第二章 专题强化4 圆周运动的临界问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（教科版）

专题强化4　圆周运动的临界问题 1 [学习目标]　1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型,掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。2.掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法(重难点)。 2 课时作业 巩固提升 类型1　水平面内的圆周运动的临界问题 类型2　竖直面内的圆周运动模型及临界问题 内容索引 3 类型1　水平面内的圆周运动的临界问题 一 4 梳理 必备知识 自主学习 1.与摩擦力有关的临界问题 (1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力,如果只是摩擦力提供向心力,则有f＝,静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力外还有其他力,如绳两端连接物体,其中一个物体竖直悬挂,另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动,此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心)。 5 2.与弹力有关的临界问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为0。绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 3.解决圆周运动临界问题的一般思路 (1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。 (2)分析该状态下物体的受力特点。 (3)结合圆周运动知识,列出相应的动力学方程分析求解。 6 [思考与讨论] 如图所示,在竖直的转动轴上,a、b两点间距为40 cm,细线ac长50 cm, bc长30 cm,在c点系一质量为m的小球,重力加速度为g,转动轴带着小球转动。 7 (1)在细线bc拉直前,小球受到哪些力的作用? 提示: (1)在细线bc拉直前,小球受到细线ac的拉力、重力作用。 (2)细线bc刚好拉直时,细线ac中拉力为多少? 提示:(2)细线bc刚好拉直时,细线bc上还没有拉力,细线ac与竖直方向的夹角满足cos θ＝,小球在竖直方向由平衡条件可得Tcos θ＝mg,解得细线ac拉力为T＝1.25mg。 (3)细线bc拉直后随着转速增大,细线ac拉力如何变化? 提示:(3)细线bc拉直后转速增大的过程,小球竖直方向始终满足(2)中的平衡方程,故细线ac拉力不变。 8 归纳 关键能力 合作探究 角度1　与摩擦力有关的临界问题 [典例1]　(多选)(2024·四川绵阳高一期中)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。 9 若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度, 下列说法正确的是(　　) A.b一定比a先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等 C.当ω＝ 时,a所受摩擦力的大小为2kmg D.ω＝ 是b开始滑动的临界角速度 　AD 10 依题意,小木块随圆盘做匀速圆周运动时,静摩 擦力提供向心力,根据f＝mω2r可知,木块b转动 的半径较大,则b所受的摩擦力较大,故B错误; 小木块发生滑动的临界角速度满足kmg＝mω2r, 解得ω＝ ,木块b转动的半径较大,则临界角速度较小,可知b先发生滑动,故A正确;根据A选项分析可知两木块的临界角速度分别为ωa＝ ,ωb＝ ,因为ωa＜ ,即当ω＝ 时,a木块已经发生相对滑动,所受滑动摩擦力的大小不等于2kmg,故C错误,D正确。 11 角度2　与弹力有关的临界问题 [典例2]　如图所示,两绳系一质量为m＝0.1 kg的小 球,上面绳长L＝2 m,两端都拉直时与轴的夹角分别 为30°与45°,问球的角速度在什么范围内,两绳始 终伸直? [答案]　2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 12 两绳都张紧时,小球受力如图所示,当ω由0逐渐增大时, ω可能出现两个临界值。BC恰好拉直,但F2仍然为0,设 此时的角速度为ω1, 则有Fx＝F1sin 30°＝mLsin 30°, Fy＝F1cos 30°－mg＝0, 联立解得ω1≈2.40 rad/s。 13 AC由拉紧转为恰好拉直,则F1已为0,设此时的角速度为ω2,则有 Fx＝F2sin 45°＝mLsin 30°, Fy＝F2cos 45°－mg＝0, 联立解得ω2≈3.16 rad/s。 可见,要使两绳始终伸直,ω必须满足 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。 14 [针对训练]　1.如图所示,啮合传动的甲、乙两齿轮(齿轮未画出),半径分 别为2r和r,一小物体与两轮面间的动摩擦因数相同。将该小物体放在甲 轮边缘处时恰能相对静止,现保持转动情况不变,将小物体放在乙轮盘面 上仍能相对静止,则小物体距乙轮圆心O2的距离r'应满足(　　) A.r'＝r即可 B.r'≤r就能满足 C.必须满足r'≤r D.在r＜r'＜r区间才能满足 C 15 设甲轮角速度为ω1,乙轮角速度为ω2,将小物体 放在甲轮边缘处时恰能相对静止,有·2r＝ μg,又甲、乙两轮边缘线速度大小相等,则有 ω1·2r＝ω2·r,解得ω2＝2ω1,将小物体放在乙 轮盘面上仍能相对静止,则有·r'≤μg,联立解 得r'≤r,故选C。 