第一章 专题强化1 运动的合成与分解应用实例-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（教科版）

专题强化1　运动的合成与分解应用实例 1 [学习目标]　1.能运用运动的合成与分解知识分析小船渡河问题(重难点)。2.掌握常见绳、杆关联模型特点,能利用运动的合成与分解的知识分析关联速度问题(重点)。 2 课时作业 巩固提升 类型1　小船渡河模型 类型2　关联速度问题 内容索引 3 类型1　小船渡河模型 一 4 梳理 必备知识 自主学习 1.小船参与的两个分运动 (1)船相对于水的运动(即船在静水中的运动),它的方向与船头的指向 相同。 (2)船随水漂流的运动,它的方向与河岸平行。 5 2.两类最值问题 (1)渡河时间最短问题 由于水流速度始终沿河道方向,不能提供指向河对 岸的分速度,因此若要渡河时间最短,只要使船头垂 直于河岸航行即可。由图可知,t短＝,此时船渡河的位移x＝,位移方向满足tan θ＝。 6 (2)渡河位移最短问题 情况一:v水＜v船 最短的位移为河宽d,此时渡河所用时间t＝,船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水,如图所示。 7 情况二:v水＞v船 如图所示,以v水矢量的末端为圆心,以v船的大 小为半径作圆,当合速度的方向与圆相切时, 合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α),此时 航程最短。由图可知sin α＝,最短航程为x＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ'角,且cos θ'＝。 8 [思考与讨论] 若人在河中始终保持头朝正前方游向对岸,你认为: (1)他会在对岸的正前方到达,还是会偏向上游或下游?为什么? (2)人参与了哪些方向的运动? 提示:(1)会在对岸的偏向下游处到达。水流动时,会让人在水流方向产生一定的位移。 (2)人参与了随水流沿河岸向下游的运动及垂直河岸向对岸游的运动。 9 归纳 关键能力 合作探究 [典例1]　(2024·江苏海安高一期末)如图所示,小船沿直线AB过河,船头 始终垂直于河岸。若水流速度减小,为保持航线不变,下列措施与结论正 确的是(　　) A.减小船速,过河时间变长 B.减小船速,过河时间不变 C.增大船速,过河时间不变 D.增大船速,过河时间缩短 A 10 船头始终垂直于河岸,河宽一定,当水流速度减小, 为保持航线不变,根据运动的合成,船的速度必须 减小,再根据t＝,所以渡河的时间变长。 11 [典例2]　已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d＝100 m,水流速度为v2＝3 m/s,方向与河岸平行。 (1)欲使船以最短时间过河,过河所用时间是多少?位移的大小是多少? [答案]　(1)20 s　20 m　 12 (1)由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度 最大时,过河所用时间最短,河水流速平行于河岸, 不影响过河时间,所以当船头垂直于河岸过河时, 所用时间最短,最短时间为t＝ s＝20 s。如 图甲所示,当船到达对岸时,船沿平行于河岸方向也发生了位移,由几何知识可得,船的位移大小为s＝,由题意可得s2＝v2t＝3×20 m＝60 m,代入得s＝20 m。 13 (2)欲使船以最小位移过河,过河所用时间是多少? [答案]　(2)25 s　 14 (2)船的实际速度方向垂直于河岸时,船的位移最小,因 船在静水中的速度为v1＝5 m/s,大于水流速度v2＝3 m/s, 故可以使船的实际速度方向垂直于河岸。如图乙所示, 设船头斜指向上游河对岸,且与河岸所成夹角为θ,则有 v1cos θ＝v2,cos θ＝＝0.6,则sin θ＝ ＝0.8,船的实际速度大小为v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s,所用的时间为t'＝ s＝25 s。 15 (3)若水流速度为v'2＝6 m/s,船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变,船能否垂直河岸渡河? [答案]　(3)不能 (3)当水流速度v'2＝6 m/s时,则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s, 不论v1方向如何,其合速度方向总是偏向下游,故不能垂直河岸过河。 16 对小船渡河问题,要注意以下三点: (1) 研究小船渡河时间时 →常对某一分运动进行研究求解,一般用垂直河岸的分运动求解。 (2) 分析小船速度时 →可画出小船的速度分解图进行分析。 (3) 研究小船渡河位移时 →要对小船的合运动进行分析,必要时画出位移合成图。 方法总结 17 [针对训练]　1.(2024·福建三明高一期末)下列选项图中,若渡河区域内 的河岸平直,水流速度方向处处与河岸平行且向右,越靠近河中央,水流 速度越大。设木船相对静水的速度大小恒定。以最短的时间过河,则木 船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹可能是(　　) D 以最短的时间过河,则木船的船头垂直于河岸,木船渡河同时参与了两个运动,垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动。