5.2.2同角三角函数的基本关系 导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学案 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系. 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.　　 　 情境导入 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，＝tan α.能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α间的联系？它们之间到底有什么样的联系，让我们一起去探索发现！ 新知探究 知识点一　同角三角函数的基本关系 问题引导 　我们上一节课学习了三角函数的定义，知道若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，根据x2＋y2＝1，你能得到角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 提示：sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝1，＝＝tan α. 知识点总结 1.同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z). 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 2.公式变形与常用结论 公式变形：sin2α＋cos2α＝1 ⇒ tan α＝⇒ 常用结论：x∈(0，)，sin x＜x＜tan x. 典例探究 例1(链接教材P183例6)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 解：∵cos α＝－<0， ∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时，则 sin α＝＝ ＝， tan α＝＝＝－. 当α是第三象限角时，则 sin α＝－＝－，tan α＝. 1.已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 2.若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 变式训练 1.已知α∈(π，)，tan α＝2，求cos α的值. 解：由已知得 由①得sin α＝2cos α代入②得 4cos2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝， 又α∈(π，)，∴cos α<0， ∴cos α＝－. 知识点二　利用同角三角函数的关系化简 典例探究 例2化简－. 解：－ ＝ ＝＝＝－2tan2α. 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的. 变式训练 2.化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 解：原式＝＋(1＋)cos2α＝＋·cos2α＝1＋1＝2. 思维提升 　三角恒等式的证明 例3　求证：＝. 证明：法一：左边 ＝ ＝＝ ＝＝右边. 所以等式成立. 法二：右边＝＝ ＝ ＝＝左边. 所以等式成立. 证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等； (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 变式训练 3.求证：＝. 证明：左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边. 所以原等式成立. 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. 课堂练习 1.下列四个结论中可能成立的是(　　) A.sin α＝且cos α＝ B.sin α＝0且cos α＝－1 C.tan α＝1且cos α＝－1 D.α是第二象限角时，tan α＝－ 解析：B　根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，所以B成立，而A，C，D都不成立. 2.已知cos α＝－，α∈(π，)，则sin α＝　　　　. 解析：sin2α＝1－cos2α＝1－(－)2＝，sin α＝±.∵α∈(π，)，∴sin α＝－. 答案：－ 3.化简：(1＋tan2α)·cos2α＝　　　　. 解析：(1＋tan2α)·cos2α ＝(1＋)·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1. 答案：1 4.已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为　　　　. 解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α， 将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1， 所以cos2α＝，易知cos α<0， 所以cos α＝－，sin α＝， 故sin α＋cos α＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2　同角三角函数的基本关系 学案 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系. 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.　　 　 情境导入 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，＝tan α.能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α间的联系？它们之间到底有什么样的联系，让我们一起去探索发现！ 新知探究 知识点一　同角三角函数的基本关系 问题引导 　我们上一节课学习了三角函数的定义，知道若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，根据x2＋y2＝1，你能得到角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 知识点总结 1.同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z). 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 2.公式变形与常用结论 公式变形：sin2α＋cos2α＝1 ⇒ tan α＝⇒ 常用结论：x∈(0，)，sin x＜x＜tan x. 典例探究 例1(链接教材P183例6)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 1.已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 2.若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 变式训练 1.已知α∈(π，)，tan α＝2，求cos α的值. 知识点二　利用同角三角函数的关系化简 典例探究 例2化简－. 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的. 变式训练 2.化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 思维提升 　三角恒等式的证明 例3　求证：＝. 所以等式成立. 证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等； (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 变式训练 3.求证：＝. 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. 课堂练习 1.下列四个结论中可能成立的是(　　) A.sin α＝且cos α＝ B.sin α＝0且cos α＝－1 C.tan α＝1且cos α＝－1 D.α是第二象限角时，tan α＝－ 2.已知cos α＝－，α∈(π，)，则sin α＝　　　　. 3.化简：(1＋tan2α)·cos2α＝　　　　. 4.已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$