3.3平面向量的数量积讲义-2026届高三体育单招数学一轮复习

3.3平面向量的数量积（讲义） 目录 1 知识点01向量夹角 2 2 知识点02平面向量的数量积 2 3 知识点03向量数量积的运算性质 2 4 知识点04向量的投影 3 5 知识点05常见角的余弦值 3 6 题型一、判断向量夹角的大小 4 7 题型二、向量的数量积的运算 8 8 题型三、向量夹角的余弦值 11 9 题型四、向量垂直 14 10 题型五、向量的投影和投影向量 17 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01向量夹角 (1) 已知两个非零向量与 ①与在平面内相交时所形成的角度；如图： ②与在平面内共起点时所形成的角度；如图 知识点02平面向量的数量积 (1) 定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　 (2) 数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ① ② ③ 知识点03向量数量积的运算性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ① ② ③当与同向时，；当与反向时， ④或 ⑤ 知识点04向量的投影 (1) 向量的投影长度 ①定义：向量的投影长度（也称为标量投影）是指一个向量在另一个向量方向上的“分量”的大小。它是一个标量值，表示一个向量在另一个向量方向上的“影子”有多长。 ②投影长度的公式 在方向上的投影长度： 在方向上的投影长度： (2) 向量的投影向量 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为或者 知识点05常见角的余弦值 角度 弧度 0 题型一、判断向量夹角的大小 1．中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 又因为在中，，所以，所以为钝角， 若是钝角，则，则，即， 所以在中，“”是“是钝角”的充要条件， 故选：C. 2．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 3．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 4．在中，若，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积定义可得. 【详解】因为 所以，即 又因为角为的内角， 所以. 故选：C 5．在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 6．设是不共线的两个向量，若命题p：，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为向量和是不共线的两个向量， 由，可得，则和的夹角为锐角， 反之，若和的夹角为锐角，可得，则， 所以命题是命题成立的充要条件． 故选：C． 7．在中，下列说法错误的是（    ） A．“”是“A为直角”的充要条件 B．“”是“A为锐角”的充要条件 C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件 D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得， 平方可得，解得， 所以，所以为直角，即充分性成立； 若为直角，可得，所以，则， 即，所以必要性也成立，所以A正确； 对于B中，由，可得，可得， 所以为锐角，所以充分性成立， 当为锐角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正确； 对于C中，由，可得为锐角，但不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误； 对于D中，由，可得为钝角，所以为钝角三角形，即充分性成立， 当为钝角三角形，不一定为钝角，即必要性不一定成立， 所以是是钝角三角形的充分不必要条件，所以D正确. 故选：C. 8．已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数量积即可求解. 【详解】当A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形时，， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的充分条件， 当三个点A，B，C共线且时，满是，但是A，B，C不能构成三角形， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”不是“”的不必要条件. 故选：A 题型二、向量的数量积的运算 1．是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】由题意知， ， 所以， . 故选：. 2．已知是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质，可得向量的模长以及夹角，根据数量积的定义式，可得答案. 【详解】依题意可知和的夹角为， 所以. 故选：D. 3．已知，与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用向量数量积公式计算可得答案. 【详解】. 故选：A． 4．在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 5．已知与的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义计算. 【详解】. 故选：B. 6．已知向量，且两向量夹角为，则（    ） A．18 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得. 【详解】依题意，. 故选：B 7．如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以， 所以. 故选：C 8．在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律计算即可. 【详解】. 故选：B. 题型三、向量夹角的余弦值 1．已知是单位向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求两个向量的数量积，再利用夹角公式可得答案. 【详解】因为，所以，即； 所以， 因为，所以向量与的夹角为. 故选：A 2．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 3．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合向量夹角公式运算求解即可. 【详解】因为，，且， 则， 且，所以与的夹角为． 故选：D. 4．已知，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解； 【详解】因为，设向量与的夹角为 所以， 又因为，所以 故选：B. 5．已知，且，则与的夹角为  （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及数量积公式计算向量的夹角； 【详解】由题设， 结合向量夹角范围知：，则与的夹角为. 故选：B. 6．已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角公式即可代入求解. 【详解】设向量与的夹角为θ，则， 因为，所以. 故选:D. 7．已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量数量积运算即可求得结果. 【详解】设向量，的夹角为， 因为，，， 所以. 故选：B. 8．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】由题意，先求出，然后根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 设与的夹角为，则， 因为， 所以， 故选：B. 题型四、向量垂直 1．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质和定义可求得的值. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 则，解得. 故选：C. 2．若平面向量，的夹角为60°，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再分别求出对应的向量数量积，即可得出结论. 【详解】由题意， 向量，的夹角为60°，且， A项， ， 故A不正确; B项， 因为， ∴， 故B正确; C项， ， 故C不正确; D项， ， 故D不正确. 故选：B. 3．已知，，且，则（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律求解. 【详解】因为， 结合已知向量垂直知：， 故选:C. 4．已知两个单位向量，满足与垂直，则（    ） A． B．     C．     D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】依题意可得， 即，则. 故选：B 5．