其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度,保持不变;平行河岸的分速度等于水速。根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小,故木船的加速度先平行于河岸向右,后平行于河岸向左,木船做曲线运动,根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知,D正确,A、B、C错误。 2.(多选)(2024·山西大同高一期末)如图所示, 有一条宽为50 m的河道,一小船从岸边的某点 渡河。已知小船在静水中的速度大小为5 m/s, 水流速度大小为3 m/s。下列说法正确的是(　　) A.小船渡河的最短时间是10 s B.小船在河水中航行的轨迹是曲线 C.小船渡河要位移最小,船头应斜向上游,船与河岸的夹角应为53° D.小船在河水中的合速度大小可能为9 m/s AC 当船头始终垂直河岸渡河时,渡河时间最短, 最短时间为tmin＝ s＝10 s,故A正确; 小船在静水中的速度和水流的速度均恒定, 则小船渡河过程中合速度恒定,即小船渡河 时做匀速直线运动,因此小船在河水中航行的轨迹是直线,故B错误; 小船渡河要位移最小,即合位移为河宽,因此 合速度必须垂直于河岸,如图所示,根据几何 关系可得cos θ＝,可得θ＝53°,故C正 确;当船顺流而下,即船速与水速共线同向时, 此时船的合速度最大,最大值为v合max＝v水＋v船＝8 m/s,故D错误。 二 类型2　关联速度问题 23 梳理 必备知识 自主学习 1.关联速度 用绳、杆(高中阶段研究的绳都是不可伸长的,杆都是不可伸长且不可压缩的)相牵连的物体或者直接接触的两物体,在运动过程中两物体的速度通常不同,但两物体的速度间存在某种联系,称为关联速度。 2.常见的速度分解模型(如图) 3.解决关联速度问题的一般步骤 第一步:先确定合运动,即物体的实际运动。 第二步:确定合运动的两个实际作用效果,一是沿绳(或杆)方向的平动效果,改变速度的大小;二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果,改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。 第三步:根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。 [思考与讨论] 如图所示,岸上的小车A以速度v匀速向左运动, 绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内,小车A和小船B运动的位移 相等吗? 提示:(1)不相等。船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2。 (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗?如果不相等,哪个速度大? (3)从运动的合成和分解的角度看,小船上P点的速度可以分解为哪两个 分速度? (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α,则船的速度是多大? 提示:(2)不相等。船的速度大于车的速度。 (3)P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和 垂直于绳方向的分速度。 (4)由v＝v船cos α得v船＝。 归纳 关键能力 合作探究 角度1　绳的关联速度 [典例3]　如图所示,A、B物体通过不可伸长的轻绳 连接,A在外力作用下向右以速度v0匀速移动,当轻绳 与水平方向夹角为θ时,物体B的速度为v,不计滑轮的 质量和摩擦,与A相连的轻绳水平,则下列说法正确的是(　　) A.v＝v0cos θ　　　　　　 B.v＝ C.B将向右匀速运动 D.B将向右减速运动 B 将物体B的速度沿轻绳方向和垂直轻绳方向分解, 可得v0＝vcos θ,解得v＝,故A错误,B正确;A物 体向右运动过程中,θ变大,cos θ变小,由v＝可 知,v变大,所以B物体将向右加速运动,故C、D错误。 角度2　杆的关联速度 [典例4]　(多选)(2024·四川遂宁高一期末) 如图所示,一个长直轻杆两端分别固定小球 A和B,竖直放置,两球质量均为m,两球半径 忽略不计,杆的长度为L。由于微小的扰动, A球沿竖直光滑槽向下运动,B球沿水平光滑 槽向右运动,当杆与竖直方向的夹角为θ时 (图中未标出),关于两球速度vA与vB的关系, 下列说法正确的是(　　) A.当θ＝45°时,A、B两球速度大小相等 B.当θ＝60°时,A球速度的大小小于B球速度 C.vA＝vBtan θ D.vA＝vBsin θ AC 当杆与竖直方向的夹角为θ时,根据运动的 分解,如图所示,沿杆方向两分速度大小相 等,则vAcos θ＝vBsin θ,即vA＝vBtan θ,当θ＝ 45°时,可得vA＝vB,故选A、C。 [针对训练]　3.如图所示,一轻杆两端分别固定两个可 视为质点的小球A和B,将其放到一个光滑的球形容器 中并在竖直面上运动,当轻杆到达A球与球形容器球心 等高时,A球速度大小为v1,已知此时轻杆与水平方向成 θ＝30°角,B球的速度大小为v2,则(　　) A.v2＝v1　　　　　　　　 B.v2＝2v1 C.v2＝ D.v2＝v1 A 根据题意,将A球的速度沿着杆与垂直于杆两方向分 解,同时将B球的速度也沿着杆与垂直于杆两方向分 解,对A球:v0＝v1sin θ,对B球:v0＝v2sin θ,由于是同一 轻杆,则有v1sin θ＝v2sin θ,所以v2＝v1,故A正确,B、 C、D错误。 