精品解析：海南省嘉积中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

嘉积中学2024—2025学年度第二学期高一年级第一次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得，所以， 所以 故选：C 2. “为第一或第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案. 【详解】当为第一或第四象限角时， ， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分条件， 当时，为第一或第四象限角或轴正半轴上的角， 所以“为第一或第四象限角”不是“”的必要条件， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列函数中，是奇函数且周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数诱导公式和三角恒等变换的知识，依次判断四个选项的奇偶性和周期性即可得解. 【详解】对于A选项，，，奇函数，周期，正确； 对于B选项，，，偶函数，周期，错误； 对于C选项，， ，不具有奇偶性，周期，错误； 对于D选项，，，偶函数，周期，错误. 故选：A. 4. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行列方程即可求出. 【详解】由向量，得. 因为，所以，解得. 故选：A 5. 如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上点处测得塔顶点的仰角为，塔底点的仰角为. 已知山岭高为米，则塔高为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】中求出，再在中求得，从而可得． 【详解】在中，， 在中，， 所以． 故选：B． 6. 4（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用二倍角公式和特殊角三角函数值，即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式，对已知条件进行平方处理，然后通过变形得到的值． 【详解】解：对两边平方，， 即①， 对两边平方，， 即②， ① +②得，， 即， 即， 则，解得 故选：C 8. 在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】根据的含义，结合数乘运算的几何意义，即可判断和选择. 【详解】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 故表示起点为，终点在的平分线上的向量， 又，，与共起点，且为同向的向量， 则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 函数的最小值为2 D. 在中，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；取特值计算判断C；利用正弦定理判断D. 【详解】对于A，，而由，得或，于是“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则”，B正确； 对于C，函数的定义域为，当时，，C错误； 对于D，在中，由正弦定理得，D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，其中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与夹角为锐角，则 C. 若，则在方向上投影向量为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数判断A；根据向量夹角为锐角有，注意同向共线的情况判断B；由投影向量的定义求投影向量判断C；根据向量坐标求模判断D. 【详解】若，则，解得，A正确； 若与夹角为锐角，则，解得， 当，，此时，与夹角为，B错误； 若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为， 所以在方向上投影向量为，C正确； 由题设，，D错误. 故选：AC 11. 已知函数（，），且，，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，，求得，再逐项判断. 【详解】解：因为函数（，），且， 所以，又，所以，故A错误； ，则， 则， 又，则，所以，故B正确； ，因为，所以，故C正确； ，为偶函数，故D错误， 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于_______. 【答案】 【解析】 分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中， 由正弦定理， 即，解得， 故答案为：. 13. 函数的最大值为2，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数变形为的形式，然后根据为最大值列式计算. 【详解】，， 当时，取最大值， ， 得. 故答案为：. 14. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算将用表示，然后根据系数相等求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是第二象限角，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； （2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解. 【小问1详解】 由，是第二象限角，， 可得，即， 解得或. 因为是第二象限角，所以. 【小问2详解】 . 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①，     由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的取值范围； （2）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简，再结合正弦函数的性质求解即可； （2）根据函数的平移变换可得，再结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由， 由，得， 则，即， 则函数在区间上的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则函数的图象向左平移个单位，得到， 再得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 18. 单位向量，满足. （1）求与夹角的余弦值： （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值； （2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，即，则， 则，即与夹角余弦值. 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式： （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象． ①当时，求函数的值域； ②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式； （2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域； ②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案. 【小问1详解】 解：由图示得：， 又，所以，所以，所以， 又因为过点，所以，即， 所以，解得，又，所以， 所以； 【小问2详解】 解①：由已知得，当时，， 所以，所以，所以， 所以函数的值域为； ②当时，，令，则， 令，则函数的图象如下图所示，且，，， 由图象得有三个不同的实数根，则，， 所以，即， 所以，所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉积中学2024—2025学年度第二学期高一年级第一次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “为第一或第四象限角”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，是奇函数且周期为的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上点处测得塔顶点的仰角为，塔底点的仰角为. 已知山岭高为米，则塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 4（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”否定是“存在，则” C. 函数的最小值为2 D. 在中，若，则 10. 已知向量，其中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与夹角为锐角，则 C. 若，则在方向上投影向量为 D. 11. 已知函数（，），且，，则（ ） A. B. 最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 为奇函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于_______. 13. 函数的最大值为2，则_____________． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则______. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是第二象限角，且. （1）求值； （2）求的值. 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的取值范围； （2）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间. 18. 单位向量，满足. （1）求与夹角的余弦值： （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式： （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象． ①当时，求函数的值域； ②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $