第二章 抛体运动 章末综合提升-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（鲁科版）

章末综合提升 第2章　抛体运动 章末检测 内容索引 一、知识网络构建 二、归纳整合提升 1.类平抛运动 (1)受力特点 物体所受的合外力为恒力,且与初速度方向垂直。 (2)研究方法 将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和恒定合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动。 (3)运动规律 ①初速度方向:vx=v0,x=v0t。 ②合外力方向:a=,vy=at,y=at2。 2.与曲面相关的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出,恰好无碰撞地进入圆弧形轨道,如图所示,已知速度方向沿该点圆弧的切线方向         分解速度,构建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ== 情景示例 解题策略 从圆弧面外水平抛出,垂直落在圆弧面上,如图所示,已知速度的方向垂直于圆弧面   分解速度,构建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ== 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上(以落点在O'右侧为例),如图所示,   利用几何关系求解位移关系 x=v0t y=gt2 R2=(x-R)2+y2 三、经典例题体验 [典例1]　如图所示,一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用,且F=。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在N点,M与N之间的竖直高度为h,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.从M运动到N的时间为 B.M与N之间的水平距离为v0 C.从M运动到N的轨迹为抛物线 D.减小水平初速度v0,运动时间将变长 C [解析]　由受力分析可知F合=G-F=,由牛顿第二定律可知a===,方向竖直向下,与初速度方向垂直,故该物体做类平抛运动,所以有h=at2,解得t= ,故A错误;M与N之间的水平距离x=v0t=v0 ,故B错误;该物体做类平抛运动,所以轨迹为抛物线,故C正确;做类平抛运动的物体的运动时间与初速度无关,故D错误。 [典例2]　如图所示,将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(即v0∥CD),小球运动到B点,已知A点的高度为h,重力加速度为g,求: (1)小球加速度的大小; (2)小球到达B点的时间; (3)小球到达B点时的速度大小。 [答案]　(1)gsin θ　(2) 　(3) [解析]　(1)由牛顿第二定律得mgsin θ=ma 解得a=gsin θ。 (2)小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动,有=at2 解得t= 。 (3)小球沿水平方向做匀速直线运动,有vx=v0 小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动,有vy=at 小球到达B点时的速度大小为 vB==。 [典例3]　(多选)如图所示,一个半径R=0.75 m的半圆柱体放在水平地面上,一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点),恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体圆心,OC与水平方向夹角为53°,重力加速度为g=10 m/s2,则(　　) A.小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s B.小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s C.小球做平抛运动的初速度为4 m/s D.小球做平抛运动的初速度为6 m/s AC [解析]　小球做平抛运动,飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点,根据几何关系可知小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°,设位移方向与水平方向的夹角为θ,则有tan θ==,又水平位移x=1.6R,tan θ==,R=0.75 m,解得y= m,根据y=gt2得t=0.3 s,根据水平位移x=1.6R=v0t,得v0=4 m/s,选项A、C正确。 [典例4]　如图所示,在竖直面内有一个以AB为水平直径的半圆,O为圆心,D为最低点。圆上有一点C,且∠COD=60°。在A点以速率v1沿AB方向抛出一小球,小球能击中D点;在C点以速率v2沿BA方向抛出小球,小球也能击中D点。重力加速度为g,不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A.圆的半径R=　　　 B.圆的半径R= C.速率v2=v1 D.速率v2=v1 A [解析]　从A点抛出的小球做平抛运动,它运动到D点时,有R=g,R=v1t1,故R=,A正确,B错误;从C点抛出的小球也做平抛运动,它运动到D点时,有Rsin 60°=v2t2,R(1-cos 60°)=g,解得v2=v1,C、D错误。 章末检测(二)　抛体运动 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 一、单项选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1.曲线运动是常见的运动形式。图甲中投出的篮球在空中做曲线运动,图乙是中国(珠海)航展中飞机飞行表演的精彩镜头。关于曲线运动,下列说法正确的是(　　) A.做曲线运动的物体,其速度方向一定变化 B.做曲线运动的物体,其速度大小一定变化 C.物体受恒力作用,不可能做曲线运动 D.物体受变力作用,一定做曲线运动 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:做曲线运动的物体速度方向时刻在变,但是大小不一定变化,A正确,B错误;物体做曲线运动的条件是合外力与速度方向不共线,故在恒力作用下也可以做曲线运动,如匀变速曲线运动,C错误;物体受变力作用,如果这个力只是大小发生变化而方向与运动方向共线,则物体做直线运动,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 2.