第一章 专题强化3 平抛运动的推论 平抛与斜面结合的问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（教科版）

专题强化3　平抛运动的推论　平抛与斜面结合的问题 1 [学习目标]　1.能熟练运用平抛运动的推论解决问题(难点)。2.会分析平抛运动与斜面、曲面相结合的问题(重难点)。 2 课时作业 巩固提升 类型1　平抛运动的两个推论 类型2　平抛运动与斜面结合的问题 内容索引 3 类型1　平抛运动的两个推论 一 4 梳理 必备知识 自主学习 1.推论一:做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度 的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图, 即xOB＝xA。 推导:从速度的分解来看,速度偏向角的正切值 tan θ＝, ① 将速度v反向延长,速度偏向角的正切值tan θ＝, ② 联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。 5 2.推论二:做平抛运动的物体在某时刻,设其速度与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为α,则tan θ＝2tan α。 推导:速度偏向角的正切值tan θ＝, ① 位移偏向角的正切值tan α＝, ② 联立①②式可得tan θ＝2tan α。 6 [思考与讨论] 在电视剧里,我们经常看到这样的画面:屋外刺客向屋 里投来两支飞镖,落在墙上,如图所示。现设飞镖是从 同一位置做平抛运动射出来的,飞镖A与竖直墙壁成53° 角,飞镖B与竖直墙壁成37°角,两落点相距为d,那么刺 客离墙壁有多远?(sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8) 7 提示:把两飞镖速度反向延长,交点为水平位移中点,如图所示,设水平位移为x,＝d,解得x＝d。 8 归纳 关键能力 合作探究 [典例1]　如图所示,将一小球从坐标原点沿着水平 轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出,经过一段时间到达P点, M为P点在Ox轴上的投影,作小球轨迹在P点的切线并 反向延长,与Ox轴交于Q点,已知QM＝3 m,则小球运 动时间为(　　) A.1 s　　　　　　　 B.1.5 s C.2.5 s D.3 s D 9 由平抛运动推论可知,Q为OM的中点,则从O点运动 到P点的过程中,小球发生的水平位移x＝OM＝2QM ＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动,则小球在这 段过程中运动的时间为t＝ s＝3 s,故选项D正确。 10 [典例2]　如图所示,若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出 后仍落在斜面上,则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空 气阻力不计,物体可视为质点)(　　) A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ D 11 物体从抛出至落到斜面的过程中,位移方向与 水平方向的夹角为θ,落到斜面上时速度方向与 水平方向的夹角为φ,由平抛运动的推论知tan φ ＝2tan θ,选项D正确。 12 [针对训练]　1.在竖直平面内有一半圆形轨道,如图所示,O为圆心,AB为 水平直径,有一小球(可视为质点)从A点以不同速度向右平抛,不计空气 阻力。在小球从抛出到碰到轨道这个过程中,下列说法错误的是(　　) A.初速度越大的小球运动时间不一定越长 B.初速度不同的小球运动时间可能相同 C.只需知道半圆形轨道半径R和重力加速度g,就可 算出落在圆形轨道最低点的小球末速度 D.小球落到半圆形轨道的瞬间,速度方向可能沿半径方向 D 13 由平抛运动的时间t＝ 可知,平抛运动的时间由 高度决定,与水平初速度无关,初速度大时,与半圆接 触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大,又t＝,故A正确;初速度不同的小球下落的高度可能相等,如碰撞点关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点,运动的时间相等,故B正确;落在圆形轨道最低点的小球下落的距离最大,为R,所以运动时间t＝ ,则v0＝,vy＝gt,v＝ 14 ,故C正确;若小球落到半圆形轨道的瞬间, 速度方向沿半径方向,则速度方向与水平方向的夹 角是位移方向与水平方向夹角的2倍,因为做平抛运动时,同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍,两者相互矛盾,则小球的速度方向不会沿半径方向,故D错误。 15 二 类型2　平抛运动与斜面结合的问题 16 梳理 必备知识 自主学习 1.构建速度三角形 如果已知物体做平抛运动过程中某时刻的速度与斜面平行或垂直,可运用分解速度的方法,关键是找到速度方向与斜面倾角的关系,构建速度的矢量三角形。 17 水平速度vx＝v0, 竖直速度vy＝gt, 合速度v＝ ,tan θ＝。 注意:过抛出点作斜面的垂线,交于A点,即落到A点的位移最小。 18 2.构建位移三角形 如果从斜面抛出的物体又落到斜面上,则位移平行于斜面,可运用分解位 移的方法,关键是找到分位移与斜面倾角的关系,构建位移的矢量三角形。 水平位移x＝v0t, 竖直位移y＝gt2, 合位移s＝ ,tan θ＝。 19 [思考与讨论] 如图所示,某物体(可视为质点)以水平初速度抛出,飞 行一段时间t＝ s后,垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面 上(g取10 m/s2,不计空气阻力),试计算出物体的水平位 移x和水平初速度v0分别是多少? 