16 2.(2024·四川自贡高一期中)如图所示,水平转 台上有一质量为m的小物块,用长为L的细绳连接 在通过转台中心的竖直转轴上,细绳与转轴间的 夹角为θ,系统静止时,细绳刚好伸直但绳中张力为 零。已知物块与转台间动摩擦因数为μ,重力加速 度用g表示,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当物块随转台由静止开始缓慢加速转动且未离开转台的过程中,求: 17 (1)绳子刚好有拉力时有μmg＝m 物块做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ 解得v＝。 (1)绳子刚好对物块有拉力时,转台的线速度大小; 答案:(1)　 18 (2)转台对物块支持力恰好为零时,设绳子拉力大 小为F,对物块受力分析得Fcos θ＝mg Fsin θ＝m()2r 物块做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ 解得T＝2π 。 (2)转台对物块支持力刚好为零时,转台的周期。 答案: (2)2π 19 二 类型2　竖直面内的圆周运动模型及临界问题 20 梳理 必备知识 自主学习 1.轻绳模型 如图所示,细绳系着的小球或在轨道内侧运动的小球,在最高点时的临界状态为只受重力, 即mg＝,则v＝。在最高点时: (1)v＝ 时,拉力或压力为零; (2)v＞时,物体受向下的拉力或压力; (3)v＜时,物体不能达到最高点。 即绳类的临界速度为v临＝。 21 2.轻杆模型 如图所示,在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球,由于杆和管能对小球产生向上的支持力,所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零,小球在最高点的受力情况为: 22 (1)v＝0时,小球受向上的支持力N＝mg; (2)0＜v＜时,小球受向上的支持力0＜N＜mg; (3)v＝时,小球除重力之外不受其他力; (4)v＞时,小球受向下的拉力或压力,并且随速度的增大而增大。 即杆类的临界速度为v临＝0。 23 [思考与讨论] 如图所示,某公园里的过山车驶过轨道的最高点 时,游客在座椅里面头朝下,人体颠倒,已知轨道 半径为R,游客受到的重力为mg。 (1)要使游客经过轨道最高点时对座椅的压力等于 零,则过山车在最高点时的速度是多大? 提示:(1)游客经过轨道最高点时对座椅的压力等于零,根据牛顿第二定律得mg＝m,解得过山车在最高点时的速度大小为v＝。 24 (2)过山车和游客的总质量为M,过山车在圆轨道 最低点时对轨道的压力为10Mg,此时过山车的速 度是多大? 提示: (2)根据牛顿第三定律得,过山车在圆轨道最 低点时轨道的支持力为N＝10Mg,根据牛顿第二定律得N－Mg＝M,联立解得此时过山车的速度大小为v'＝3。 25 归纳 关键能力 合作探究 角度1　轻绳模型 [典例3]　如图甲所示,小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内 做圆周运动,小球经过最高点的速度大小为v,此时绳子拉力大小为F,拉 力F与速度的平方v2的关系如图乙所示,图像中的数据a和b以及重力加速 度g都为已知量。以下说法正确的是(　　) A.数据a与小球的质量有关 B.数据b与小球的质量无关 C.比值只与小球的质量有关,与圆 周轨道半径无关 D.利用数据a、b和g能够求出小球的 质量和圆周轨道半径 D 26 当v2＝a时,绳子的拉力为0,小球的 重力提供向心力,则有mg＝m,解 得v2＝gr,即a＝gr,故数据a与小球 的质量无关,A错误;当v2＝2a时,对 小球受力分析,则有mg＋b＝m,解得b＝mg,故数据b与小球的质量有关,B错误;根据以上分析可知,比值与小球的质量有关,也与圆周轨道半径有关,C错误;由以上分析可知r＝,m＝,D正确。 27 角度2　轻杆模型 [典例4]　如图所示,小球A质量为m,固定在长为L的轻细 直杆的一端,并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内 做圆周运动。如果小球经过最高位置时,杆对球的作用力 为拉力,拉力大小等于球的重力,求: (1)小球经过最高位置时的速度大小; [答案]　(1)　 28 (1)小球做圆周运动,合外力等于向心力,有 mg＋F＝m 其中F＝mg 联立解得v＝。 29 (2)小球经过最低点速度为时,杆对小球的作用力 大小。 [答案]　(2)6mg (2)小球做圆周运动,合外力等于向心力,有 F'－mg＝m 所以F'＝mg＋m＝6mg 即杆对小球的作用力为6mg。 30 竖直平面内圆周运动的分析方法 1.明确运动的类型,是细绳模型还是轻杆模型。 2.明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。 3.分析物体在最高点和最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解。 4.有时某个力不方便直接求解,可应用牛顿第三定律,转换研究对象,先求其反作用力,然后再求该力。 方法总结 31 [针对训练]　3.有一长度为L＝0.4 m的轻质细杆OA,A端 连有一质量为m＝2 kg的小球,如图所示,小球以O点为 圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速 率是1 m/s,g取10 m/s2,则此时细杆对小球的作用力为(　　) A.15 N,方向向上　　　　　 B.15 N,方向向下 C.5 N,方向向上 D.5 N,方向向下 A 32 通过最高点时所需的向心力为 N＝5 N,而小球 所受重力为20 N,所以小球的重力部分提供向心力,剩余 20 N－5 N＝15 N是小球对细杆竖直向下的压力,则细杆 对小球有竖直向上的15 N的支持力,故A正确,B、C、D错误。 