(2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是(　　) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:做曲线运动的小车所受合力指向轨迹的凹侧,A、B错; →F与v夹角为钝角,减速,动能减小→C错; →F与v夹角为锐角,加速,动能增大→D对。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 3.如图所示,将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出,经过一段时间小球到达P点,M为P点在Ox轴上的投影,作小球轨迹在P点的切线并反向延长,与Ox轴相交于Q点,已知QM=3 m,则小球运动的时间为(　　)   A.1 s　　　　　　　　　 B.2 s C.3 s D.4 s C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:由平抛运动的推论可知,Q为OM的中点,则从O点运动到P点的过程中,小球发生的水平位移x水平=OM=2QM=6 m。由于水平方向做匀速直线运动,则小球运动的时间为t==3 s,故选C。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 4.如图所示,A、B两小球从相同高度同时水平抛出,经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍,则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　) A.t B.t C. D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:设A、B两小球的抛出点间的水平距离为L,分别以水平速度v1、v2抛出,经过时间t的水平位移分别为x1、x2,根据平抛运动规律有x1=v1t,x2=v2t,又x1+x2=L,则t=;若两球的抛出速度都变为原来的2倍,则两球从抛出到相遇经过的时间为t'==,故选项C正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 5.距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m,在B点用细线悬挂一小球,其静止时离地高度为h,如图。小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动,经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下,小车运动至B点时细线被轧断,最后两球同时落地。不计空气阻力,取重力加速度的大小g=10 m/s2。可求得h等于(　　) A.1.25 m B.2.25 m C.3.75 m D.4.75 m A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:小车由A运动到B所用的时间为 s=0.5 s,对左侧小球,5 m=gt2,对右侧小球,h=g(t-0.5 s)2,解得h=1.25 m,所以A正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 6.如图所示,“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度,使其能跳到旁边等高平台上。棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线,经过最高点时速度为v0,此时离平台的高度为h。棋子质量为m,空气阻力不计,重力加速度为g,则此跳跃过程(　　) A.所用时间t= B.水平位移大小x=2v0 C.初速度的竖直分量大小为2 D.初速度大小为 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:竖直方向有h=g,可得t1=,该斜抛运动等 效为两个完全相同的平抛运动,所以时间t=2t1=2, A错误;水平位移x=v0·2=2v0,B正确;初速度的 竖直分量vy=,C错误;由勾股定理得初速度大小为,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 7.如图,在水平地面上做匀速直线运动的汽车通过定滑轮用绳子吊起一物体,若汽车和被吊物体在同一时刻的速度大小分别为v1和v2,连接汽车的绳子与水平方向的夹角为α,则下列说法中正确的是(　　) A.v1=v2cos α B.物体做匀速运动,其所受拉力等于物体重力 C.v1cos α=v2 D.物体做匀加速直线运动,拉力大于重力 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:将汽车的速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向的速度,因为沿绳的速度与物体速度大小相同,故有v1cos α=v2,A错误,C正确;根据题意汽车做匀速直线运动,v1不变,随着汽车向左行驶,α变小,可得v2变大,物体向上加速运动,所受拉力大于其重力,由于cos α不是随时间均匀变化的,故v2不是随时间均匀变化,即物体做的并不是匀加速直线运动,B、D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 8.如图所示,小球从楼梯上水平抛出,所有台阶的宽度和高度均为0.25 m。下列说法正确的是(　　) A.增大小球的水平速度,下落时间一定变大 B.落在第三级台阶的速度范围为 m/s<v< m/s C.以2 m/s的速度抛出的小球将落在第五级台阶 D.以2 m/s的速度抛出的小球落在台阶上的时间为0.40 s B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:若落到同一台阶不同点,速度不同,时间相同,A错误;若小球落在第三级台阶上,当小球刚过第二级台阶边缘时速度最小,有2h=g,2L=v1t1,解得v1= m/s,当落到第三级台阶边缘时速度最大,有3h=g,3L=v2t2,解得v2= m/s,B正确;沿楼梯边缘构建一倾角为45°的斜面,由h'=g,L'=vt3及tan 45°=得t3=0.40 s,L'=0.8 m,则n==3.2,故落在第四级台阶上,C错误;由4h=g可得t4≈0.45 s,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 二、多项选择题:本题共4小题,每小题4分,共16分。每小题有多个选项符合题目要求,全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。 9.