提示:物体撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s,将速度进行分解,根据平行四边形定则知,tan 30°＝,解得v0＝10× m/s＝10 m/s,则水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m。 20 归纳 关键能力 合作探究 [典例3]　(多选)如图所示,一个倾角为37°的斜面固定在水平面上,在斜 面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出,经过一段时间 后,小球垂直斜面打在P点处(小球可视为质点,不计空气阻力,重力加速 度g取10 m/s2,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8),则(　　) A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/s B.小球击中斜面时的速度大小为4 m/s C.小球做平抛运动的水平位移是1.2 m D.小球做平抛运动的竖直位移是1 m AC 21 将球垂直打在斜面上P点的速度进行分解,如图 所示,由图可知θ＝37°,β＝53°,由数学知识得, 小球击中斜面时的速度大小为v＝ m/s ＝5 m/s,故A正确,B错误;由tan β＝可得 t＝·tan β＝0.4 s,则小球做平抛运动的水平位移是x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m,竖直位移是h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m,故C正确,D错误。 22 [典例4]　如图所示,在倾角为37°的斜坡上, 从A点水平抛出一个物体,物体落在斜坡的B点, 测得A、B两点间的距离L＝75 m。忽略空气阻 力。(sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,g取10 m/s2)求: (1)物体从A点到B点运动的时间t; [答案]　(1)3 s 23 (1)A、B点间距为L,物体在空中做平抛运动,在竖 直方向上,根据自由落体运动规律得Lsin 37° ＝gt2 代入数据解得物体从A点到B点运动的时间t＝3 s。 24 (2)物体抛出时速度v0的大小; [答案]　(2)20 m/s (2)水平方向上做匀速直线运动,有Lcos 37°＝v0t 代入数据解得物体抛出时的速度v0＝20 m/s。 25 (3)物体落到B点时速度v的大小。 [答案]　(3)10 m/s (3)物体落到B点时竖直方向上分速度为 vy＝gt＝30 m/s 根据勾股定理得物体落到B点时的速度为 v＝ ＝10 m/s。 26 [针对训练]　2.如图所示,在斜面顶端的A点以速度 v平抛一小球,经t1时间落到斜面上B点处,若在A点 将此小球以速度0.5v水平抛出,经t2落到斜面上的C 点处,以下判断正确的是(　　) A.t1∶t2＝4∶1　　　　　 B.AB∶AC＝4∶1 C.AB∶AC＝2∶1 D.t1∶t2＝∶1 B 27 平抛运动竖直方向上的位移和水平方向上的位移的 比值tan θ＝,则t＝,因为运动的 时间与初速度成正比,所以t1∶t2＝2∶1;竖直方向上下落的高度h＝gt2,所以竖直方向上的位移之比为4∶1;斜面上的距离s＝,所以AB∶AC＝4∶1,故B正确,A、C、D错误。 28 3.如图所示,斜面倾角为θ,位于斜面底端A正上方 的质量为m的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平 抛出,重力加速度为g,空气阻力不计。 (1)若小球以最小位移到达斜面,求小球到达斜面 经过的时间t; 答案:(1) 29 (1)小球以最小位移到达斜面时位移与斜面垂直,位移与竖直方向的夹角为θ 则tan θ＝ 解得t＝。 30 (2)若小球垂直击中斜面,求小球到达斜面经过的 时间t'。 答案: (2) (2)小球垂直击中斜面时,速度与竖直方向的夹角为θ, 则tan θ＝ 解得t'＝。 31 三 课时作业 巩固提升 32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1.(多选)从同一点沿水平方向抛出的A、B两个小球能 落在同一个斜面上,运动轨迹如图所示,不计空气阻 力,则小球初速度vA、vB的关系和运动时间tA、tB的关 系分别是(　　) A.vA＞vB　　　　　　　 B.vA＜vB C.tA＞tB D.tA＜tB AD 33 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 A小球下落的高度小于B小球下落的高度,根据h＝gt2 知t＝,故tA＜tB,C错误,D正确;B的水平位移较小, 运动时间较长,根据x＝vt知,水平初速度较小,即vA＞ vB,A正确,B错误。 34 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2.如图所示,跳台斜坡与水平面的夹角θ＝37°,滑 雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出,经过3 s落到 斜坡上的B点。不计空气阻力,重力加速度g取 10 m/s2,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,则运动员离 开A点时的速度大小为(　　) A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s B 35 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 运动员在竖直方向做自由落体运动,设A点与B点 的距离为L,则有Lsin 37°＝gt2,解得L＝75 m,设 运动员离开A点时的速度为v0,运动员在水平方向 的分运动为匀速直线运动,则有Lcos 37°＝v0t,解得v0＝20 m/s,B正确,A、C、D错误。 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3.如图所示,倾角θ＝30°的斜面放在水平地面上, P是斜面底端O点正上方的一点,一物体从P点水平 抛出,垂直落到斜面上的A点。A点距离水平面的高 度为h,由此可知OP之间的距离为(　　) A.2h B.2.5h C.2h D.2h B 37 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设OP之间的距离为H,平抛运动的水平位移为s,则 H－h＝vyt,s＝v0t,两式相比,因为 ,s＝,所以H＝h＋,代入数据求得H＝ 2.5h,B正确。 38 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4.如图所示,斜面底端正上方高h处有一小球 以水平初速度v0抛出,恰好垂直打在斜面上, 不计空气阻力,斜面的倾角为30°,则关于h和 初速度v0的关系,下列图像正确的是(　　) D 39 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 将小球刚要打到斜面上的速度沿竖直和水平 方向进行分解,则有tan 30°＝,vy＝gt,x＝ v0t,y＝gt2,由几何关系得tan 30°＝, 解得h＝,因此A、B错误,D正确;h－v0图像应是开口向上的抛物线,C错误。 40 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5.物体做平抛运动,轨迹如图所示,O为抛出点,物体经过点P(x1,y1)时的 速度方向与水平方向的夹角为θ,则(　　) A.tan θ＝ B.tan θ＝ C.物体抛出时的速度v0＝x1 D.物体经过P点时的速度vP＝ C 41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 根据y1＝gt2得t＝,水平速度v0＝＝x1, 则tan θ＝,故A、B错误,C正确; 物体经过P点时的速度vP＝,故D错误。 42 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6.(2023·山西晋中高三校考阶段练习)如图所示,从倾角为θ的固定斜面 上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜面上, 当抛出的速度为v1时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1;当抛 出速度为v2时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2,不计空气阻 力,则(　　) A.当v1＞v2时,α1＞α2 B.当v1＞v2时,α1＜α2 C.无论v1、v2关系如何,均有α1＝α2 D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 C 43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 小球从斜面上的某点水平抛出后落到斜面上,小球 的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ,即 tan θ＝,小球落到斜面上时速度方向 与水平方向的夹角的正切值tan β＝,故可得tan β＝2tan θ,只要小球落到斜面上,位移方向与水平方向的夹角就总是θ,则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β,故速度方向与斜面的夹角总是相等,与v1、v2的关系无关。 44 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7.(2024·湖南长沙高一阶段检测)跳台滑雪是 冬奥会的重要比赛项目之一。某次比赛中,某 运动员以v0＝20 m/s的速度从跳台a处沿水 平方向飞出,在滑雪道b处着陆,如图所示,a、 b两处的连线与水平方向的夹角为θ＝30°,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,在飞行过程中运动员和滑雪板可以看成质点,求: (1)运动员在b点着陆瞬间的速度大小vb; 答案:(1)20 m/s 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)根据平抛运动规律可得＝2tan 30° 解得vby＝40 m/s 则运动员在b点的速度大小为 vb＝＝20 m/s。 46 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)运动员在空中飞行的时间t和位移大小L。 答案:(2)4 s　160 m (2)在竖直方向上有vby＝gt 解得t＝4 s 则水平位移为x＝v0t＝80 m 则位移大小为L＝＝160 m。 47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [B组　综合强化练] 8.(多选)(2024·河南开封高一期中)如图所示,水平面上有一固定斜面,在 斜面顶端将A、B两个小球分别以v和2v的速度水平向右抛出,A球经时间 t恰好落到该斜面中点,速度大小为v,则(　　) A.B球将落在斜面底端,运动的时间为2t B.B球将落在水平面上,运动的时间为t C.B球落在斜面底端时的速度大小为2v D.B球落在水平面上时的速度大小为v BD 48 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设小球落在斜面上,位移与水平方向的夹角 为θ,则tan θ＝,只要落到斜面上, 角度不变,t与初速度成正比,则A、B两小球运动的时间之比为1∶2,根据h＝gt2,知下落高度之比为1∶4,由此知B球不会落到斜面底端,会落到水平面上,A、C错误; 设B球落在水平面上时的下落高度为h,则A球下落的高度为,根据h＝gt2知,两小球运动时间之比为1∶,故B小球运动时间为t,当B球落在水平面上时竖直方向有vy＝gt＝v,故落地速度为v'＝v,B、D正确。 