33 4.如图所示,质量为m＝2 kg的小球在竖直平面内的光 滑圆形轨道内侧运动,小球经过最高点时恰好不脱离 轨道的速度v0＝2 m/s,重力加速度g取10 m/s2。 求: (1)圆形轨道半径r; 答案:(1)0.4 m　 34 (1)小球经过最高点时恰好不脱离轨道,重力提供向心 力,根据牛顿第二定律有 mg＝m 代入数据解得r＝0.4 m。 35 (2)若小球经过轨道最高点时对轨道的压力为60 N, 此时小球的速度大小; 答案: (2)4 m/s　 (2)若小球经过轨道最高点时对轨道的压力大小为60 N,根据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力F＝60 N,根据牛顿第二定律有F＋mg＝m 代入数据解得v1＝4 m/s。 36 (3)若小球以2 m/s的速度经过轨道最低点,小球对轨 道的压力。 答案: (3)120 N,方向竖直向下 (3)若小球以2 m/s的速度经过轨道最低点,根据牛顿第二定律有F'－mg＝m 代入数据解得F'＝120 N 根据牛顿第三定律可知小球对轨道的压力大小为120 N,方向竖直向下。 37 三 课时作业 巩固提升 38 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1.杂技演员表演“水流星”,在长为1.6 m的细绳的一 端,系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛 水容器,以绳的另一端为圆心,在竖直平面内做圆周运 动,如图所示,若“水流星”通过最高点时的速率为 4 m/s,则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A.“水流星”通过最高点时,有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时,绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时,处于完全失重状态,不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时,绳子的拉力大小为5 N B 39 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s,由此 知绳的拉力恰好为零,“水流星”的重力提供向心力, 则水恰好不流出,容器底部受到的压力为零,故选B。 40 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2.如图,一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上,硬币与竖直转轴OO'的距离 为r,已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦 力),重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动,则圆盘 转动的最大转速为(　　) A. 　　　　　　　 B. C. D. B 41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 硬币在圆盘上受重力、支持力、摩擦力三个力的 作用,摩擦力提供向心力,当摩擦力达到最大静摩 擦力时,角速度最大,由牛顿第二定律有μmg＝mω2r, 可得最大的角速度为ω＝ ,由角速度与转速的关 系ω＝2πn,得最大转速为n＝ ,故B正确。 42 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3.(多选)如图所示,轻杆一端固定在水平转轴O上,另一端固定一个小球, 轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动,当小球运动至最高点时,轻杆对 小球的作用力(　　) A.方向一定竖直向上 B.方向可能竖直向下 C.大小可能为0 D.大小不可能为0 BC 43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设杆长为R,当重力刚好提供小球做圆周运动的向心 力时,杆对小球无作用力,此时有mg＝m,解得v＝ ,当v＞时,杆对小球提供拉力,当v＜时, 杆对小球提供支持力,故B、C正确,A、D错误。 44 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4.如图所示,粗糙水平圆盘上,质量相等的A、B两 物块叠放在一起,随圆盘一起做匀速圆周运动,则 下列说法正确的是(　　) A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D.若B相对圆盘先滑动,则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB C 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 把A、B当成一个整体,在水平方向上只受摩擦力 作用,所以,摩擦力即物块所受合外力,提供向心 力,摩擦力方向指向圆心,物块有沿径向向外滑动 的趋势,故A错误;物块做匀速圆周运动,向心力F＝mω2r,A、B质量相同,一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等,所以两者运动所需的向心力相等,故B错误;由受力分析可知B对A的摩擦力等于F,盘对B的摩擦力等于2F,故C正确;若B相对圆盘先滑动,则2μBmg－μAmg＜μAmg,即μB＜μA,故D错误。 