 已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴则方程组的解为． 故答案为：． 15. 某公司生产了，两款新能源电动汽车．如图，，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系． （1）根据图象判断，，两款电动汽车充满电后，续航里程更长的是______（填或）； （2）当两款电动汽车的行驶路程都是时，，两款电动汽车的剩余电量的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据函数图象，可知续航里程更长的是款新能源车； （）根据图象中的数据，可以计算出款新能源车每行驶的路程和款新能源车每行驶的路程，然后即可计算出当两款电动汽车的行驶路程都是时，两款电动汽车的剩余电量，再作差即可； 本题考查了函数图象的应用，解题的关键是读懂图象，从中获取信息． 【详解】（1）由图象可得，续航里程更长的是A款新能源车， 故答案为：； （2）由图象可得， 款新能源车每行驶的路程为：， 款新能源车每行驶的路程为：， 当两款电动汽车的行驶路程都是时， 款新能源车剩余电量为， 款新能源车剩余电量为：， ∴当两款电动汽车的行驶路程都是时，，两款电动汽车的剩余电量的差为， 故答案为：． 16. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为_____；的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，由全等三角形的性质得到，，进而证明，根据勾股定理得，建立方程解方程，即可求解． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解是，，，， 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 解得， 则不等式组的解集是， 则不等式组的整数解是，，，，． 18. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数是 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用角角边即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余得到，根据全等的性质，三角形外角的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴的度数是． 19. 已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 【答案】（1）一次函数的表达式为 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数． （1）设一次函数的表达式为，把当时，；时，代入利用待定系数法求解即可． （2）先求出时x的值，再根据一次函数的图像和性质得出当时，，然后画出的一次函数图像即可． 【小问1详解】 解：由题知，设一次函数的表达式为， 则， 解得： 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当， 解得：， ∵， ∴当时，， 函数图象如图所示， 20. 在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． （1）若点，则点的坐标为______； （2）若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． （3）若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 【答案】（1） （2），， （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，点的坐标变化规律，熟练掌握平移后点的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据“关联点”的定义进行计算即可． （2）令点的坐标为，再根据“关联点”的定义建立关于，的方程进行计算即可；先用，表示出的坐标，再结合点在轴上，得出其横坐标为即可解决问题． （3）令点的坐标为，再用，表示出点的坐标，再表示出点向右平移个单位后的坐标，最后根据此点与重合，建立关于，的等式即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为， 且，， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：令点的坐标为， 根据题意可得， 解得， 所以点的坐标为． 由点坐标为可知， 点的坐标为． 因为点在轴上， 所以， 即，关系式为． 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：令点的坐标为， 则点的坐标为， 将点向右平移个单位后，所得点的坐标为， 因为此点与重合， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 21. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． （1）求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数） （2）修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．可以得到的取值范围； （2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍． ∴， 解得：， 即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴随的增大而增大， ∵且为整数， ∴当时，取得最小值，此时， 故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元． 22. 如图，在四边形中，，． （1）若，，，求四边形的面积； （2）请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【答案】（1）四边形的面积为； （2）选择作为条件，作为结论，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于，则，根据等腰三角形的性质得，然后证明，故有的面积的面积，从而，再求出的面积即可求解； （）分选择作为条件，作为结论和选择作为条件，作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证． 小问1详解】 解：如图，过作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵面积， ∴四边形的面积； 【小问2详解】 解：）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知一次函数，其中． （1）若点在的图象上，求的值； （2）当时，若函数有最大值，求的函数表达式； （3）对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围． 【答案】（1） （2）一次函数解析式为或 （3），或且， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）把代入中可求出的值； （2）讨论：当时，根据一次函数的性质得到时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；当时，利用一次函数的性质得到时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式； （3）结合图象，分两个函数平行和有交点两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最大值，即时，， 把代入得， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值，即时，， 把代入得， 解得， 此时一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：如图： 分为两种情况： ①当一次函数与一次函数的图象没有交点时， 即当一次函数与一次函数的图象平行时， 若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方， 此时， 即，； ②当一次函数与一次函数的图象有交点时， 若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴， 此时时，都成立， 即，； 综上，，的取值范围为：，或且，． 24. 在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． （1）求证：； （2）过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同位角相等，直线平行可得：，根据两直线平行，内错角相等得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）①如图2，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解； ②设，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，列出方程，解方程的值，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①证明：连接，如图： ∵， ∴， 在与， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：设， 在中，， 故， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，点的位置在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（　　） A. B. C. D. 或 5. 如图是尺规作的角平分线的痕迹，这样作角平分线的根据是（ ） A. B. C. D. 6. 有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A. 个 B. 个 C. 个或个 D. 个 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个选项中，经过变形，一定能得到的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在中，是中点，，与交于点，且．下列几个说法：①；②当为中点时，是等边三角形；③当时，是等边三角形．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. “的倍与的差是正数”用不等式可表示为______． 12. 点与点关于轴成轴对称，则点坐标为______． 13. 写出“全等三角形的面积相等”的逆命题是______________；这个逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 14. 已知一次函数与（，为常数，）图象相交于点，则方程组的解为____． 15. 某公司生产了，两款新能源电动汽车．如图，，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系． （1）根据图象判断，，两款电动汽车充满电后，续航里程更长的是______（填或）； （2）当两款电动汽车的行驶路程都是时，，两款电动汽车的剩余电量的差为______． 16. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为_____；的长为_____． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 18. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 已知y是关于x一次函数，且当时，；时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 20. 在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． （1）若点，则点的坐标为______； （2）若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． （3）若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 21. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． （1）求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 22. 如图，在四边形中，，． （1）若，，，求四边形的面积； （2）请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 23. 已知一次函数，其中． （1）若点在的图象上，求的值； （2）当时，若函数有最大值，求的函数表达式； （3）对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围． 24. 在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． （1）求证：； （2）过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $