第4章 第七节 生产和生活中的机械能守恒-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（粤教版）

第七节　生产和生活中的机械能守恒 第四章　机械能及其守恒定律   [学习目标]　1.深入理解机械能守恒定律,体会应用能量观点解决问题的思路(重点)。2.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题(重难点)。3.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法(重难点)。 课时作业 巩固提升 要点1　单个物体的机械能守恒问题 要点2　多物体组成的系统机械能守恒问题 要点3　非质点类物体的机械能守恒问题 内容索引 要点1　单个物体的机械能守恒问题 一 4 机械能守恒定律表达式的灵活选取 以单个物体为研究对象,可应用表达式ΔEk=-ΔEp或E1=E2列式求解。 [例1]　如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图,斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接,斜面AB和圆形轨道都是光滑的,圆形轨道半径为R,一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下,小车恰能通过圆形轨道的最高点C。已知重力加速度为g。求: (1)A点距水平面的高度h; (2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小。 [答案]　(1)2.5R　(2)6mg (1)小车恰能通过最高点C,则有mg= 解得vC= 由A运动到C,根据机械能守恒定律得 mgh=mg·2R+m 解得h=2.5R。 (2)由A运动到B,根据机械能守恒定律得 mgh=m 解得vB= 小车在B点,由牛顿第二定律得FN-mg= 解得FN=6mg 由牛顿第三定律可知,运动到B点时小车对圆形轨道的压力大小为6mg。 [针对训练]　 1.打桩机重锤的质量为1×103 kg,把它提升到离地高度为20 m处,由静止释放,不计空气阻力(取地面为参考平面,g取10 m/s2)。求: (1)重锤下落过程重力的平均功率; (2)重锤落到地面时的动能和机械能; (3)重锤下落至何处时,动能等于重力势能的3倍。 答案:(1)1×105 W　(2)2×105 J　2×105 J　(3)5 m (1)下落过程重力做功WG=mgh=2×105 J 由h=gt2得下落时间t==2 s 所以重力的平均功率为==1×105 W。 (2)以地面为参考平面,由动能定理得落地时重锤的动能Ek=mgh=2×105 J 落地时的势能Ep=0 机械能E=Ek+Ep=2×105 J。 (3)设离地高度为h'时其动能等于重力势能的3倍 即Ek'=3Ep' 由机械能守恒定律得E=Ek'+Ep' Ep'=mgh' 联立解得h'=5 m 即重锤下落至离地5 m高处,其动能为重力势能的3倍。 二 要点2　多物体组成的系统机械能守恒问题 12 1.多个物体组成的系统,就单个物体而言,机械能一般不守恒,但就系统而言机械能往往是守恒的。 2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 3.机械能守恒定律表达式的选取技巧 对多个物体组成的系统列守恒方程时常有两种表达形式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2①或ΔEk=-ΔEp②,运用①式需要选取合适的参考平面,运用②式无需选取参考平面,只要判断系统动能(或势能)的增加量和势能(或动能)减少量即可。所以处理多物体组成系统问题用第②式较为方便。 [例2]　如图所示,斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,高为H,斜面顶点上有一定滑轮,物块A和B的质量分别为m1和m2,通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮。开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上,释放两物块后,A沿斜面无摩擦地上滑,B沿斜面的竖直边下落。若物块A恰好能达到斜面的顶点,试求m1和m2的比值。(滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计) [答案]　1∶2 设B刚下落到地面时速度为v,由系统机械能守恒得 m2g-m1gsin 30°=(m1+m2)v2 ① B落地后,A上滑到顶点过程中,由动能定理得 m1v2=m1g(-sin 30°) ② 由①②得=1∶2。 归纳总结 系统机械能守恒问题的处理方法 由两个物体和轻杆(或轻绳)组成的系统,若没有摩擦力和阻力做功时,运动过程中只有重力势能、动能之间的相互转化,系统满足机械能守恒定律。处理这类问题的方法: (1)找到两物体的速度关系,从而确定系统动能的变化。 (2)找到两物体上升或下降的高度关系,从而确定系统重力势能的变化。 (3)按照系统动能的增加(减少)量等于重力势能的减少(增加)量列方程求解。 [针对训练]　 2.如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的2倍。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是(　　) A.2R　　　　　　　　　 B.R C.R D.R C 设B的质量为m,则A的质量为2m,设A落地时速度为v,对A、B应用机械能守恒定律有2mgR-mgR=×3mv2,得v= ,A落地后B做竖直上抛运动,有v2=2gh,得h=R,则B上升的最大高度H=R+R=R,故正确答案为C。 三 要点3　非质点类物体的机械能守恒问题 20 1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再看成质点来处理。 2.物体虽然不能看成质点来处理,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。一般情况下,可将物体分段处理,确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 [例3]　如图所示,总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮,不计滑轮大小,开始时下端A、B相平齐,当略有扰动时其A端下落,则当铁链刚脱离滑轮的瞬间,铁链的速度为多大?(重力加速度为g) [答案]　 方法一:取整个铁链为研究对象 设整个铁链的质量为m,初始位置的重心在A点上方L处,末位置的重心在A点,则重力势能的减少量为ΔEp=mg·L 由机械能守恒得mv2=mg·L,则v=。 方法二:将铁链看成两段 铁链由初始状态到刚离开滑轮时,等效于左侧铁链BB'部分移到AA'位置,如图所示。 重力势能减少量为 ΔEp=mg· 由机械能守恒得mv2=mg· 则v=。 [针对训练]　 3.如图所示,长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上,让链条从静止开始沿桌边下滑,若桌子高度大于链条长度,则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D.2 A 铁链下滑过程中机械能守恒,则有mg=mv2,解得v=,故A正确,B、C、D错误。 四 课时作业 巩固提升 [A组　基础巩固练] 1.(多选)如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上,现将一小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法正确的是(　　) A.斜劈对小球的弹力不做功 B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C.斜劈的机械能守恒 D.小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量 BD 小球有竖直方向的位移,所以斜劈对小球的弹力做负功,故选项A错误;小球对斜劈的弹力对斜劈做正功,所以斜劈的机械能增加,故选项C错误;不计一切摩擦,小球下滑过程中,小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化,系统机械能守恒,故选项B、D正确。 2.(多选)如图所示,a、b两物块质量分别为m、3m,用不计质量的细绳相连接,悬挂在定滑轮的两侧。开始时,a、b两物块距离地面高度相同,用手托住物块b,然后由静止释放,直至a、b物块间高度差为h,不计滑轮质量和一切摩擦,重力加速度为g。在此过程中,下列说法正确的是(　　) A.物块a的机械能守恒 B.物块b的机械能减少了mgh C.物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量 D.物块a、b与地球组成的系统机械能守恒 CD 释放物块b后物块a加速上升,动能和重力势能均增加,故机械能增 加,选项A错误。对物块a、b与地球组成的系统,只有重力做功,故 机械能守恒,选项D正确。物块a、b构成的系统机械能守恒, 有(3m)g-mg=mv2+(3m)v2,解得v=;物块b动能增加量为(3m)v2=mgh,重力势能减少mgh,故机械能减少mgh-mgh=mgh,选项B错误。由于绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等,故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量,选项C正确。 3.如图所示,内壁光滑的圆形轨道固定在竖直平面内,轨道内甲、乙两小球固定在轻杆的两端,甲、乙两球质量相同,开始时乙球位于轨道的最低点,现由静止释放轻杆,下列说法正确的是(　　) A.甲球下滑至底部的过程中,轻杆对甲、乙两小球和轻杆组成的系统不做功 B.甲球滑回时不一定能回到初始位置 C.甲球可沿轨道下滑到最低点且具有向右的瞬时速度 D.