46 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5.如图所示,质量为m的小球(视为质点)在竖直平面内 绕O点做半径为L的圆周运动,重力加速度大小为g,下 列说法正确的是(　　) A.若连接O点与小球的为轻绳,则小球过圆周最高点的 临界速度为零 B.若连接O点与小球的为轻杆,则小球过圆周最高点的临界速度为 C.若连接O点与小球的为轻绳,则小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为mg D.若连接O点与小球的为轻杆,则小球在圆周最高点时轻杆的作用力大小一定不为零 C 47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 若连接O点与小球的为轻绳,根据mg＝m可得v＝ ,则小球过圆周最高点的临界速度大小v＝, 选项A错误;若连接O点与小球的为轻杆,轻杆可以提 供支持力,则小球过圆周最高点的临界速度为零,选项B错误;若连接O点与小球的为轻绳,小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为mg,选项C正确;若连接O点与小球的为轻杆,小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零,选项D错误。 48 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6.(多选)如图所示,两个可视为质点的相同物体a和b放在水平圆转盘上, 且物体a、b与转盘中心在同一条水平直线上,物体a、b用细线连接,它们 与转盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转动到两物体刚好还未发生滑动时, 烧断细线,两物体的运动情况是(　　) A.物体b仍随圆盘一起做匀速圆周运动 B.物体a发生滑动,离圆盘圆心越来越远 C.两物体仍随圆盘一起做圆周运动,不发生滑动 D.两物体均沿半径方向滑动,离圆盘圆心越来越远 AB 49 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设两个物体刚好还未发生滑动时细线的弹力为 F,则对b物体根据牛顿第二定律可得,fm－F＝ mrω2,对a物体根据牛顿第二定律可得,F＋fm＝ mRω2,当烧断细线瞬间,拉力瞬间变为零,而物 体的速度不会突变,故物体b所受的静摩擦力立即由最大静摩擦力减小且为b物体提供向心力,而a所受静摩擦力小于其所受的向心力,故b仍随圆盘做匀速圆周运动,a做离心运动,故选A、B。 50 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7.如图所示,半径为R的半球形陶罐,固定在可 以绕竖直轴转动的水平转台上,转台转轴与过 陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台以一定角 速度匀速转动,一质量为m的小物块落入陶罐 内,经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,此时小物块受到的摩擦力恰好为0,且它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°,重力加速度为g。求转台转动的角速度。 答案: 51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 对小物块受力分析,如图所示。设此时的角速度为ω0,由支持力和重力的合力提供向心力 有mgtan θ＝mRsin θ 解得ω0＝＝ ＝ 。 52 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [B组　综合强化练] 8.(多选)(2024·四川绵阳高一阶段检测)质量为m的小球由轻绳a和b分别 系于一轻质细杆的A点和B点,如图所示,绳a长为L,当绳a与竖直方向成θ 角时,绳b在水平方向,当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时,小球在水平 面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是(　　) A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大 C.当角速度ω＞,b绳将出现弹力 D.如b绳突然被剪断,则a绳的弹力一定发生变化 AC 53 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 由于小球在水平面内做匀速圆周运动,合力沿水平 方向指向圆心,而b绳沿水平方向,故其重力只能由 a的张力在竖直方向上的分力来平衡,可知A正确; 当角速度较小时,b绳处于松弛状态,设绳a与竖直 方向夹角为α,分析小球受力,由力的平衡及牛顿第 二定律得Tcos α＝mg及Tsin α＝mLsin α·ω2,解得T ＝mLω2∝ω2,ω＝,可见此时a绳与竖直方向间的夹角α随角速度的增大而增大,当α＝θ后b绳上出现弹力;之后角速度再增大而a绳与竖直方向间夹角不再改变,则a上的张力T＝也不再改变,B错误,C正确;由于绳b可能没有弹力,故如b绳被剪断,则a绳的弹力可能不变,D错误。 54 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9.