假设在一段平直的河道中水流速度为v0,皮划艇在静水中的速度为v,河道宽为d,小刘和小张划动皮划艇过河,则下列说法正确的是(　　) A.若皮划艇过河时间最短,则皮划艇船头对着正对岸 B.调整皮划艇船头方向,一定能够到达河的正对岸 C.若水流速度增大,则皮划艇过河最短时间变长 D.若皮划艇能到达河的正对岸,则皮划艇过河时间为 AD 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:河宽d一定,皮划艇船头对着河的正对岸时,皮划艇垂直河岸的分速度最大,过河时间最短,根据运动的独立性,即使水流速度增大,最短过河时间也不变,故A正确,C错误;当v≤v0时,由三角形定则可知皮划艇一定不能到达河的正对岸,故B错误;若皮划艇能到达河的正对岸,则合速度为v合=,过河时间为t=,故D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 10.一物体在光滑的水平桌面上运动,在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动,下列说法正确的是(　　) A.物体做曲线运动 B.物体做直线运动 C.物体运动的初速度大小为50 m/s D.物体运动的初速度大小为10 m/s AC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:由v-t图像可以看出,物体在x方向上做匀速直线运动,在y方向上做匀变速直线运动,故物体做曲线运动,选项A正确,B错误;物体的初速度大小为v0= m/s=50 m/s,选项C正确,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 11.在某次单板滑雪训练时,一运动员的跳跃运动过程简化后如图所示,A、B、C分别为起跳点、最高点和落地点。若已知其滞空时间为2.8 s,B、C间的高度差为16.2 m、水平间距为21.6 m,g取10 m/s2,不计空气阻力,则(　　) A.A、B间的高度差为5 m B.A、B间的水平间距为10 m C.运动员在最高点的速度大小为12 m/s D.运动员落地时的速度大小为24 m/s AC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:根据平抛运动规律hBC=g,xBC=vBt2,联立代入数据解得t2=1.8 s,vB=12 m/s,故C正确;从A到B用时为t1=t-t2=1 s,起跳点A与最高点B竖直距离为hAB=g=5 m,故A正确;起跳点A与最高点B的水平距离为xAB=vBt1=12 m,故B错误;运动员落地时的速度大小为v== m/s=6 m/s,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 12.一位网球运动员以拍击球,使网球沿水平方向飞出。第一只球飞出时的初速度为v1,落在自己一方场地B点后,弹跳起来,刚好擦网而过,落在对方场地的A点处,如图所示。第二只球飞出时的初速度为v2,直接擦网而过,也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失,且不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　) A.v1∶v2=1∶3 B.v1∶v2=1∶4 C.H∶h=5∶4 D.H∶h=4∶3 AD 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:两球被击中后均做平抛运动,根据平抛运动的规律可知,两球从被击中至各自第一次落地时间相等,由题图可知,两球从击出至第一次落地的水平射程之比为x1∶x2=1∶3,则两球飞出时的初速度之比为v1∶v2=1∶3,故A正确,B错误;第一只球落地后反弹做斜抛运动,根据斜抛运动的对称性可知,DB段的逆过程和OB段是相同的平抛运动,则两只球下落相同高度H-h时,水平距离满足x1'+x2'=2x1,根据x1=v1t1, x1'=v1t2,x2'=v2t2,得v1t2+v2t2=2v1t1,又v1∶v2=1∶3, 则t1=2t2,又H=g,H-h=g,可得H=4(H-h), 解得H∶h=4∶3,故D正确,C错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 三、非选择题:本题共6小题,共60分。 13.(6分)如图所示的实验装置可用来研究平抛物体的运动。 (1)某同学在实验操作时发现,将小球轻轻放在斜槽末端时,小球能自动滚下。他应该如何调整:  　。  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 (2)某同学做“探究平抛运动的特点”的实验时,重复让小球从斜槽上相同位置由静止滚下,得到小球运动过程中的多个位置,根据画出的平抛运动轨迹测出小球多个位置的坐标(x,y),画出y-x2图像如图所示,图线是一条过原点的直线,说明小球运动的轨迹形状是　　　;设该直线的斜率为k,重力加速度为g,则小球从轨道末端飞出时的速度为　　　　。(各物理量均取国际单位)  答案:(1)见解析　(2)抛物线　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:(1)调整斜槽使放在斜槽末端的小球可停留在任何位置,说明斜槽末端已水平。 (2)根据平抛运动规律,在水平方向有x=v0t 在竖直方向有y=gt2 得y=x2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 由此可知在y-x2图像中,图线是一条过原点的直线,说明小球运动的轨迹形状是抛物线, 图像的斜率k= 解得v0= 。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 14.(6分)(2024·辽宁朝阳高一期中)采用如下图所示的实验装置做“探究平抛运动的特点”的实验。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 (1)以下是实验过程中的一些做法,其中合理的有　　　。  A.要求斜槽轨道保持水平且光滑 B.每次小球释放的初始位置可以任意选择 C.每次小球应从同一高度由静止释放 D.为描出小球的运动轨迹,描绘的点可以用折线连接 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 (2)如图为一小球做平抛运动时用闪光照相的方法获得的相片的一部分,图中背景小方格的边长为2.5 cm,g取10 m/s2,则:   ①图中A点　　　(选填“是”或“不是”)平抛的起点。  ②小球过B点的竖直方向的速度vBy=　　　m/s。  