第6章 专题强化6 水平面内的圆周运动的临界问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教版）单选

专题强化6　水平面内的圆周运动的临界问题 第六章　圆周运动 [学习目标]　 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型,并会找它们的临界条件(重点)。 2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。 课时作业 巩固提升 类型1　与摩擦力有关的临界问题 类型2　与弹力有关的临界问题 内容索引 巩固演练 举一反三 类型1　与摩擦力有关的临界问题 一 4 1.物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力,如果只是摩擦力提供向心力,则有Ff=,静摩擦力的方向一定指向圆心。 2.如果除摩擦力外还有其他力,如绳两端连接物体,其中一个物体竖直悬挂,另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动,此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心)。 [例1]　如图所示,水平圆盘绕过圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动,A、B、C三个小木块放置在圆盘上面的同一直径上,已知A、B和C的质量均为m,三个小木块与圆盘间的动摩擦因数均为μ,O与A、O与B、B与C之间的距离均为L。若圆盘从静止开始缓慢加速,A、B、C均和圆盘保持相对静止,重力加速度为g,设滑动摩擦力等于最大静摩擦力,则下列说法中正确的是(　　) A.圆盘转速增大到某一值时,A、B两木块将同时向圆心滑动 B.随着角速度ω的不断增大,木块打滑的顺序依次是A、B、C C.若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来,则当圆盘转动的角速度大于时,A、B将一起滑动 D.若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来, 则当圆盘转动的角速度大于时,B将滑动 [答案]　D [解析]　已知A、B和C的质量均为m,三个小木块与 圆盘间的动摩擦因数均为μ,O与A、O与B、B与C之 间的距离均为L,由牛顿第二定律可知μmg=mL, μmg=mL,μmg=m×2L,可得A、B和C的临界角速度分别为ωA= ,ωB= ,ωC= ,即ωA=ωB>ωC,其中ω=2πn,故圆盘转速增大到某一值时,A、B两木块将同时背离圆心做离心滑动,随着角速度ω的不断增大,木块C最先滑动,然后是A、B一起滑动,故A、B错误;若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来,则当圆盘转动的角速度为ω=时,A需 要的向心力为FA=mLω2=2μmg=FTA+μmg,FB'=mLω2 =2μmg=FTB+μmg,可见A、B的摩擦力同时达到最大 值后,角速度继续增大时FTA=FTB,即轻绳达到最大限 度断裂之前,A、B与圆盘不会相对滑动,故C错误;若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来,则当圆盘转动的角速度ω=>ωC=时,对B由牛顿第二定律有-FT=mLω2,对C由牛顿第二定律有μmg+FT=m×2Lω2,联立解得=μmg,即当ω>时B将滑动,故D正确。 [例2]　如图,用细绳一端系着的质量为M=0.6 kg的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3 kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2 m。若A与转盘间的动摩擦因数μ=,为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。(g取10 m/s2)   [答案]　 rad/s≤ω≤ rad/s [解析]　因为小球一直保持静止,所以细绳的拉力始终等于小球的重力。当物体A欲向外运动时转盘角速度最大,根据牛顿第二定律有mg+Ff=MR Ff=μMg 联立解得 ω1= rad/s 由于μMg<mg 当物体A欲向里运动时转盘角速度最小,根据牛顿第二定律有 mg-Ff=MR 联立解得ω2= rad/s 所以角速度的范围为 rad/s≤ω≤ rad/s。 二 类型2　与弹力有关的临界问题 13 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 [例3]　如图所示,装置BO'O可绕竖直轴O'O转动,两轻细线与可视为质点的小球A连接后分别系于B、C两点,装置静止时小球A与B点间的细线1水平,小球A与C点间的细线2与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1 kg,细线2长L=1 m,B点距C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=,cos 37°=) (1)若装置以一定的角速度匀速转动时,细线1水平且张力恰为0,求细线2的拉力大小; (2)若装置匀速转动的角速度ω1=3 rad/s,求细线1与2的拉力大小; (3)若装置匀速转动的角速度ω2=6 rad/s,求细线1与2的拉力大小。 [答案]　(1)12.5 N　(2)2.1 N　12.5 N　(3)11.6 N　36 N [解析]　(1)细线1水平且张力恰为0,对小球受力分析可得T== N =12.5 N。 (2)当细线1上的张力为0时,小球的重力和细线2张力的合力提供小球做圆周运动的向心力,有 mgtan 37°=mω2Lsin 37° 解得ω=== rad/s 由于ω1<ω,则细线1上有拉力,为T1,细线2上的拉力为T2。根据牛顿第二定律得T2cos 37°=mg T2sin 37°-T1=mLsin 37° 解得T2=12.5 N,T1=2.1 N。 (3)角速度逐渐增大,细线2与竖直方向夹角增大,因B点距C点的水平和竖直距离相等,当细线2与竖直方向的夹角为53°时,细线1竖直,此时的角速度为ω',则 mgtan 53°=mω'2Lsin 53° 解得ω'= rad/s 由于ω2=6 rad/s> rad/s,当ω2=6 rad/s时,细线1在竖直方向绷直,仍然由细线2上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力T2'sin 53°=mLsin 53° T2'cos 53°-mg-T1'=0 解得T2'=36 N,T1'=11.6 N。 [例4]　如图所示,水平转台上有一个质量m=2 kg的小物块,用长L=0.5 m的细线将物块连接到转轴上,此时细线恰好绷直无拉力,细线与竖直转轴的夹角θ=37°,物块与转台间的动摩擦因数μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,现使转台由静止开始逐渐加速转动。g取10 m/s2,sin 37° =0.6,cos 37°=0.8。 (1)当细线刚好出现拉力时,转台角速度ω1为多大? (2)当物块刚要离开转台时,转台角速度ω2为多大? (3)当转台角速度为ω3= rad/s时,细线的拉力为多大? [答案]　(1) rad/s　(2)5 rad/s　(3)10 N [解析]　(1)由题意可知,当细线刚好出现拉力时,静摩擦力提供向心力,物块所受的最大静摩擦力大小为 fm=μmg=10 N 根据牛顿第二定律有fm=mr=mLsin θ 解得ω1= rad/s。 (2)物块刚要离开转台时,转台对物块的支持力恰好为零,水平方向,根据牛顿第二定律有 Tsin 37°=mLsin 37° 竖直方向,根据平衡条件有Tcos 37°=mg 联立解得ω2=5 rad/s。 (3)由于 rad/s< rad/s<5 rad/s 物块受力分析如图所示, 水平方向有T'sin θ+f=mLsin θ 竖直方向有T'cos θ+N=mg 其中f=μN 联立解得T'=10 N。 方法总结 处理水平面内圆周运动临界问题时的两点注意 1.确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态出现的条件,并以数学形式表达出来。 2.选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,对于不同的运动过程或现象,要分别选择相对应的物理规律,然后再列方程求解。 三 巩固演练 举一反三 24 1.如图所示,底面半径为R的平底漏斗水平放置,质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁,漏斗内表面光滑,侧壁的倾角为θ,重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0,使之在漏斗底面内做圆周运动,则(　　) A.小球一定受到两个力的作用 B.小球可能受到三个力的作用 C.当v0< 时,小球对底面的压力为零 D.当v0= 时,小球对侧壁的压力为零 B 解析:对小球,由牛顿第二定律有FN2sin θ=m,FN1+FN2cos θ=mg,可知侧壁对小球的支持力FN2不可能为零,底面对小球的支持力FN1可能为零,所以小球可能受到三个力的作用,也可能受到两个力的作用,由牛顿第三定律可知,小球对侧壁的压力不可能为零,故A、D错误,B正确;当v0< 时,FN1=mg->0,由牛顿第三定律可知,当v0< 时,小球对底面的压力不为零,故C错误。 2.(2024·山东潍坊阶段练习)如图甲所示为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施,简化模型如图乙,魔盘侧面与水平面的夹角为θ。质量为m的游客随魔盘以角速度ω一起转动,半径为r,已知重力加速度大小为g,则游客(　　) A.受到重力、支持力、摩擦力、向心力四个力的作用 B.受到的支持力一定小于mgcos θ C.受到的摩擦力可能小于mgsin θ D.受到魔盘作用力的大小为mω2r B 解析:游客受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用,向心力是效果力,不是游客受到的力,故A错误;对游客受力分析,如图所示, 根据牛顿第二定律可得fcos θ-Nsin θ=mω2r,fsin θ+Ncos θ=mg,所以N=mgcos θ-mω2rsin θ,f=mgsin θ+mω2rcos θ,即游客受到的支持力一定小于mgcos θ,受到的摩擦力大于mgsin θ,故B正确,C错误;重力和魔盘作用力的合力提供向心力,游客受到魔盘作用力的大小为F= =,故D错误。 3.