第2章 专题强化5 水平面的圆周运动的临界问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（粤教版）

专题强化5　水平面的圆周运动的临界问题 第二章　圆周运动   [学习目标]　1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型,并会找出它们的临界条件(重点)。2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。   课时作业 巩固提升 内容索引 物体做圆周运动时,若物体的线速度大小、角速度发生变化,会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化,进而出现某些物理量或运动状态的突变,即出现临界状态。 1.水平面内的圆周运动常见的临界问题 (1)物体恰好(没有)发生相对滑动,静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面,物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂,绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直,绳子的张力恰好为0。 2.解题关键 (1)在圆周运动问题中,当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时,说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力,列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 [例1]　(多选)(2024·广东惠州校考)如图所示,用同种材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动。已知三物体质量的关系mA=mB=2mC,转动半径之间的关系是rC=rA=2rB,下列说法中正确的是(　　) A.物体A受到的摩擦力最大 B.物体B受到的摩擦力和C一样大 C.物体B的向心加速度最大 D.转台转速加快时,物体A比物体C先开始滑动 AB A、B、C三个物体的角速度相同,设角速度为ω,则三个物体受到的静摩擦力分别为 fA=mAω2rA fB=mBω2rB=mAω2rA fC=mCω2rC=mAω2rA=fB 所以物体A受到的摩擦力最大,物体B受到的摩擦力和C一样大,A、B正确;根据向心加速度a=ω2r,ω相同,B的半径r最小,则物体B的向心加速度最小,C错误;三个物体受到的最大静摩擦力分别为 fAm = μmAg fBm = fAm=μmAg fCm=μmCg=μmAg 当物体恰好滑动时,静摩擦力达到最大,有μmg=mω2r, 解得ω=,则物体B的临界角速度最大,物体A和物体C的临界角速度相等,则转台转速加快时,物体A和物体C同时开始滑动,D错误。 [例2]　(多选)某同学在课后设计开发了如图所示的 玩具装置。在水平圆台的中轴上O点固定一根结实 的细绳,细绳长度为l,细绳的一端连接一个小木箱,木 箱里放着一只玩具小熊,此时细绳与转轴间的夹角为 θ=53°,且恰好处于伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊(可视为质点)的总质量为m,木箱与水平圆台间的动摩擦因数μ=0.2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度为g,不计空气阻力。在可调速电动机的带动下,让水平圆台缓慢加速运动。则(　　) A.当圆台的角速度ω=时,细绳中无张力 B.当圆台的角速度ω=时,细绳中有张力 C.当圆台的角速度ω=时,圆台对木箱无支持力 D.当圆台的角速度ω=时,圆台对木箱有支持力 [答案]　ABC 细绳中恰好无张力时,静摩擦力达到最大值,静摩擦 力提供向心力,有μmg=mω2lsin θ,解得ω=,所以当 ω≤时,细绳中无张力,ω>时,细绳中有张力, 故A、B正确;圆台对木箱恰好无支持力时,有mgtan θ=mω2lsin θ,解得ω=,即当ω=时,圆台对木箱无支持力,故C正确,D错误。 [例3]　如图所示,AB为竖直转轴,在细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球,两绳能承受的最大拉力均为2mg。当AC和BC均拉直时∠ABC=90°,∠ACB=53°,BC=1 m。ABC能绕竖直轴AB匀速转动,因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时,两绳均会被拉断,则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时小球的速度大小分别为(g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)(　　) A.AC,5 m/s　　　　　　　 B.BC,5 m/s C.AC,5.24 m/s D.BC,5.24 m/s B 小球线速度增大时,BC逐渐被拉直,当线速度增至BC被拉直 时,在竖直方向上,对小球有TAsin 53°=mg,解得AC绳中的拉 力TA=,在水平方向,对小球由牛顿第二定律有TAcos 53° +TB=m,可知线速度增大时,TA不变而TB增大,所以BC绳先 断。当AC绳刚要被拉断时与竖直方向的夹角为α,对小球受力分析得TA'cos α-mg=0,TA'sin α=m,r'=sin α,TA'=2mg,解得α=60°,v=5 m/s,故选B。 [例4]　如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=60°,一条长度为L的绳(质量不计),一端固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点),小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动,重力加速度为g。求: (1)小球静止时所受拉力和支持力大小; (2)小球刚要离开锥面时的角速度; (3)小球以ω1=的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。 [答案]　(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0 (1)对小球受力分析可知 T=mgcos θ=mg FN=mgsin θ=mg。 (2)小球刚要离开锥面时FN=0,由重力和拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,有 mgtan θ=mr r=Lsin θ 解得ω0==。 (3)因为ω1=>ω0= 说明小球已离开锥面,FN=0 设绳与竖直方向的夹角为α,如图所示 则有T1sin α=mLsin α 解得T1=3mg。 课时作业 巩固提升 [A组　基础巩固练] 1.如图所示,半径为R的水平圆盘上放置两个相同的木块a和b,木块a放在圆盘的边缘处,木块b放在距圆心处,它们都随圆盘一起绕过圆盘中心的竖直轴转动,下列说法正确的是(　　) A.两木块的线速度大小相等 B.两木块的角速度相等 C.若圆盘转速逐渐增大,木块b将先滑动 D.若圆盘转速逐渐增大,木块a、b将同时滑动 B 两木块与圆盘一起转动,角速度相等,半径不等,根据v=ωr可知,a的线速度是b的线速度的2倍,选项A错误,B正确;根据F=mω2r可知,随着圆盘转速的增大,木块所需要的向心力也逐渐增大,且转动半径越大,需要的向心力越大,而两木块完全相同,与水平圆盘间的最大静摩擦力相同,故木块a先滑动,选项C、D错误。 2.如图所示,粗糙水平圆盘上,质量相等的A、B两物块叠放在一起,随圆盘一起做匀速圆周运动,则下列说法正确的是(　　) A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D.若B相对圆盘先滑动,则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB C 把A、B当成一个整体,在水平方向上只受摩擦 力作用,所以摩擦力即物块所受合外力,提供向 心力,摩擦力方向指向圆心,物块有沿半径向外 滑动的趋势,故A错误;物块做匀速圆周运动,向心力F=m,A、B质量相同,一起做匀速圆周运动的线速度、半径也相等,所以两者运动所需的向心力相等,故B错误;由受力分析可知B对A的摩擦力等于F,盘对B的摩擦力等于2F,故C正确;若B相对圆盘先滑动,则2μBmg-μAmg<μAmg,即μB<μA,故D错误。 3.(2024·广东深圳红岭中学高一校考)传统糖塑技艺为我们展现了中国非物质文化遗产的独特魅力,向人们生动传述着不朽的民间手艺与文化记忆。其中,甩糖是中国传统糖塑的重要表现形式之一,可简化成如图所示,糖丝AC、BC可视为细线,其一端系在竖直杆上,另一端共同系着质量为m的麦芽糖C。当系统绕竖直杆以角速度ω水平旋转时,两根细线均处于伸直状态,下列说法正确的是(　　) A.麦芽糖一定受到三个力作用 B.麦芽糖可能受两个力作用 C.增大角速度,细线AC的拉力减小,BC的拉力增加 D.增大角速度,细线AC的拉力增加,BC的拉力减小 B 由题意分析,竖直方向受力平衡,水平方向做圆周运动,所以麦芽糖一定受重力、细线AC的拉力,但是糖丝BC的拉力可能有也可能没有,故A错误,B正确;设细线AC与竖直方向的夹角为θ,细线BC与竖直方向的夹角为α,竖直方向满足FACcos θ=mg+FBCcos α,水平方向满足FACsin θ+FBCsin α=mω2r,可知随着角速度的增大,两细线的拉力均增大,故C、D错误。 