专题03 平行线拐点问题（3题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（山西专用）

专题03 平行线的拐点问题 题型概览 题型01平行线模型——猪蹄模型 题型02平行线模型——铅笔模型 题型03平行线模型——靴子模型 ( 题型01 ) 平行线模型——猪蹄模型 1. （2023春•交城县期中）如图，已知，若，则的度数为 　　． 2. （2024春•朔州期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． “猪蹄模型”巧解复杂题目 观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形抽象地称为“猪蹄模型”．猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，，为，之间的一点，连接，，可以得到． 证明：如图2，过点作． ，（依据， （依据，， ． 拓展应用：如图3，，平分，将线段沿方向平移至．若，平分，求的大小． 任务： （1）材料中的依据1是指：　 　，依据2是指：　　 ． （2）根据材料提供的方法，直接写出拓展应用的结果． 3. （2024春•运城期中）综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知直线，在三角板中，，，将其顶点放在直线上，并使直线于点，与直线交于点．试说明直线． （1）请解答老师提出的问题． 操作探究： （2）如图2，将图1中的三角板的顶点放在两平行线之间，与直线交于点，得到，与直线交于点，得到． 试探究与的数量关系，并说明理由． 下面是小明同学不完整的解答过程，请你补充完整． 解：．理由如下： 如图5，过点作直线，则 　 　． 因为直线， 所以直线 　 　． 所以 　 　 　　 ． 因为 　 　，， 所以． 深入探究： （3）如图3，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使他们分别平分和的对顶角，请直接写出的度数． （4）如图4，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使平分的对顶角，．若，请直接写出的度数． ( 题型02 ) 平行线模型——铅笔模型 1. （2022春•左权县期中）如图，已知，若按图中规律继续下去，则　　 A． B． C． D． 2. （2023春•灵丘县期中）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是　 　． 3. （2024春•左权县期中） 综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则　 　； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点，求的度数． ( 题型03 ) 平行线模型——靴子模型 1. （2024秋•忻州期中）已知：如图，，，，则　 　度． 2. （2023秋•永济市期中）综合与探究 已知直线，为平面内一点，连接，． （1）如图1，点在两平行线之间，请直接写出，和之间的数量关系． （2）如图，点在直线的上方． ①如图2，试探究，和的数量关系，并说明理由． ②如图3，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，试探究和的数量关系，并说明理由． 3. （2022春•盂县期中）（1）问题发现：如图1，已知点，分别在直线，上，且，若，，则的度数为　 　； （2）拓展探究：，，之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明； 答：　 　． 证明：过点作， 　 　， ，，（辅助线的作法） 　 　， 　 　， 　 　． （3）深入探究：如图2，的平分线所在直线与的平分线相交于点，试探究与之间的数量关系，请直接写出你的结论． 1. （2024春•杏花岭区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 2. （2022春•兴县校级期中）如图，，则图中，，三者之间的关系是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•盐湖区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由． 小铭同学发现，并给出了部分理由． 如图1，过点作， 因为，， 所以， ； （1）请将上面的说理过程补充完整； （2）如图2，若，，．则 　 　； 【方法运用】 （3）如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线的拐点问题 题型概览 题型01平行线模型——猪蹄模型 题型02平行线模型——铅笔模型 题型03平行线模型——靴子模型 ( 题型01 ) 平行线模型——猪蹄模型 1. （2023春•交城县期中）如图，已知，若，则的度数为 　　． 【分析】过点作，则，根据可得，据此可判定，进而可得，然后根据平行线的性质可求出的度数． 【解答】解：过点作， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 2. （2024春•朔州期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． “猪蹄模型”巧解复杂题目 观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形抽象地称为“猪蹄模型”．猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，，为，之间的一点，连接，，可以得到． 证明：如图2，过点作． ，（依据， （依据，， ． 拓展应用：如图3，，平分，将线段沿方向平移至．若，平分，求的大小． 任务： （1）材料中的依据1是指：　 　，依据2是指：　　 ． （2）根据材料提供的方法，直接写出拓展应用的结果． 【分析】（1）根据平行公理好平行线的性质解答即可； （2）过点作，根据第（1）问的思路解得即可． 【解答】解：（1）材料中的依据1是指：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行； 依据2是指：两直线平行，内错角相等． 故答案为：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等． （2）过点作． ．， ． 3. （2024春•运城期中）综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知直线，在三角板中，，，将其顶点放在直线上，并使直线于点，与直线交于点．试说明直线． （1）请解答老师提出的问题． 操作探究： （2）如图2，将图1中的三角板的顶点放在两平行线之间，与直线交于点，得到，与直线交于点，得到． 试探究与的数量关系，并说明理由． 下面是小明同学不完整的解答过程，请你补充完整． 解：．理由如下： 如图5，过点作直线，则 　 　． 因为直线， 所以直线 　 　． 所以 　 　 　　 ． 因为 　 　，， 所以． 