如图所示,A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上,物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),三个物体的质量分别为2m、m、m,它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时,若A、B、C三个物体均相对圆盘静止,则下列说法正确的是(　　) A.A的向心加速度最大 B.B和C所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时,C比A先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时,B比A先滑动 C 解析:A、B、C三个物体角速度相同,an=ω2r,则物体C的向心加速度最大,选项A错误;摩擦力提供向心力,FfB=mω2R,FfC=mω2·(2R),物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力,选项B错误;物体恰好滑动时,kmg=mω2r,ω=,故滑动的临界角速度与质量无关,r越大,临界角速度越小,故物体C先滑动,A、B同时滑动,选项C正确,D错误。 4.2023年3月23日,山西省考古研究院发布消息,考古专家证实山西运城董家营西汉墓出土墨书题铭陶罐,从中可以窥见汉代河东地区丰富多样的饮食生活。现有一半径R= m的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合,如图所示。转台静止不转动时,将一质量m=0.3 kg的物块(视为质点)放入陶罐内,物块恰能静止于陶罐内壁的A点,且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO'的夹角θ=37°。重力加速度大小g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。   (1)求物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数μ; (2)若物块位于与O点等高的陶罐上且与陶罐一起绕OO'轴转动,求转台转动的最小角速度ωmin。 答案:(1)0.75　(2)2 rad/s 解析:(1)对物块受力分析,由平衡条件有 mgsin θ=μmgcos θ 解得μ=0.75。 (2)物块与陶罐一起绕OO'轴转动,设平台转动的角速度最小时,物块所受摩擦力和弹力大小分别为Ff和FN,有 Ff=mg Ff=μFN FN=mR 解得ωmin=2 rad/s。 四 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1.一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动,角速度恒定,则(　　) A.杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B.杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心 C.杯子离转盘中心越近越容易做离心运动 D.若给杯子中加水,杯子更容易做离心运动 B 解析:杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力,向心力不是物体的实际受力,故A错误;杯子做匀速圆周运动,向心力由摩擦力提供,始终指向转盘中心,故B正确;杯子做匀速圆周运动,Fn=Ff=mω2r,离转盘中心越近,所需向心力越小,越不容易达到最大静摩擦力,越不容易做离心运动,故C错误;根据Ff=mω2r≤μmg可知,给杯子中加水,不会影响杯子做离心运动的临界角速度大小,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2.(2024·黑龙江大庆期中)某同学用硬塑料管和铁质螺丝帽研究匀速圆周运动。如图所示,该同学将螺丝帽套在塑料管上,手握塑料管使其保持竖直并在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。下列分析正确的是(　　) A.若塑料管转动速度增大,螺丝帽受到的摩擦力增大 B.当螺丝帽恰好不下滑时,手转动塑料管的角速度ω= C.若塑料管的转动速度持续增大,螺丝帽最终会沿塑料管上滑 D.若塑料管的转动速度持续增大,地面对人的支持力始终不变 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 D 解析:若塑料管转动速度增大,螺丝帽受到的摩擦力不变,等于重力,螺丝帽不会沿塑料管上滑,A、C错误;当螺丝帽恰好不下滑时,根据牛顿第二定律得FN=mω2r,根据平衡条件得μFN=mg,解得ω= ,B错误;因系统无竖直方向加速度,无论转速多大,地面对人的支持力都等于系统总重力,D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3.(2024·江苏常州期末)如图所示,粗糙水平圆盘上,质量相等的A、B两物块叠放在一起,随圆盘一起做匀速转动,A、B间的动摩擦因数μA大于圆盘与B间的动摩擦因数μB,则下列说法正确的是(　　) A.A、B都有沿切线方向向后滑动的趋势 B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C.圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D.缓慢增加圆盘转动的角速度,A可能从B上滑出 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 C 解析:A、B所受静摩擦力指向圆心,则两物块都有沿半径方向向外滑动的趋势,选项A错误;根据F向=mω2r可知,B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力,选项B错误;对A、B整体分析fB=2mω2r,对A分析fA=mω2r,即圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍,选项C正确;对A、B整体,当将要产生滑动时μB·2mg=2mr,对A,当将要产生滑动时μA·mg=mr,因为μA>μB,则ω2>ω1,即缓慢增加圆盘转动角速度,B先产生滑动,选项D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 4.