49 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9.(多选)如图所示,斜面倾角为θ,高度为h,已知重力加速度为g。将位于 斜面底端A点正上方高为h的小球正对斜面顶点B以速度v0水平抛出,要 使小球做平抛运动的位移最小,则(　　) A.小球做平抛运动的时间t＝ B.小球做平抛运动的时间t＝ cos θ C.小球的初速度v0＝ sin θ D.小球的初速度v0＝ cos θ BC 50 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设抛出点为C,过抛出点C作斜面的垂线CD,如 图所示,当小球落在斜面上的D点时,位移最小, 设运动的时间为t,则水平方向有x＝v0t,竖直方 向有y＝gt2,根据几何关系有＝tan θ,联立解 得t＝,故A错误;小球到达斜面的位移最小 时,位移垂直斜面,则s＝hcos θ,平抛的竖直高度y＝scos θ＝hcos2θ,根据y＝gt2得运动时间t＝ cos θ,故B正确;水平位移x＝ssin θ＝hcos θsin θ,根据x＝v0t得初速度v0＝sin θ,故C正确,D错误。 51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10.(多选)横截面为直角三角形的两个相同斜面如图所示紧靠在一起,固 定在水平面上,它们的竖直边长都是底边长的一半。小球从左边斜面的 顶点以不同的初速度向右平抛,最后落在斜面上,其中三个小球的落点分 别是a、b、c。下列判断正确的是(　 　) A.落在a点的小球飞行时间最短 B.落在c点的小球飞行时间最短 C.落在a点的小球飞行过程速度的变化量最大 D.无论小球抛出时初速度多大,落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与 斜面垂直 BCD 52 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 三个小球做的都是平抛运动,从题图中可 以发现落在c点的小球下落的高度最小,由 h＝gt2可知落在c点的小球飞行时间最短,故A错误,B正确;小球做平抛运动,平抛运动在水平方向的速度是不变的,速度的变化发生在竖直方 向上,竖直方向上的速度变化量Δv＝gΔt,运动时间长的小球速度变化量大,所以落在a点小球的速度变化量最大,故C正确;根据几何关系可知,落在a点时的速度不可能与斜面垂直,然后看b、c点,竖直速度是gt,水平速 53 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 度是v0,假设落到斜面上的瞬时速度垂直斜 面,斜面的夹角θ的正切tan θ＝,根据 几何关系,水平位移为x＝v0t,竖直位移为y＝gt2,则有＝1,即水平位移等于竖直位移,这是不可能的,本题中b、c两点的水平位移一定大于竖直位移,故无论小球抛出时初速度多大,落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直,故D正确。 54 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11.(2024·河北邢台高一期末)据报道,我国自 主研发的新一代战略隐形轰炸机轰－20已试飞 完成。某次试飞中,轰－20实施对点作业,即对 山坡上的目标A进行轰炸。轰－20沿水平方向 匀速飞行,飞行高度为H,到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹,炸弹恰好垂直击中A点,整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h,不计空气阻力,重力加速度大小为g,求: 55 (1)炸弹在空中运动的时间t; 答案:(1) 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)炸弹在竖直方向做自由落体运动,则有 H－h＝gt2解得t＝ 。 56 (2)A点到山坡底端的距离d。 答案:(2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)设炸弹的水平位移为x,如图 则有,d2＝x2＋h2 解得d＝ 。 57 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [C组　培优选做练] 12.(多选)如图,饲养员在池塘堤坝边缘处以水平速 度v0往鱼池中抛掷鱼饵颗粒。堤坝斜面倾角为53°, 坝顶离水面的高度为5 m,g取10 m/s2,不计空气阻力 (sin 53°＝0.8,cos 53°＝0.6),下列说法正确的是(　　) A.若鱼饵能落入水中,平抛初速度v0越大,从抛出到落水所用的时间越长 B.若鱼饵能落入水中,平抛初速度v0越大,落水时速度方向与水平面的夹角越小 C.若鱼饵不能落入水中,平抛初速度应满足v0＜3.75 m/s D.若鱼饵不能落入水中,平抛初速度v0越大,落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小 BC 58 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 平抛时间由高度决定,与v0无关,若鱼饵都能落到水 中,则运动时间都相同,故A错误;若鱼饵颗粒能落入 水中,下落高度一定,运动时间一定,落水时速度方 向与水平面夹角的正切值tan α＝,v0越大,tan α越小,即α越小,故B正确;若鱼饵颗粒恰好落在B点,则竖直方向由h＝gt2,可得t＝1 s,水平方向可得＝v0t,v0＝3.75 m/s,若鱼饵不能落入水中,平抛初速度应满足v0＜3.75 m/s,故C正确;若鱼饵颗粒不能落入水中,落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角设为θ,根据位移分解关系tan 53°＝ ,又tan θ＝,联立可得tan θ＝2tan 53°,因此θ一定,由几何关系可知落到斜面上时速度方向与斜面的夹角不变,故D错误。 $$