第三章 3 预言未知星体 计算天体质量-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（教科版）

3　预言未知星体　计算天体质量 1 [学习目标]　1.了解哈雷彗星的回归、海王星的发现等科学发展史。 2.理解万有引力定律在天文学中的重要作用(重点)。3.掌握天体质量和密度的计算方法(重难点)。 2 课时作业 巩固提升 要点1　计算天体质量 要点2　天体密度的计算 要点3　天体运动的分析与计算 内容索引 3 要点1　计算天体质量 一 4 梳理 必备知识 自主学习 1.预言彗星回归 英国天文学家哈雷计算了1682年出现的大彗星的轨道,指出它与1531年、 1607年出现的彗星是同一颗星,周期约为________年,并预言了这颗彗星 再次回归的时间。 76 5 2.预言未知星体 海王星的发现:英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文爱好者 ________根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外 “新”行星的轨道。1846年9月23日,德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 亚当斯 勒维耶 伽勒 6 3.称量地球的质量 选择地球表面的物体为研究对象,若不考虑地球自转,质量为m的物体受 到的重力等于地球对物体的____________,即mg＝_______,则M＝ _______,只要知道g、R的值,就可计算出地球的质量。 万有引力 G 7 4.太阳质量的计算 选择某一行星为研究对象,质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动,行星 与太阳间的___________充当向心力,即G,由此可得太阳质 量mS＝________,由此式可知只要测出行星绕太阳运动的___________以 及它和太阳之间的________,就可以计算出太阳的质量。 万有引力 公转周期T 距离r 8 [思考与讨论] (1)卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地 球重量的人”。 ①他“称量”的依据是什么? 提示:(1)①若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于 地球对物体的万有引力。 ②若已知地球表面重力加速度g,地球半径R,引力常量G,求地球的质量。 提示:②由mg＝G得,M＝。 9 (2)如果知道地球绕太阳的公转周期T,地球与太阳中心间距r,引力常量G,能求出太阳的质量吗? 提示: (2)由＝m地r知m太＝,可以求出太阳的质量。 10 归纳 关键能力 合作探究 1.计算天体质量的思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力充当向心力。 11 2.计算中心天体质量的两种方法 (1)重力加速度法 ①已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g,根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力,有mg＝G,解得中心天体质量为M＝。 ②说明:g为中心天体表面重力加速度。 12 (2)卫星环绕法 ①将星体的运动近似看成匀速圆周运动,其所需的向心力都来自万有引力,由＝mr,可得M＝。 ②说明:这种方法只能求中心天体质量,不能求环绕星体质量,其中T为公转周期,r为轨道半径。 13 [典例1]　一星球半径和地球半径相同,它表面的重力加速度是地球表面 重力加速度的2倍,则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自 转)(　　) A.1倍　　　　　　　　 B.2倍 C.3倍 D.4倍 B 在天体表面有mg＝G,所以M＝,因为星球半径和地球半径相同,可得该星球质量是地球质量的2倍,故选B。 14 [典例2]　如图甲所示,太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速 圆周运动。太阳系内某探测器距离该恒星很远,可看作相对于恒星静止。 由于P的遮挡,该探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变 化(t0和t1已知),此周期与P的公转周期相同。已知引力常量为G,求: 15 (1)P公转的周期; [答案]　(1)t1－t0　 (1)由图可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0 则P的公转周期为t1－t0。 16 (2)恒星Q的质量。 [答案] 　(2) (2)由万有引力提供向心力可得＝mr 解得质量为M＝。 17 C [针对训练]　1.木星的半径约为R＝7.0×107 m,伽利略用望远镜发现了 木星的四颗卫星,其中木卫三离木星表面的高度约为h＝1.03×109 m,它 绕木星做匀速圆周运动的周期约为T＝6.0×105 s。已知G＝6.67× 1 N·m2/kg2,则木星的质量约为(　　) A.2.0×1023 kg B.2.0×1025 kg C.2.0×1027 kg D.2.0×1029 kg 18 根据万有引力提供向心力有 ＝m(R＋h), 解得木星的质量M＝, 代入数据,解得M≈2.0×1027 kg,故C正确,A、B、D错误。 19 B 2.设在地球上和在某未知天体上,以相同的初速度竖直上抛一物体,物体 上升的最大高度比为k(均不计阻力),且已知地球和该天体的半径比也为k, 则地球质量与该天体的质量比为(　　) A.1　　　　　　　　　 B.k C.k2 D. 20 在地球和天体的表面附近,物体的重力近似等于物体受到的万有引力,故mg＝G,竖直上抛时上升的最大高度H＝,联立解得M＝,则 M地∶M天＝()2·＝k,B正确。 21 二 要点2　天体密度的计算 22 梳理 必备知识 自主学习 1.利用天体表面的重力加速度求天体密度 由mg＝G和M＝ρ·,得ρ＝。 2.利用天体的卫星求天体密度 若已知中心天体的半径R,环绕天体的运转周期T,轨道半径r,则可得G＝mr,中心天体质量M＝ρ·πR3,联立可得ρ＝。 23 3.当卫星环绕天体表面运动时,卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R,则ρ＝。 24 [思考与讨论] 根据万有引力定律,如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量。若要求太阳的密度,还需要哪些量? 提示:由＝m地r知M太＝。由密度公式ρ＝可知,若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径。 25 归纳 关键能力 合作探究 [典例3]　为进一步获取月球的相关数据,我国成功发射了嫦娥五号。该 探测器在月球上空绕月球做匀速圆周运动时,经过时间t,运动的路程为s, 与月球中心连线扫过的角度是θ(弧度)。已知引力常量为G,月球半径为R, 则可推知月球的密度是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. B 26 该探测器在月球上空绕月球做匀速圆周运动时,经过时间t,运动的路程为s,与月球中心连线转过的角度是θ(弧度),所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝、ω＝,又因为v＝ωr,所以轨道半径为r＝。根据万有引力提供向心力,由G＝m,得月球的质量为M＝,又因为月球的体积为V＝πR3,所以月球的密度ρ＝,故B正确。 27 [针对训练]　3.(多选)已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度大小 为g,引力常量为G,假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知球的体积 V＝,其中r为球的半径,则下列说法正确的是(　　) A.地球的质量为 B.地球的质量为 C.地球的密度为 D.地球的密度为 AC 28 根据G＝mg,解得M＝,根据V地＝,得ρ＝,故A、C正确。 29 4.一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动,轨道距月球表面的高度为 H。已知月球半径为R,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　) A.(1＋)3 B.(1＋)3 C.(1＋)3 D.(1＋)3 A 30 月球探测器绕月球做匀速圆周运动,月球对探测器的引力提供向心力,有G＝m(R＋H),解得M＝,月球的体积为V＝πR3,则月球的平均密度ρ＝(1＋)3,故选A。 31 三 要点3　天体运动的分析与计算 32 梳理 必备知识 自主学习 1.基本思路 一般行星(或卫星)的运动可看作匀速圆周运动,所需向心力由中心天体对它的万有引力提供,即F引＝F向。 33 2.常用关系 (1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr。 (2)忽略自转时,mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力),整理可得gR2＝GM,该公式通常被称为“黄金代换式”。 34 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G＝m得v＝ ,r越大,v越小。 (2)由G＝mω2r得ω＝ ,r越大,ω越小。 (3)由G＝m()2r得T＝2π,r越大,T越大。 (4)由G＝ma得a＝,r越大,a越小。 35 [思考与讨论] 如图所示,太阳系的行星 在围绕太阳运动。 (1)地球、火星等行星绕太阳的运 动遵守什么规律? 提示:(1)地球、火星等行星绕太阳 的运动可看作匀速圆周运动,万有 引力提供向心力。 36 (2)如何比较地球、火星等行星绕太 阳运动的线速度、角速度、周期及 向心加速度等各量的大小关系? 提示:(2)由表达式G＝ma＝m ＝mω2r＝mr可知线速度、角速 度、周期及向心加速度等各量都 与轨道半径有关系。 37 归纳 关键能力 合作探究 [典例4]　(多选)如图所示,a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的 三颗卫星,a和b质量相等,且小于c的质量,则(　　 ) A.b所需向心力最小 B.b、c的周期相等且大于a的周期 C.b、c的向心加速度大小相等且大于a的向心加速度 D.b、c的线速度大小相等且小于a的线速度 ABD 38 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供,由 F向＝知b所受的引力最小,A正确;由＝mr()2 得T＝2π,即人造地球卫星运动的周期与其轨道半 径的三次方的平方根成正比,所以b、c的周期相等且大 于a的周期,B正确;由＝ma,得a＝,即卫星的向心加速度与轨道半 径的平方成反比,所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速 度,C错误;由,得v＝ ,即地球卫星的线速度与其轨道半径 的平方根成反比,所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度,D正确。 39 [针对训练]　5.火星探测任务天问一号的标识如图 所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆 周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之 比为3∶2,则火星与地球绕太阳运动的(　　) A.轨道周长之比为2∶3 B.线速度大小之比为∶ C.角速度大小之比为2∶3 D.向心加速度大小之比为9∶4 C 40 火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比, A项错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,万有 引力提供向心力,由G＝ma＝m＝mω2r,解 得a＝,v＝ ,ω＝ ,所以火星与地 球线速度大小之比为∶,B项错误;角速度大小之比为2∶3,C项正确;向心加速度大小之比为4∶9,D项错误。 