如图所示,正方形框ABCD竖直放置,两个完全相同的小球P、Q分别穿在方框的BC、CD边上,当方框绕AD轴匀速转动时,两球均恰与方框保持相对静止且位于BC、CD边的中点。已知两球与方框之间的动摩擦因数相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则两球与方框间的动摩擦因数为(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:设方框边长为l,小球质量为m,对P球,根据牛顿第二定律可得μmω2l=mg,对Q球,根据牛顿第二定律可得μmg=mω2,联立解得μ=,故选B。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 5.如图所示,有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘,上面放置一劲度系数k=68 N/m的弹簧,弹簧的一端固定于轴O上,另一端连接质量m=1.0 kg 的小物块A,物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.20,开始时弹簧未发生形变,长度l0=0.50 m,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2,弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘,则(　　) A.当圆盘转动的周期为2π s时,物块A开始滑动 B.当圆盘角速度缓慢地增加到6.0 rad/s时,弹簧 的伸长量为1.0 m C.在角速度从零缓慢地增加到2 rad/s过程中,物 块与盘间摩擦力为静摩擦力,其静摩擦力大小Ff与角速度ω2成正比 D.当ω>2 rad/s时,物块与盘间摩擦力为滑动摩擦力,其滑动摩擦力大小Ff与角速度ω2成正比 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 C 解析:设圆盘的角速度为ω0时,物块A将开始滑动, 此时物块的最大静摩擦力提供向心力,则有μmg= ml0,解得ω0= =2 rad/s,可得对应的周期为 T==π s,故A错误;当ω=6.0 rad/s时,设弹簧的伸长量为Δx,物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力,则有μmg+kΔx=mω2(l0+Δx),代入数据解得Δx=0.5 m,故B错误;在角速度从零缓慢地增加到2 rad/s过程中,物块与盘间摩擦力为静摩擦力,Ff=mω2l0,可得Ff∝ω2,故C正确;当ω>2 rad/s时,物块与盘间摩擦力为滑动摩擦力为定值,为f=μmg=2 N,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点,如图所示,当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,绳a与水平方向成θ角,绳b在水平方向且长为l,则下列说法正确的是(　　) A.a绳的张力随角速度的增大而增大 B.当角速度ω> ,b绳将出现弹力 C.若角速度足够大,a绳的张力可能为零 D.若b绳突然被剪断,则a绳的弹力一定发生变化 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:小球做匀速圆周运动,在竖直方向上的合力为零,故Fasin θ=mg,解得Fa=,可知a绳的拉力不变,故A、C错误;当b绳拉力为零时,有=mlω2,解得ω=,当角速度ω> 时,a绳水平方向的分力不足以提供向心力,此时b绳出现弹力,故B正确;由于b绳可能没有弹力,故b绳突然被剪断时,a绳的弹力可能不变,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 7.如图所示,水平转台上的小物体a、b(可视为质点)通过轻弹簧连接,并静止在转台上,现从静止开始缓慢地增大转台的转速(即在每个转速下均可认为是匀速转动),已知a、b的质量分别为m、2m,a、b与转台间的动摩擦因数均为μ,a、b离转台中心的距离都为r,且与转台保持相对静止,已知弹簧的原长为r,劲度系数为k,重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是(　　) A.物体a和b同时相对转台发生滑动 B.当a受到的摩擦力为0时,b受到的摩擦力背离圆心 C.当b受到的摩擦力为0时,a受到的摩擦力指向圆心 D.当a、b均相对转台静止时,允许的最大角速度为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 D 解析:发生相对滑动前,静摩擦力和弹簧的弹力的合力充当向心力,当刚好要滑动时,摩擦力达到最大静摩擦力,有kr+μmg=mω2r 可得ω= 故随着转台转速增大,质量大的物体先达到临界角速度, 故b先相对转台发生滑动,故A错误; 当a受到的摩擦力为0时,弹簧弹力充当a的向心力,b质量较大,根据公式Fn=mω2r可知,b需要更大的向心力,所以弹簧弹力与静摩擦力的合力充当b的向心力,所以b受到的摩擦力指向圆心,故B错误; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 根据B选项的分析知,当b受到的摩擦力为0时,弹簧弹力充当b的向心力,弹簧弹力与静摩擦力的合力充当a的向心力,a质量较小,故需要的向心力小,所以a受到的摩擦力背离圆心,故C错误; 由选项A的分析可知,从静止开始缓慢地增大转台的转速,b先发生相对滑动,b刚要发生相对滑动时的角速度为ω=,故D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 8.