答案: (1)C　(2)①不是　 ② 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:(1)要求斜槽轨道末端保持水平但是不一定必须光滑,故A错误;为保证小球做平抛运动的速度相同,则每次小球必须从同一高度由静止释放,故B错误,C正确;为描出小球的运动轨迹,描绘的点要用平滑曲线连线,故D错误。 (2)①小球竖直方向做自由落体运动,若A点为平抛的起点,则AB、BC竖直方向上位移之比应是1∶3,而不是图中的3∶5,故A点不是平抛的起点。 ②竖直方向Δy=2l=gT2,解得T=,小球过B点的竖直方向速度为vBy== m/s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 15.(10分)塔式起重机是工程常用的机械之一,如图所示,它能实现竖直、水平和旋转运动以全方位搬运工程物料,大大地提高了工程的效率。观测发现,某一次从地面由静止起吊包括吊钩在内共计300 kg的物料,搬运过程可以分解为竖直和水平方向的运动:竖直方向上物料在0~4 s内以加速度a1=1 m/s2匀加速向上运动,4~5 s匀速向上运动;水平方向上物料在0~2 s无运动,2~4 s以加速度a2=0.5 m/s2匀加速向右运动,4~5 s匀速向右运动。塔架稳定不旋转,不计空气阻力,取g=10 m/s2,不考虑塔架和吊索晃动等因素。求: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18   (1)第1 s末吊索的拉力大小; (2)第5 s末物料离出发点的距离; (3)第3 s末吊索与竖直方向夹角的正切值。 答案:(1)3 300 N　(2)2 m　(3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:(1)根据牛顿第二定律得F1-mg=ma1, 解得F1=3 300 N。 (2)竖直方向上y=a1+a1t1t2 水平方向上x=a2+a2t3t4 解得y=8 m+4 m=12 m,x=(1+1)m=2 m 物料与出发点的距离L==2 m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 16.(10分)体育课上,甲同学在距离地面高h1=2.5 m处将排球击出,球的初速度沿水平方向,大小为v0=8.0 m/s;乙同学在离地h2=0.7 m处将排球垫起,垫起前后球的速度大小相等,方向相反。已知排球质量m=0.3 kg,取重力加速度g=10 m/s2。不计空气阻力。求: (1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x; (2)排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向。 答案:(1)4.8 m　(2)10.0 m/s　方向与水平方向夹角的正切值为0.75 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:(1)设排球在空中飞行的时间为t, 则h1-h2=gt2 解得t=0.6 s 则排球在空中飞行的水平距离x=v0t=4.8 m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 (2)乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小vy=gt=6.0 m/s 则v==10.0 m/s 设v的方向与水平方向夹角为θ(如图所示)。 则有tan θ==0.75 即v的方向与水平方向夹角的正切值为0.75。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 17.(14分)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京和张家口联合举办。冬奥会上跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动,运动员穿专用滑雪板,在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出,在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出,速度大小v0=20 m/s,在斜坡b处着陆,如图所示。斜坡与水平方向的夹角为θ=37°,不计空气阻力, 取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 (1)运动员在空中飞行的时间t; (2)斜坡上a、b之间的距离s; (3)运动员在空中离坡面的最大距离d。 答案:(1)3 s　(2)75 m　(3)9 m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:(1)运动员做平抛运动,设着陆时间为t,则有 x=v0t,y=gt2 由题图可知,运动员着陆时tan θ= 解得t=·tan θ=3 s。 (2)运动员着陆时x=v0t=60 m 所以s==75 m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 (3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动, 则在垂直于斜坡方向上 vy=v0sin θ=12 m/s ay=-gcos θ=-8 m/s2 当vy=0时,运动员在空中离坡面的距离最大, 则有d==9 m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 18.(14分)风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示,将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点,小球以初速度v0水平向右抛出,此时调节水平风力的大小为恒定值F,F的方向始终与初速度v0的方向垂直,最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。试求: (1)该小球运动到P点时的速度大小; (2)O、P之间的距离。 答案:(1)v0　(2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 解析:(1)设小球运动到P点时的速度大小为v,O、P之间的距离L。以O点为坐标原点、初速度v0方向为x轴正方向、风力F方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,如图所示, 沿v0方向有x=v0t 沿风力F方向有 F=ma vy=at y=at2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 由题意知tan θ= 小球运动到P点时的速度大小 v= 解得v=v0。 (2)O、P之间的距离 L==。 $$