深入探究： （3）如图3，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使他们分别平分和的对顶角，请直接写出的度数． （4）如图4，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使平分的对顶角，．若，请直接写出的度数． 【分析】（1）根据垂直定义得出，再由平行线的判定即可证明； （2）根据题干中给出的证明过程，结合图形即可证明； （3）过先作，根据平行线的性质及角平分线的计算求解即可； （4）过先作，根据平行线的性质及角平分线的计算求解即可． 【解答】解：（1）直线于点， ， ， ， 直线； （2）过点作直线，则． 因为直线， 所以直线（平行于同一条直线的两条直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为，， 所以； 故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等；； （3）过先作，如图所示： ， ，， 、分别平分和的对顶角， ， 由（2）得， ； （4）过点作，如图所示： ， ，， 平分对顶角，， ，， 由（2）得， ， ． ( 题型02 ) 平行线模型——铅笔模型 1. （2022春•左权县期中）如图，已知，若按图中规律继续下去，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据第1个图形，第2个图形，第3个图形，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：． 故选：． 2. （2023春•灵丘县期中）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是　 　． 【分析】分别过点，作的平行线，，进而利用同旁内角互补可得的大小． 【解答】解：如图，根据题意可知： ， 分别过点，作的平行线，， 所以， 则， ， ， ， ． 故答案为． 3. （2024春•左权县期中） 综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则　 　； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，据此可得出，进而可求出的度数； （2）过点作，由平行线的性质得，，再根据角的和差求解即可； （3）过点作，根据角平分线定义及平行线的性质求出，．再根据角的和差求解即可． 【解答】解：（1）解：如图②，过点作， ， ， ，， ， 即：， ，， ， 故答案为：70； （2）如图③，过点作， ． ，， ． ． ； （3）是的平分线，是的平分线， ，． 如图④，过点作， ， ，， ． ． ． ( 题型03 ) 平行线模型——靴子模型 1. （2024秋•忻州期中）已知：如图，，，，则　 　度． 【分析】根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：， ， ，， ， ， 故答案为：30． 2. （2023秋•永济市期中）综合与探究 已知直线，为平面内一点，连接，． （1）如图1，点在两平行线之间，请直接写出，和之间的数量关系． （2）如图，点在直线的上方． ①如图2，试探究，和的数量关系，并说明理由． ②如图3，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，试探究和的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过点作，则，根据平行线性质得，，由此可得，和之间的数量关系； （2）①过点作，则，根据平行线性质得，，由此可得，和的数量关系； ②延长到，延长到，根据角平分线定义设，，则，，，，，，由①的结论得，，由此可得和的数量关系． 【解答】解：（1），和之间的数量关系是：，理由如下： 过点作，如图1所示： ， ， ，， ； （2）①，和的数量关系是：，理由如下： 过点作，如图2所示： ， ， ，， ； ②和的数量关系是：，理由如下： 延长到，延长到，如图3所示： 平分，平分， 设，， 则，， ，，，， 由①的结论得：，， ，， ． 3. （2022春•盂县期中）（1）问题发现：如图1，已知点，分别在直线，上，且，若，，则的度数为　 　； （2）拓展探究：，，之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明； 答：　 　． 证明：过点作， 　 　， ，，（辅助线的作法） 　 　， 　 　， 　 　． （3）深入探究：如图2，的平分线所在直线与的平分线相交于点，试探究与之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【分析】（1）如图1，过作，根据平行线的性质可得，，相加可得结论； （2）由（1）知：，，则，两式相加可得； （3）如图2，根据角平分线的定义得：，，由三角形的外角的性质得：，计算并结合（2）的结论可得结果． 【解答】解：（1）如图1，过作， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）， 证明：过点作， （两直线平行，内错角相等）， ，，（辅助线的作法） （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；． （3）， 理由是：如图2，平分，平分， ，， 中，， ． 1. （2024春•杏花岭区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】如图所示，过点作，过点作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到． 【解答】解：如图所示，过点作，过点作， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 2. （2022春•兴县校级期中）如图，，则图中，，三者之间的关系是　　 A． B． C． D． 【分析】延长交直线于，根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出，代入求出即可． 【解答】解：如图，延长交直线于， ， ， ， ， 故选：． 3. （2023春•盐湖区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由． 小铭同学发现，并给出了部分理由． 如图1，过点作， 因为，， 所以， ； （1）请将上面的说理过程补充完整； （2）如图2，若，，．则 　 　； 【方法运用】 （3）如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【解答】解：（1）如图1，过点作， ，， ， ，， ； （2）如图2，过点作， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：71； （3），理由如下： 如图3，过点作， ， ，， ， ， ； （4）如图4， 由（2）知，， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 在四边形中，， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$