第1章 专题强化2 带电粒子在匀强磁场中的运动-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（粤教版）

专题强化2　带电粒子在匀强磁场中的运动 第一章　磁场 [学习目标]　1.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。　2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动。 课时作业 巩固提升 类型1　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 类型2　带电粒子在有界匀强磁场中的运动及临界问题 内容索引 类型3　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 类型1　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 一 4 1.圆心的确定 圆心位置的确定通常有以下两种基本方法: (1)已知入射方向和出射方向时,可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示,P为入射点,M为出射点)。 (2)已知入射方向和出射点的位置时,可以过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作连线的中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点)。 2.半径的确定 (1)r=。 (2)几何关系。 3.粒子速度偏向角 如图所示,速度的偏向角φ=圆弧所对的圆心角(回旋角)θ=弦切角α的2倍。 4.粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)周期一定时,由圆心角求:t=·T。 (2)v一定时,由弧长求:t==。 [例1]　(2024·广州从化中学高二期末)一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0,L)的a点,平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域,并从x轴上的b点射出磁场,射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°,如图所示。 (1)求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径; [答案]　(1)2L　 (1)粒子在磁场中运动的轨迹如图所示, 由几何知识可知 Rcos 60°+L=R 解得R=2L。 (2)求粒子从a点运动到b点的时间; [答案]　(2) 　 (2)粒子运动的周期为 T== 粒子从a点运动到b点的时间为 t=T=。 (3)其他条件不变,要使该粒子恰从O点射出磁场,求粒子的入射速度大小。 [答案]　(3)v (3)要使该粒子恰从O点射出磁场,则应满足 R'= 设粒子质量为m,由洛伦兹力提供向心力可得 qBv'= 对原粒子在磁场中的运动有qBv= 联立解得v'=v。 [针对训练]　1.如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域,当速度大小为vb时,从b点离开磁场,在磁场中运动的时间为tb;当速度大小为vc时,从c点离开磁场,在磁场中运动的时间为tc。不计粒子重力,则(　　) A.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=2∶1 B.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=1∶2 C.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=2∶1 D.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=1∶2 A 设正六边形边长为L,若粒子从b点离开磁场,可知运动的半径为r1=L,圆心角θ1=120°;若粒子从c点离开磁场,可知运动的半径为r2=2L,圆心角θ2=60°,根据r=可得vb∶vc=r1∶r2=1∶2;根据t=T及T=可知tb∶tc=θ1∶θ2=2∶1,故选A。 2.(2024·江门高二期中)如图所示,空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出),一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的带电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出,带电粒子恰好经过点A(h,h),求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小B; 答案:(1)　 (1)根据洛伦兹力提供向心力,结合几何关系有qv0B=,(h)2+(h-R)2=R2 解得R=h,B=。 (2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。 答案: (2) (2)由几何关系知粒子从O到A轨迹的圆心角为120°,设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T,则有T=,t=T 解得t=。 二 类型2　带电粒子在有界匀强磁场中的运动及临界问题 20 1.直线边界 从某一直线边界射入的粒子,再从这一边界射出时,速度与边界的夹角相等,如图所示。 2.平行边界 3.圆形边界 (1)在圆形磁场区域内,沿半径方向射入的粒子,必沿半径方向射出,如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内,不沿半径方向射入的粒子,入射速度方向与半径的夹角为θ,出射速度方向与半径的夹角也为θ,如图乙所示。 4.三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图,粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 5.解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键,通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口,寻找临界点,确定临界状态,根据匀强磁场边界和题设条件画出轨迹,建立几何关系求解。 [例2]　(2024·佛山高二统考期末)如图所示,在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场,一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中,不计离子重力,则正、负离子(　　) A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同 C.出边界时两者的速度相同 D.正离子出边界点到O点的距离更大 C 两离子在磁场中运动周期为T=,则知两个离子做圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知,正离子逆时针偏转,负离子顺时针偏转,作出两离子的运动轨迹,如图所示。 两离子重新回到边界时,正离子的速度偏向角为2π-2θ,轨迹的圆心角也为2π-2θ,运动时间t1=T,同理,负离子运动时间t2=T,正、负离子在磁场中运动时间不相等,故A错误;根据洛伦兹力提供向心力,则有qvB=,得r=,由题意知r相同,根据几何知识可得,重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ,r、θ相同,则s相同,故两离子在磁场中运动的位移大小 相同,方向不同,故B、D错误;两离子在磁场中均做匀速 圆周运动,速度沿轨迹的切线方向,根据圆的对称性 可知,重新回到边界时速度大小与方向相同,故C正确。 [针对训练]　3.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷; 答案:(1)负电荷　　 (1)由粒子的运动轨迹(如图),利用左手定则可知,该粒子带负电荷。粒子由A点射入,由C点飞出,其速度方向改变了90°,则粒子轨迹半径R=r,又qvB=m,则粒子的比荷=。 (2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B',该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°,求磁感应强度B'的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 答案: (2)B　 (2)设粒子从D点飞出磁场,运动轨迹如图,偏转角为60°,故AD弧所对圆心角为60°,由几何知识可知,粒子做圆周运动的半径R'==r,又R'=,所以B'=B,此次粒子在磁场中运动所用时间t=T=×=。 三 类型3　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 34 带电粒子在有界匀强磁场中运动多解的原因 (1)磁场方向不确定形成多解; (2)带电粒子电性不确定形成多解; (3)临界状态不唯一形成多解; (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题,首先应画出粒子的可能轨迹,然后找出圆心、半径的可能情况。 [例3]　(多选)如图所示,位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子,重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　) A.垂直纸面向里,B> B.垂直纸面向里,B> C.垂直纸面向外,B> D.垂直纸面向外,B> BC 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,由左手定 则可知负离子向右偏转,负离子被约束在OP之下 的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切, 如图(大圆弧),由几何知识知R2=OBsin 30°=OB,而OB=s+R2,故R2=s,所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件;由牛顿第二定律可得qvB=,所以应满足B>,选项A错误,B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则可知负离子向左偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(小圆弧),由几 何知识知R1=,所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件;由牛顿第二定律得qvB=,所以应满足B>,选项C正确,D错误。 [针对训练]　4.如图所示,边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场,磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源,能沿∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子,粒子质量均为m,电荷量均为+q,不计粒子重力,则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. C 粒子带正电,且经过D点,其可能的轨迹如图所示: 所有圆弧所对的圆心角均为60°,所以粒子运动的半径为r=(n=1,2,3,…);粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v==(n=1,2,3,…),故选C。 四 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1.如图,ABCD是一个正方形的匀强磁场区域,两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场,不计粒子重力,均从C点射出,则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比 t甲∶t乙分别为(　　) A.1∶1　2∶1　　　　　　 B.2∶1　2∶1 C.2∶1　1∶2 D.1∶2　1∶1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 根据qvB=m,得v=,根据题图可知,甲、乙两粒子的半径之比为2∶1,又因为两粒子相同,故v甲∶v乙=r甲∶r乙=2∶1,粒子在磁场中的运动周期T=,两粒子相同,可知甲、乙两粒子的周期之比为1∶1,根据题图可知,甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2,故两粒子在磁场中运动的时间之比t甲∶t乙=1∶2,选C。 2.如图所示,两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中,不计粒子重力,磁场方向垂直纸面向里,当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°,则粒子1、2在磁场中运动的(　　) A.轨迹半径之比为2∶1 B.速度之比为1∶2 C.时间之比为2∶3 D.周期之比为1∶2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 带电粒子在匀强磁场中运动时,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律有qvB=m,可得r=,又T=,联立可得T=,故两粒子运动的周期相同,D错误;速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角,故粒子1的运动时间t1=T=T,粒子2的运动时间t2=T=T,则时间之比为3∶2,C错误;粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示,设粒子1的轨迹半径R1=d, 对于粒子2,由几何关系可得R2sin 30°+d=R2,解得 R2=2d,故轨迹半径之比为1∶2,A错误;由r=可知, 速度之比为1∶2,B正确。 3.如图所示,在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场,不计粒子重力,则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 由洛伦兹力提供向心力有qvB=,又T=,解得T=,则正、负粒子在磁场中的运动周期相等,正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°,负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°,故时间之比为2∶1,B正确。 4.如图所示,一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一质量为m、电量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场,从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 以速度v正对着圆心射入磁场,将背离圆心射出,轨迹圆弧的圆心角为θ,如图,由几何关系知轨迹圆半径r=,由半径r=解得B=,选项B正确。 5.(多选)如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角,若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a,则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正、负可能是(　　) A.,正电荷 B.,正电荷 C.,负电荷 D.,负电荷 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 BC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 如图所示,若粒子带正电,则a=r(1-sin 30°)=,则B=,选项B正确;若粒子带负电,则a=r(1+sin 30°)=,则B=,选项C正确。 6.(多选)如图所示,平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里,磁感应强度为B。一质量为m、电量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场,运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同,不计粒子的重力,则(　　) A.