在甲球滑回过程中杆对甲球做的功大于乙球对杆做的功 A 甲球下滑的过程中,甲、乙两小球和轻杆组成的系统,只 有动能和重力势能相互转化,机械能守恒,轻杆对系统不 做功,选项A正确;两球滑动过程中,只有重力做功,故机械 能守恒,所以甲球滑回时,一定能回到初始位置,选项B错 误;两球滑动过程中,只有重力做功,机械能守恒,甲球的质量等于乙球的质量,甲球沿轨道下滑能滑到最低点且速度为0,选项C错误;在甲球滑回的过程中,杆对甲球的作用力大小等于杆对乙球的作用力大小,甲球速度沿杆方向的分量等于乙球速度沿杆方向的分量,杆对甲球做的功等于乙球对杆做的功,选项D错误。 4.(多选)如图所示,小滑块从一个固定的光滑斜槽轨道顶端由静止开始下滑,用v、t和h分别表示小滑块沿轨道下滑的速率、时间和距轨道顶端的高度。如图所示的v-t图像和v2-h图像中可能正确的是(　　) BD 小滑块下滑过程中,小滑块的重力沿斜槽轨道切向的分力逐渐变小,故小滑块沿轨道切线方向的加速度逐渐变小,故A错误,B正确;由机械能守恒定律得mgh=mv2,所以v2=2gh,所以v2与h成正比,故C错误,D正确。 5.如图所示,一个质量为m、质量分布均匀的细链条长为L,置于光滑水平桌面上,用手按住一端,使长部分垂在桌面下(桌面高度大于链条长度,重力加速度为g)。现将链条由静止释放,则其上端刚离开桌面时链条的动能为(　　) A.0　　　　　　　　 B.mgL C.mgL D.mgL D 取水平桌面为参考平面,根据机械能守恒定律有-·=-mg·+Ek,可得Ek=mgL,故选D。 6.(多选)如图所示,质量为m的小球套在倾斜放置的固定光滑杆上,一根轻质弹簧的一端悬挂于O点,另一端与小球相连,弹簧与杆在同一竖直平面内,将小球沿杆拉到弹簧水平位置由静止释放,小球沿杆下滑,当弹簧位于竖直位置时,小球速度恰好为零,此时小球下降的竖直高度为h,若全过程中弹簧始终处于伸长状态且处于弹性限度范围内,下列说法正确的是(　　) A.弹簧与杆垂直时,小球速度最大 B.弹簧与杆垂直时,小球的动能与重力势能之和最大 C.小球从释放到下滑至最低点的过程中,弹簧的弹性势 能增加量小于mgh D.小球从释放到下滑至最低点的过程中,弹簧的弹性势能增加量等于mgh BD 弹簧与杆垂直时,弹力方向与杆垂直,合外力方向沿杆向下,小球继续加速,速度没有达到最大值,故A错误;小球运动过程中,只有重力和弹簧弹力做功,系统机械能守恒,当弹簧与杆垂直时,弹簧伸长量最短,弹性势能最小,此时小球动能与重力势能之和最大,故B正确;小球从释放到下滑至最低点的过程中,系统机械能守恒,初末位置动能都为零,所以弹簧弹性势能的增加量等于重力势能的减少量,即为mgh,故C错误,D正确。 7.如图所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧,物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h,物体B静止在地面上。放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,则下列说法正确的是(　　) A.弹簧的劲度系数为 B.此时弹簧的弹性势能等于mgh+mv2 C.此时物体B的速度大小也为v D.此时物体A的加速度大小为g,方向竖直向上 A 由题意可知,此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力,即F=mg,弹簧伸长的长度为x=h,由F=kx得k=,故A正确;A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mgh=mv2+Ep,则弹簧的弹性势能Ep=mgh-mv2,故B错误;B对地面恰好无压力时,B的速度为零,故C错误;根据牛顿第二定律,对A有F-mg=ma,F=mg,得a=0,故D错误。 8.如图所示,质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B,它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA=2OB=2l,将杆从水平位置由静止释放。(重力加速度为g) (1)在杆转动到竖直位置的过程中,杆对A球做了多少功? (2)在杆刚转到竖直位置的瞬间,杆对B球的作用力为多大?是推力还是拉力? 答案:(1)-mgl　(2)mg　推力 (1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒。设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB,杆旋转的角速度为ω,有 mg·2l-mgl=m+m vA=2lω vB=lω 对A球,由动能定理得 mg·2l+W=m-0 联立解得vB=,W=-mgl。 (2)转到竖直位置的瞬间,设杆对B球有向下的拉力F,根据向心力公式有 mg+F=m 解得F=-mg 负号表示杆对B球的作用力方向与假设方向相反,即向上,所以杆对B球的作用力为推力。 [B组　综合强化练] 9.(多选)如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑的轻定滑轮与直杆的距离为d,杆上的A点与定滑轮等高,杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A点由静止释放,不计一切摩擦阻力,下列说法正确的是(　　) A.