如图所示,竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆 环形细管,现给小球(直径略小于管内径)一个初速度, 使小球在管内做圆周运动,小球通过最高点时的速度 为v。已知重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.v的最小值为 B.当v＝时,小球处于完全失重状态,不受力的作用 C.当v＝时,管道对小球的弹力方向竖直向下 D.在v由逐渐减小的过程中,管道对小球的弹力也逐渐减小 C 55 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力, 当支持力的大小等于小球重力的大小时,小球的最小 速度为零,故A错误;根据公式a＝可知,当v＝时, 小球的加速度为a＝g,方向竖直向下,则小球处于完全 失重状态,只受重力作用,故B错误;当v＝时,小球 需要的向心力为F＝m＝2mg＝F弹＋mg,可知管道对小球的弹力大小为mg,方向竖直向下,故C正确;当v＜时,小球需要的向心力F＝m＜mg,可知小球受管道竖直向上的弹力,由牛顿第二定律有mg－N＝m,可得N＝mg－m,在v逐渐减小的过程中,管道对小球的弹力N逐渐增大,故D错误。 56 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10.(2024·四川眉山高一期中)中国“八一”飞行 表演队在某次为外宾做专场飞行表演时,飞机向上 拉升做后空翻动作的一段轨迹可看成一段圆弧(如 图)。设飞机做后空翻动作时,在最高点附近做半径 r＝160 m的圆周运动。如果飞行员质量m＝70 kg (g取10 m/s2)。 (1)求飞机经过最高点P时的速度v＝360 km/h时,飞行员对座椅的压力是多少? 答案:(1)3 675 N　 57 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)飞机经过最高点时,v＝360 km/h＝100 m/s。 对飞行员进行受力分析,飞行员在竖直方向受到重 力mg,设座椅对人有向下的支持力FN, 由牛顿第二定律得FN＋mg＝m 所以FN＝m－mg＝3 675 N 与假设相符合,由牛顿第三定律得,飞行员对座椅的压力为3 675 N。 58 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)若要使飞行员对座椅恰好无作用力,则飞机经过 P点的速度应该为多少? 答案:(2)40 m/s (2)飞行员对座椅恰好无作用力,则在最高点只受重 力,由牛顿第二定律得mg＝m 所以v＝ m/s＝40 m/s。 59 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11.如图所示,用一根长为l＝1 m的细线,一端系一质量 为m＝1 kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑 锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角θ＝37°,当小球在 水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时, 细线的张力为T(g取10 m/s2,sin 37°＝0.6,cos 37°＝ 0.8,结果可用根式表示)。 (1)若要小球离开锥面,则小球的角速度ω0至少为多大? 答案:(1) rad/s　 60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)若小球刚好要离开锥面,则小球只受到重力和细线的拉 力,受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在 水平面上,故向心力水平,在水平方向运用牛顿第二定律得 mgtan θ＝mlsin θ 解得ω0＝ rad/s。 61 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)当细线与竖直方向成60°角时,小球已离开锥面, 由牛顿第二定律得 mgtan α＝mω'2lsin α 解得ω'＝ ＝2 rad/s。 (2)若细线与竖直方向的夹角为60°,则小球的角速度ω'为多大? 答案: (2)2 rad/s 62 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [C组　培优选做练] 12.如图甲所示,长为R的轻杆一端固定一个小球,小球在竖直平面内绕轻 杆的另一端O做圆周运动,小球到达最高点时受到杆的弹力F与速度平方 v2的关系如图乙所示,则(　　) A.小球到达最高点的速度不可能为0 B.当地的重力加速度大小为 C.v2＜b时,小球受到的弹力方向竖直向下 D.v2＝c时,小球受到的弹力方向竖直向下 D 63 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 因杆既能提供支持力,又能提供拉力, 则杆—球模型的最高点临界条件是v ＝0,则有a＝mg,即小球到达最高点的 最小速度为0,故A错误;由F－v2图像可 知,在0≤v2＜b时,以较小速度通过最高点,杆提供支持力,由牛顿第二定律有mg－F＝m,可得F＝mg－m,随着通过最高点速度增大,杆的支持力为正值(规定向上为正)逐渐减小,而当v2＝b时,有F＝0,即mg＝m, 64 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解得g＝,故B、C错误;由以上分析可 知,在b＜v2时,以较大速度通过最高点, 杆提供拉力,拉力为负值表示方向向下, 由牛顿第二定律有mg＋F＝m,可得F＝m－mg,大小随着速度增大而增大,而v2＝c＞b,则小球受到的弹力方向一定竖直向下,故D正确。 65 $$