41 四 课时作业 巩固提升 42 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1.下列说法正确的是(　　) A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的 D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此,人们发现了海王星 D 43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 海王星的轨道是由于人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律推算出来的,并由此发现了海王星,故A、C错误,D正确;天王星是通过观测发现的,故B错误。 44 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2.某同学想通过自己的计算求出地球的平均密度,通过课本上已有的数 据发现地球赤道处的重力加速度比两极处的小。已知引力常量为G, 地球可看成质量分布均匀的球体,自转周期为T,球的体积公式为V＝πR3, 则地球的平均密度为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. D 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设地球的质量为M,半径为R,在两极处重力加速度g0＝,在赤道处重力加速度为g＝－R,地球的密度为 ρ＝,由题知g0－g＝g0,V＝πR3,解得 ρ＝,故D正确,A、B、C错误。 46 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3.有一星球的密度跟地球密度相同,但它表面处的重力加速度是地球表 面处的重力加速度的5倍,则该星球的质量将是地球质量的(忽略自转的 影响)(　　) A. B.5倍 C.25倍 D.125倍 D 47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设某星球的质量为M,半径为R,表面重力加速度为g,由星球表面的物体重力等于万有引力,有mg＝G,可得M＝。设该星球和地球的质量分别为M1和M2,表面的重力加速度分别为g1和g2,密度为ρ,则有,由于M＝ρπR3,该星球的密度跟地球密度相同,则有,解得＝5,＝125,A、B、C错误,D正确。 48 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4.(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等,均绕地球做圆周运动,甲的轨道 半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　) A.由v＝ 可知,甲的速度是乙的 倍 B.由a＝ω2r可知,甲的向心加速度是乙的2倍 C.由F＝G可知,甲的向心力是乙的 D.由＝k可知,甲的周期是乙的2 倍 CD 49 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 人造卫星绕地球做圆周运动时有G＝m,即v＝ ,因此甲的速度是乙的,A错误;由G＝ma得a＝,故甲的向心加速度是乙的,B错误;由F＝G知甲的向心力是乙的,C正确;绕同一天体运动时,开普勒第三定律＝k中的k值不变,所以甲的周期是乙的2 倍,D正确。 50 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5.某航天员在某星球表面,将一质量为m的小球由静止释放,小球做自由 落体运动,测得小球下落高度为h,所用的时间为t,若该星球的半径为R, 万有引力常量为G,则该星球的质量为(　　) A.M＝ B.M＝ C.M＝ D.M＝ B 51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 小球做自由落体运动,下落高度h＝gt2,解得星球表面的重力加速度g＝,星球表面的物体受到的重力等于万有引力,即mg＝G,解得星球质量M＝,故B正确,A、C、D错误。 52 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6.假设某探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h处的圆形轨道上绕 土星飞行,环绕n周飞行时间为t,已知引力常量为G,则下列关于土星质量 M和平均密度ρ的表达式正确的是(　　) A.M＝,ρ＝ B.M＝,ρ＝ C.M＝,ρ＝ D.M＝,ρ＝ D 53 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 对探测器有G＝m·(R＋h),且T＝,解得土星的质量M＝,土星的体积V＝πR3,土星的密度ρ＝, D正确。 54 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7.(2024·四川泸州高一检测)火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动,太阳的质量为M,火星的质量为m,火星运动轨迹的半径为r,引力常量为G。 (1)求火星运动的向心力F; 答案:(1)G　 (1)火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力为太阳对火星的万有引力,即F＝G。 55 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)根据万有引力定律可知G＝m 解得M＝。 (2)已知火星运行的周期为T,试写出太阳质量M的表达式。 