环到达B点时,重物上升的高度为 B.环到达B点时,环与重物的速度大小相等 C.环从A到B,环减少的机械能等于重物增加的机械能 D.环能下降的最大高度为d CD 环到达B点时,重物上升的高度h=d-d=(-1)d,A错误;环到达B点时,环沿绳方向的分速度与重物速度大小相等,故环的速度大于重物的速度,B错误;因为环与重物组成的系统机械能守恒,所以环减少的机械能等于重物增加的机械能,C正确;设环能下降的最大高度为H,此时环与重物的速度均为零,重物上升的高度为h'=-d,由机械能守恒定律有,mgH=2mg(-d),解得H=d,D正确。 10.如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与地面垂直,一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时,对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. B 小物块由最低点到最高点,由机械能守恒定律得mv2=2mgr+m,小物块从轨道上端飞出做平抛运动,有x=v1t,2r=gt2,联立解得x=,由数学知识可知,当r=时,x最大,故选B。 11.(多选)如图所示,倾角为30°的光滑斜面上有一个质量为1 kg的物块,受到一个与斜面平行的大小为5 N的外力F作用,从A点由静止开始下滑30 cm后,在B点与放置在斜面底部的轻弹簧接触时立刻撤去外力F,物块压缩弹簧最短至C点,然后原路返回,已知B、C间的距离为20 cm,g取10 m/s2,下列说法中不正确的是(　　) A.物块经弹簧反弹后恰好可以回到A点 B.物块从A点运动到C点的过程中,克服弹簧 的弹力做功为4 J C.物块从A点运动到C点的过程中最大动能为3 J D.物块从A点运动到C点的过程中,物块与弹簧组成的系统机械能守恒 ACD 物块下滑的过程中,外力对物块做正功,系统的机械 能增大,所以物块经弹簧反弹后运动的最高点高于A 点,故A错误;物块从A点运动到C点的过程中,重力、 外力与弹簧的弹力做功,重力做的功WG=mg(+ )sin 30°=1×10×(0.3+0.2)×0.5 J=2.5 J,外力做 的功WF=F·=5×0.3 J=1.5 J,由于物块在A点和C点的速度都是零,动能的变化量为零,所以根据动能定理得W弹+WG+WF=0,可得弹力做的功为W弹=-2.5 J-1.5 J=-4 J,即克服弹簧的弹力做功为4 J,故B正确;物块到达B点时,外力与重力做的功为W1=(mgsin 30°+F)·=(1×10×0.5+5)×0.3 J=3 J,此时物块的动能为3 J,之后物块继续加速,动能增大,故C错误;物块从A点运动到C点的过程中外力F做功,故物块与弹簧组成的系统机械能不守恒,故D错误。 12.(2024·广东深圳高一校联考期中)如图所示,在长为L的轻杆的中点和端点处分别固定质量均为m的小球A、B,杆可绕轴O无摩擦转动,使杆从水平位置无初速度释放。(不计空气阻力,重力加速度为g) (1)当杆转到竖直位置时,小球A、B的速度大小分别 为多少? (2)在杆转到竖直位置的过程中,轻杆对A、B两球分 别做了多少功? 答案:(1)　　(2)-0.2mgL　0.2mgL (1)设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为vA和vB,轻杆与两个小球构成的系统机械能守恒。若取B在竖直位置时的最低点所在水平面为零重力势能参考平面,可得 mgL+mgL=m+m 又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同 故vB=2vA 解得vA=,vB=。 (2)根据动能定理 对于A有WA+mgL=m-0 所以WA=-0.2mgL 对于B有WB+mgL=m-0 所以WB=0.2mgL。 [C组　培优选做练] 13.如图所示,半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内,两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连,水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上,轻质弹簧被a、b两小球挤压,处于静止状态。同时释放两个小球,a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A,b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1,b球质量为m2,重力加速度为g。求: (1)a球离开弹簧时的速度大小va; (2)b球离开弹簧时的速度大小vb; (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。 答案:(1)　(2)2 (3)(m1+10m2)gR (1)由a球恰好能到达A点知 m1g=m1 由机械能守恒定律得 m1-m1=m1g·2R 解得va=。 (2)对于b球由机械能守恒定律得 m2=m2g·10R 解得vb==2。 (3)由机械能守恒定律得Ep=m1+m2 解得Ep=(m1+10m2)gR。 $$