4.(多选)(2024·广东广州高一检测)如图所示为一种圆锥筒状转筒,左右各系着一短一长的绳子并挂着相同的小球,转筒静止时绳子平行圆锥面,当转筒绕中心轴开始缓慢加速转动,不计空气阻力,则下列说法正确的是 (　　) A.角速度慢慢增大,绳长的球先离开圆锥筒 B.角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒 C.两球都离开圆锥筒后,两小球所处位置的高度相同 D.两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同 AC 设绳子与竖直方向的夹角为θ,小球刚好离开圆锥筒时,圆锥 筒对小球的支持力为0,有mgtan θ=mω2lsin θ,解得ω=, 绳子越长的球其角速度的临界值越小,越容易离开圆锥筒,故 A正确,B错误;两小球都离开圆锥筒后,小球都只受重力与绳子的拉力,两小球都随圆锥筒一起转动,有相同的角速度,小球的高度h=lcos θ,代入上式解得h=,故C正确;由以上分析可知,绳长的小球先离开圆锥筒,绳短的小球离开圆锥筒时,两绳与竖直方向的夹角不同,绳中拉力大小不同,故D错误。 5.(2022·广东惠州高一期中)如图所示,底面半径为R的平底漏斗水平放置,质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁,漏斗内表面光滑,侧壁的倾角为θ,重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0,使之在漏斗底面内做圆周运动,则(　　) A.小球一定受到两个力的作用 B.小球可能受到三个力的作用 C.当v0<时,小球对底面的压力为零 D.当v0=时,小球对侧壁的压力为零 B 对小球,由牛顿第二定律有 FN2sin θ=m FN1+FN2cos θ=mg 可知侧壁对小球的支持力FN2不可能为零,底面对小球的支持力FN1可能为零,所以小球可能受到三个力的作用,也可能受到两个力的作用,由牛顿第三定律可知,小球对侧壁的压力不可能为零,所以A、D错误,B正确;当v0<时,FN1=mg->0,由牛顿第三定律可知,当v0<时,小球对底面的压力不为零,故C错误。 6.(2023·广东汕头高一校考阶段练习)如图所示,长L=1 m的 细线OA一端吊着一个质量m=0.4 kg的小球(视为质点),另 一端系于竖直杆顶端O点,使小球在水平面内绕竖直杆做 匀速圆周运动,重力加速度大小g取10 m/s2,sin 37°=0.6。 (1)求当小球转动的角速度ω=2 rad/s时,细线OA与竖直方向的夹角θ。 (2)若在竖直杆底端O'点与小球间系一长L'=0.6 m的细线O'A,让竖直杆带动小球转动,当O'A被拉直时,O'A恰好与OO'垂直,细线能承受的最大拉力大小F=21 N,求小球转动的最大角速度ωmax。 答案:(1)60°　(2)10 rad/s (1)当小球转动的角速度ω=2 rad/s时,由牛顿第二定律可得 mgtan θ=m·Lsin θ·ω2 解得细线OA与竖直方向的夹角为θ=60°。 (2)O'A被拉直时,O'A恰好与OO'垂直,可知细线OA与竖直方向夹角满足 sin α== 解得α=37° 竖直方向由平衡条件可得Tcos α=mg 解得细线OA上的拉力恒为T=5 N 水平方向由牛顿第二定律可得Tsin α+F=mL' 解得ωmax=10 rad/s。 [B组　综合强化练] 7.如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B,它们分居圆心两侧,质量均为m,与圆心距离分别为RA=r,RB=2r,与盘间的动摩擦因数μ相同,重力加速度为g,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,下列说法正确的是(　　) A.此时细线张力为T=4μmg B.此时圆盘的角速度为ω= C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D.若此时烧断细线,A仍相对圆盘静止,B将做离心运动 B A和B随着圆盘转动时,合外力提供向心力,则F= mω2R,B的运动半径比A的半径大,所以B所需向 心力大,细线拉力相等,所以当圆盘转速加快到 两物体刚好还未发生滑动时,B的静摩擦力方向沿半径指向圆心,A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外,对物体A、B,根据牛顿第二定律分别得T-μmg=mω2r,T+μmg=mω2·2r,解得T=3μmg,ω=,此时A所需的向心力大小为FA=mω2r=2μmg,B所需的向心力大小为FB=mω2·2r=4μmg,若此时烧断细线,A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力,则A、B均做离心运动,故B正确,A、C、D错误。 