若向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面垂直向量和向量数量积的定义可得，即可求解. 【详解】因为， 所以， 得，又， 所以. 故选：A． 6．已知向量均为单位向量，且，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解. 【详解】解：因为向量均为单位向量，且， 所以，， 所以， 故选：B. 7．已知非零平面向量、，“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】对于平面向量垂直的数量积表示判断可得出结论. 【详解】对于非零平面向量、，. 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．已知平面向量满足，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可. 【详解】由，得，则， 由，得，因此， 所以. 故选：A 9．已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， ，又， 所以. 故选：C. 题型五、向量的投影和投影向量 1．已知向量与向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】解：由题意，在方向上的投影向量为：． 故选：C． 2．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的概念可直接求解. 【详解】在上的投影向量为：. 故选：A 3．已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 （   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的意义及数量积的运算律求解即得. 【详解】由非零向量在向量上的投影向量为，得，则，而， 因此，所以. 故选：A 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量在方向上的投影向量为. 故选：B 5．已知向量，，满足，，且在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】设，由在上的投影向量为，知，解得. 故选：A 6．若，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直可得，进而求投影向量. 【详解】因为，，， 则，即， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 7．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 设的夹角为， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 8．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意求出的值，再根据投影向量的概念即可得结果. 【详解】因为， 所以， 即， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 9．已知，，，则在上的投影向量为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故选：C 10．已知向量与是非零向量，，，与的夹角为120°，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】由题意有， 根据由投影向量定义可得在上的投影向量为：， 故选：A. $$3.3平面向量的数量积（讲义） 目录 1 知识点01向量夹角 2 2 知识点02平面向量的数量积 2 3 知识点03向量数量积的运算性质 2 4 知识点04向量的投影 3 5 知识点05常见角的余弦值 3 6 题型一、判断向量夹角的大小 4 7 题型二、向量的数量积的运算 8 8 题型三、向量夹角的余弦值 11 9 题型四、向量垂直 14 10 题型五、向量的投影和投影向量 17 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01向量夹角 (1) 已知两个非零向量与 ①与在平面内相交时所形成的角度；如图： ②与在平面内共起点时所形成的角度；如图 知识点02平面向量的数量积 (1) 定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　 (2) 数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ① ② ③ 知识点03向量数量积的运算性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ① ② ③当与同向时，；当与反向时， ④或 ⑤ 知识点04向量的投影 (1) 向量的投影长度 ①定义：向量的投影长度（也称为标量投影）是指一个向量在另一个向量方向上的“分量”的大小。它是一个标量值，表示一个向量在另一个向量方向上的“影子”有多长。 ②投影长度的公式 在方向上的投影长度： 在方向上的投影长度： (2) 向量的投影向量 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为或者 知识点05常见角的余弦值 角度 弧度 0 题型一、判断向量夹角的大小 1．中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 4．在中，若，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 6．设是不共线的两个向量，若命题p：，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在中，下列说法错误的是（    ） A．“”是“A为直角”的充要条件 B．“”是“A为锐角”的充要条件 C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件 D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 8．已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二、向量的数量积的运算 1．是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 3．已知，与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 5．已知与的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D． 6．已知向量，且两向量夹角为，则（    ） A．18 B．9 C． D． 7．如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 8．在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 题型三、向量夹角的余弦值 1．已知是单位向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则与的夹角为  （     ） A． B． C． D． 6．已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 题型四、向量垂直 1．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若平面向量，的夹角为60°，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则（    ） A．1 B． C． D．5 4．已知两个单位向量，满足与垂直，则（    ） A． B．     C．     D． 5．若向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量均为单位向量，且，则（    ） A．2 B． C．4 D． 7．已知非零平面向量、，“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．已知平面向量满足，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 9．已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 题型五、向量的投影和投影向量 1．已知向量与向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 （   ） A． B．2 C． D． 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，满足，，且在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 6．若，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则在上的投影向量为（   ）. A． B． C． D． 10．已知向量与是非零向量，，，与的夹角为120°，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． $$