如图所示,水平圆盘上沿直径方向放置着用水平轻绳相连的两个小物块A和B。两物块的质量分别为mA和mB,到圆心的距离分别为r和3r。两物块与圆盘的最大静摩擦力均为自身重力的μ倍,重力加速度为g。不考虑轻绳拉力上限,轻绳伸直且最初拉力为零。圆盘绕过圆心的竖直轴转动,转动的角速度由零缓慢增大,求: (1)角速度增大至多少时轻绳开始出现拉力? (2)若mB=2mA,角速度在什么范围内,两物块与 圆盘之间都不发生相对滑动? 答案:(1) 　(2)ω≤ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)根据题意可知,两个小物块A和B在同一圆盘上,随圆盘一起做匀速圆周运动,若小物块A达到最大静摩擦力,则有μmAg=mAr 解得ω1= 若小物块B达到最大静摩擦力,则有μmBg=mB·3r 解得ω2= 可知ω2<ω1 即小物块B先达到最大静摩擦力,即角速度增大至 时轻绳开始出现拉力。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)当两物块与圆盘间的静摩擦力达到最大静摩擦力时,恰好不与圆盘发生相对滑动,物块A的静摩擦力沿半径向外,则有F+μmBg=mBω2·3r F-μmAg=mAω2r 解得ω= 即两物块与圆盘之间都不发生相对滑动时, 角速度的范围为ω≤ 。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9.如图所示,两绳系一质量为m=0.1 kg的小球,上面绳长L=2 m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°,问球的角速度在什么范围内,两绳始终伸直? 答案:2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:两绳都张紧时,小球受力如图所示,当ω由0逐渐增大时,ω可能出现两个临界值。 (1)BC恰好拉直,但FT2仍然为零,设此时的角 速度为ω1,则有Fx=FT1sin 30°=mLsin 30° Fy=FT1cos 30°-mg=0 联立解得ω1≈2.40 rad/s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)AC由拉紧转为恰好拉直,则FT1已为零,设此时的角速度为ω2,则有Fx=FT2sin 45°=mLsin 30° Fy=FT2cos 45°-mg=0 联立解得ω2≈3.16 rad/s。 可见,要使两绳始终伸直,ω必须满足 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10.如图所示,一根长为l=1 m的细线一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,结果可用根式表示) (1)若要使小球刚好离开锥面,则小球的角速度ω0为多大? (2)若细线与竖直方向的夹角为60°,则小球的角速度ω'为多大? 答案:(1) rad/s　(2)2 rad/s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)若要使小球刚好离开锥面,则小球只受到重力和细线的拉力,小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上,故向心力沿水平方向,受力分析如图所示。由牛顿第二定律及向心力公式得 mgtan θ=mlsin θ 解得ω0= = rad/s。 (2)同理,当细线与竖直方向成α=60°角时,由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α=mω2lsin α,解得ω'==2 rad/s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11.如图所示,餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为R的圆盘,圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可以忽略不计。放置在圆盘边缘质量为m的物体与圆盘之间的动摩擦因数为μ1=0.5,与餐桌之间的动摩擦因数为μ2=0.25。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。 (1)为使物体不滑到餐桌上,求圆盘的角速度ω的最大值; (2)缓慢增大圆盘的角速度,物体从圆盘上甩出,为使物体不滑落到地面,求餐桌半径R1的最小值。 答案:(1) 　(2)R 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)物体不滑到餐桌上,当圆盘的角速度ω达到最大值时,恰好由圆盘对物体的最大静摩擦力提供圆周运动的向心力,则有 μ1mg=mR 解得ωmax= 。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)结合上述,当物体从圆盘上甩出时,物体的速度 v0=ωmaxR 随后,物体在餐桌上做匀减速直线运动,根据牛顿第二定律有μ2mg=ma 物体速度减为0过程,利用逆向思维,根据速度与位移关系式有=2ax0 当餐桌半径R1取最小值时,根据几何关系有 =R2+ 解得R1=R。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 $$