答案: (2)M＝ 56 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [B组　综合强化练] 8.某星球的自转周期为T,一个物体在该星球赤道处的重力是F1,在极地 处的重力是F2,已知万有引力常量G,则星球的平均密度可以表示为(　　) A. B. C. D. B 57 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设星球质量为M,半径为R,物体的质量为m,由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力,所以F2＝,在赤道上,万有引力可分解为重力和随地球自转的向心力,则有＝F1＋mR,联立解得M＝,因此,星球的平均密度ρ＝,故B正确,A、C、D错误。 58 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9.地球的两颗人造卫星A和B,它们的轨道近似为圆。已知A的周期约为 12小时,B的周期约为16小时,则两颗卫星相比(　　) A.A距地球表面较远 B.A的角速度较小 C.A的线速度较小 D.A的向心加速度较大 D 59 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 由万有引力提供向心力,则有＝m,可得r＝,可知周期大的轨道半径大,则A的轨道半径小于B的轨道半径,所以B距地球表面较远,故A错误;根据ω＝可知周期大的角速度小,则B的角速度较小,故B错误;由万有引力提供向心力,则有,可得v＝ ,可知轨道半径大的线速度小,则A的线速度大于B的线速度,故C错误;由万有引力提供向心力,则有＝ma,可得a＝,可知轨道半径大的向心加速度小,则A的向心加速度大于B的向心加速度,故D正确。 60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10.(2024·四川成都高一检测)2023年2月24日,“逐梦寰宇问苍穹中国载人航天工程三十年成就展”在北京开幕。已知空间站绕地球(视为质量分布均匀的球体)做匀速圆周运动,地球的半径为R,地球表面的重力加速度大小为g,空间站离地面的高度为h,引力常量为G,不计地球的自转影响,求: (1)地球的质量M; 答案:(1)　 61 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)不计地球自转的影响,物体在地球表面的重力与其受到的万有引力大小相等,有G＝mg 解得 M＝。 62 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)地球的密度ρ＝,地球的体积V＝πR3,解得 ρ＝。 (2)地球的密度ρ; 答案:(2)　 63 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r＝R＋h,根据万有引力提供向心力,则有 G＝m()2(R＋h) 解得T＝2π。 (3)空间站绕地球做匀速圆周运动的周期T。 答案: (3)2π 64 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11.(2024·四川眉山彭山区第一中高一检测)嫦娥 五号完成了我国首次地外天体采样返回之旅。嫦 娥五号在月球着陆前,先沿停泊轨道围绕月球做匀 速圆周运动,如图所示。在停泊轨道上观察月球的 张角为2θ;嫦娥五号着陆月球后进行了一系列实验, 其中一个实验是:将一小球以速度v0竖直上抛,测出小球经时间t回到抛出点。已知引力常量为G,月球半径为R,忽略其他天体对嫦娥五号的引力,不考虑月球自转。求: 65 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)月球表面的重力加速度为g＝ 根据物体在月球表面受到的万有引力等于重力可得 G＝mg 联立可得月球的质量为M＝。 (1)月球的质量M; 答案:(1)　 66 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)停泊轨道的半径为r＝ 根据万有引力提供向心力可得G＝m 联立解得嫦娥五号在停泊轨道上运行的速率为v＝ 。 (2)嫦娥五号在停泊轨道上运行的速率v。 答案: (2) 67 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [C组　培优选做练] 12.地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看成 是圆形的,它们各自的卫星轨道也可以看成是 圆形的。已知木星的公转轨道半径约为地球公 转轨道半径的5倍,木星半径约为地球半径的 11倍,木星质量大于地球质量。如图所示是地球和木星的不同卫星做匀速圆周运动的半径r的三次方与周期T的二次方的关系图像,已知引力常量为G,地球的半径为R。 68 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 下列说法正确的是(　　) A.木星与地球的质量之比为 B.木星与地球的线速度之比为1∶5 C.地球密度为 D.木星密度为 C 69 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 对于卫星绕行星的运动,根据G＝mr得r3 ＝,可知图线的斜率k＝,由于木星的质 量大于地球的质量,可知图线斜率较大的是卫 星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径的三次方和周期二次方的关系图线,图线斜率较小的是卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径的三次方和周期二次方的关系图线。对于地球,k＝,解得地球的质量M地＝ 70 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ,则地球的密度ρ＝。对于木星, k＝,解得木星的质量M木＝,木星 的密度ρ木＝,木星与地球的 质量之比为,故A、D两项错误,C项正确。根据v＝ 可知木星与地球的线速度之比为＝ ＝ ,故B项错误。 71 $$