该粒子带正电 B.A点与x轴的距离为 C.粒子由O到A经历时间t= D.运动过程中粒子的速度不变 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 BC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示。 根据左手定则及曲线运动的条件判断出此粒子带负电,故A错误;设点A与x轴的距离为d,由图可得r-rcos 60°=d,所以d=0.5r,而粒子的轨迹半径为r=,则得A点与x轴的距离为d=,故B正确;粒子由O运动到A时速度方向改变了60°角,所以粒子轨迹对应的圆心角为 θ=60°,所以粒子运动的时间为t=T=×=, 故C正确;由于粒子的速度的方向在改变,而速度是 矢量,所以速度改变了,故D错误。 7.如图所示,一束电子(电量为e)以速度v0垂直射入磁感应强度为B、宽为d的匀强磁场中,电子穿出磁场的速度方向与电子原来的入射方向的夹角为30°,(电子重力忽略不计)求: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)电子的质量; 答案:(1)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)由几何关系知 r==2d 由洛伦兹力提供向心力有 ev0B= 联立解得m=。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)穿过磁场的时间。 答案: (2) (2)由几何知识得,轨迹的圆心角为α=,且T= 所以t=T=。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [B组　综合强化练] 8.(2024·广州执信中学高二期末)如图所示,一矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B0的匀强磁场,ad和ab边长分别为d和2d,P为ad边中点。在P点,把带正电的粒子以大小不同的初速度平行纸面射入磁场,速度方向跟ad边夹角θ=30°。已知粒子的质量为m,带电荷量为q,粒子重力不计,欲使粒子能从ab边上射出磁场,则初速度v0大小可能为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 若粒子速度大小为v0,其在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力,有 qv0B0=m 即R= 设圆心在O1处,对应圆弧与ab边相切,轨迹如图(小圆弧) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设相应速度为v01,由几何知识得 R1+R1sin θ= 得R1=d 又R1= 解得v01= 同理设圆心在O2处,对应圆弧与cd边相切,轨迹如图(大圆弧) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设相应速度为v02,则 R2sin θ= 解得R2=d 联立R2= 可得v02= 所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足 <v0≤,故选A。 9.(多选)(2024·汕头河溪中学高二期中)如图,质子(不计重力)以一定初速度从ad的中点平行ab边方向进入立方体区域abcd-a'b'c'd',立方体区域存在垂直于abcd平面向下的匀强磁场,质子可能从哪条边界射出立方体(　　) A.ad边 B.b'c'边 C.cd边 D.a'd'边 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 AC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 根据qvB=m,令棱长为L,当半径R≤,即v≤时,根据左手定则可知,质子从ad边飞出,A正确;若在上述基础上,增大速度,半径增大,质子将从cd边飞出,继续增大速度,质子将从cb边飞出,C正确;根据左手定则,质子始终在abcd平面内偏转,不可能从b'c'边与a'd'边飞出,B、D错误。 10.如图所示,直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以同样速度v射入磁场,速度v的方向与MN成30°角。设电子质量为m,电量大小为e,则(不计正、负电子重力)(　　) A.正、负电子在磁场中做圆周运动的半径不同 B.正电子从磁场中射出的点到O点的距离较大 C.负电子在磁场中运动的时间是 D.正、负电子在磁场中运动的时间差是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 正、负电子在磁场中的运动轨迹如图所示,由evB=,T=得R=,T=,则正、负电子在磁场中运动的半径和周期相同,故A错误;由图可知,正、负电子从磁场中射出的点到O点的距离都等于半径,故B错误;正电子的偏转角是60°,在磁场中运动的时间t1=T=T=,负电子的偏转角是300°,在磁场中运动的时间t2 =T=T=,射出的时间差为Δt=t2-t1=, 故C错误,D正确。 [C组　培优选做练] 11.(多选)P为屏上的一个小孔,PC与MN垂直。一群质量为m、带电量为-q的粒子(不计重力)以相同的速率v从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域,且限制在与PC夹角为θ的范围内(即图中D'PD范围),下列说法正确的有(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 A.沿PC方向进入磁场的粒子,打在屏上的位置距离P点最远 B.沿PD或PD'方向进入磁场的粒子,打在屏上的位置距离P点最远 C.打在屏上的位置距离P点最远的距离等于 D.打在屏上的位置距离P点最近的距离等于 答案:AD 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 由于所有粒子都相同,且速率相同,所以根据公式Bqv=可知,所有粒子轨道半径均为R=,当粒子沿PC方向射入时,在磁场中的轨迹为半圆,因此打在屏上的位置距离P点为圆的直径,此距离最远,为,故A正确,B、C错误;沿着边界进入磁场的粒子打在屏上的位置距离P点最近,长度为,故D正确。 12.如图所示,边长为L的正三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场,D为AB边的中点,一个质量为m、电量为q的带正电的粒子平行BC边射入磁场,粒子的速度大小为v0,结果刚好垂直BC边射出磁场,不计粒子的重力,求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小。 答案:(1)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)运动轨迹如图所示, 根据几何知识可知,粒子做圆周运动的半径为 R1=sin 60°=L 根据洛伦兹力提供向心力有qBv0=m 所以匀强磁场的磁感应强度大小为B=。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)若要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切,粒子的速度大小为多少?粒子在磁场中运动的时间为多少? 答案: (2)v0　　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切,其轨迹如图所示, 根据几何知识可知,其运动的半径为 R2=··sin 60°=L 所以粒子运动的速度为v==v0 根据几何知识可知,粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为θ=240° 所以粒子在磁场中运动的时间为 t=T=·=。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)增大粒子的速度,试分析粒子能不能从C点射出磁场。若不能,请说明理由;若能,请计算粒子从C点射出磁场时的偏向角。 答案: (3)见解析 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)根据数学知识知,粒子能到达C点,粒子到达C的轨迹如图所示, 由几何知识可知,∠DOC=60°,所以粒子从C点射出磁场时的偏向角为60°。 $$