8.(2024·广东东莞高一校考)如图所示,为游乐场中的水平大转盘简化图,两个质量不同的同学,穿着同样的校服,坐在转盘中,到转盘中心的距离r不同,转盘绕竖直轴转动,当转盘从静止开始逐渐增大转速的过程中(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),下列判断正确的是(　　) A.质量小的先被甩出去, 与所坐的位置无关 B.距转盘中心远的先被甩出去,与质量无关 C.如果两人拉起手来, 则两人都更容易被甩出去 D.如果两人拉起手来, 则两人都更不容易被甩出去 B 由于两人穿着同样的校服,表明两人与转盘间的动 摩擦因数相同,当人随转盘转动过程中,由静摩擦力 提供向心力,则f=mω2r,又最大静摩擦力fmax=μFN= μmg,联立得,人能够与转盘保持相对静止的最大角速度ω=,可知人被甩出去的先后情况与质量无关,距离转盘中心越近的人与转盘保持相对静止的最大角速度越大,即距转盘中心远的先被甩出去,与质量无关,A错误,B正确;两人拉起手来后,随角速度的增大,距离转盘中心远的先达到最 大静摩擦力,随后人手拉紧,施加拉力,当距离转盘中心近的人的摩擦力达到最大静摩擦力时,角速度达到人能够与转盘保持相对静止的最大角速度,则在手施加拉力后,对距离远的人有T+μm1g=m1ω'2r1,对距离近的人有μm2g-T=m2ω'2r2,解得ω'=>,ω'=<,如果两人拉起手来,距离转盘中心远的人更不容易被甩出去,距离转盘中心近的人更容易被甩出去,C、D错误。 9.(多选)(2024·广东实验中学高一模拟)如图甲所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线竖直,母线与轴线之间夹角为θ,一条长度为l的轻绳,一端固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小球(可看作质点),圆锥静止时,轻绳平行圆锥面,小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动,细线拉力F随ω2变化关系如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2,由图乙可知(　　) A.绳长为l=2 m B.小球质量为0.5 kg C.母线与轴线之间夹角θ=30° D.小球的角速度为2 rad/s时,小球已离开锥面 AB 当小球将要离开锥面时,分析小球受力得Fsin θ=mω2lsin θ,即F=mlω2,由题图乙可知,ml=1,当小球未离开锥面时,分析小球受力得,水平方向上有Fsin θ-FNcos θ=mω2lsin θ,竖直方向上有Fcos θ+FNsin θ=mg,二式联立可得F=mlω2sin2θ+mgcos θ,则k=mlsin2θ=,mgcos θ=4 N,所以θ=37°,m=0.5 kg, l = 2 m,A、B正确,C错误;由题图乙可知,当ω=2 rad/s时,小球没离开锥面,D错误。 [C组　培优选做练] 10.(2024·广东广州高一检测)如图所示,两绳系一质量m=0.1 kg的小球,上面绳长L=2 m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°,(g取10 m/s2)问: (1)球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧? (2)当角速度为3 rad/s时,上、下两绳的拉力分别为多大? 答案:(1)2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s　(2)0.27 N　1.08 N (1)当AC绳拉直但没有力的作用时,即T1=0时,由重力和绳BC的拉力T2的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,有mgtan 45°=mr 其中r=Lsin 30° 解得ωmax≈3.16 rad/s 当T2恰为零时,根据牛顿第二定律,有 mgtan 30°=mr 解得ωmin≈2.40 rad/s 所以当2.40 rad/s≤ω ≤3.16 rad/s时,两绳始终张紧。 (2)当ω=3 rad/s时,两绳均处于张紧状态,此时小球受mg、T1、T2三力作用,如图所示,正交分解后可得,   水平方向:T1sin 30°+T2sin 45°=mω2Lsin 30° 竖直方向:T1cos 30°+T2cos 45°=mg 代入数据后解得T1≈0.27 N,T2≈1.08 N。 $$