4.(2024·江苏镇江高一期末)生活中运送装修材料时,常采用图中的滑轮 装置。做匀速直线运动的工作人员A通过一根绕过定滑轮的轻绳吊起一 装修材料B,设工作人员和装修材料的速度大小分别为vA和vB,则下列说 法正确的是(　　) A.vA＝vB B.vA＞vB C.vA＜vB D.绳子对B的拉力大小等于B的重力大小 B 工作人员A的运动可分解为沿绳方向和垂直于 绳方向的两个运动,设斜拉绳子与水平方向的 夹角为θ,由几何关系可得vB＝vAcos θ,所以vA ＞vB,B正确,A、C错误。工作人员A向右做匀 速直线运动,vA不变,所以斜拉绳子与水平方向 的夹角θ减小,则cos θ增大,所以vB增大,即材料B向上做加速直线运动。对材料B受力分析,由牛顿第二定律T－mBg＝ma可得,绳子对B的拉力大小大于B的重力大小,D错误。 三 课时作业 巩固提升 37 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1.(2024·南通通州区高一期末质检)如图所 示,水流方向自左向右,在河岸A点的小船要 到达正对岸的B点,则小船船头应沿哪个方向 行驶才有可能(　　) A.a　　　　　　　　　　　 B.b C.c D.d 13 B 38 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 小船要到达正对岸的B点,根据运动的合成 可知船在静水中的速度和水流速度的合速度 应该垂直指向对岸的B点,故选B。 13 39 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2.(2024·广东河源高一期末)1935年5月,红军为突破“围剿”决定强渡 大渡河,首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决 强突。假设小木船以恒定的速率垂直河岸横渡,当水速突然增大时,对战 士们横渡经历的路程、时间发生的影响是(　　) A.路程增加,时间不变 B.路程增加,时间增加 C.路程减少,时间缩短 D.路程、时间均与水速无关 13 A 40 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 设小木船以恒定的速率v1垂直河岸横渡,河岸宽度为d,水流速度为v2,则渡河时间为t＝;平行河岸位移为x＝v2t,可知战士们横渡经历的时间与水速无关,即时间不变;水速突然增大时,战士们沿河岸的位移变大,则对战士们横渡经历的路程增加,故选A。 41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸 边的过程,如图所示,如果保持绳子的速度v不 变,则小船的速度(　　) A.不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小 13 B 小船的速度v船＝,θ为绳与水平面的夹角,随着θ增大,cos θ减小,故小船的速度逐渐增大,B对。 42 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 4.如图,一船沿与河岸成37°角的方向运动到河的对岸,若水流速度为 4 m/s,则船最小的速度(在静水中的速度)为(　　) A.3 m/s　　　　　　　　 B.5 m/s C.2.4 m/s D.3.2 m/s C 43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 船参与了两个分运动,沿船头指向的分运动和顺 水流而下的分运动,其中,合速度v合方向已知,大 小未知,顺水流而下的分运动的速度v水的大小和 方向都已知,沿船头指向的分运动的速度v船的大 小和方向都未知,合速度与分速度遵循平行四边形定则(或三角形定则),如图所示,当v合与v船垂直时,v船最小,由几何关系得到v船的最小值为v船＝v水sin 37°＝2.4 m/s,故C正确,A、B、D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 5.如图所示,不计所有接触面之间的摩擦,斜面 固定,两物体质量分别为m1和m2,且m1＜m2。若 将m2从位置A由静止释放,当落到位置B时,m2的 速度为v2,且绳子与竖直方向的夹角为θ,则此时 m1的速度大小v1等于(　　) A.v2sin θ　　　　　　　 B. C.v2cos θ D. C 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等,所以绳 的速度等于m1的速度v1,而m2的实际运动应是合运动(沿 杆向下),合速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直 于绳子方向的分速度(即两个实际运动效果)。因此v1跟 v2的关系如图所示,由图可看出m1的速度大小v1＝v2cos θ,所以选项C 正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 6.(2024·福建莆田高一期末)如图,一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻 小滑轮,将A、B两物体连在一起,B在外力作用下以速度v0向右匀速运动。 当轻绳与水平方向成θ角时(0＜θ＜90°),下列说法正确的是(　　) A.A物体的速度为v0cos θ,轻绳拉力大于A物体重力 B.A物体的速度为v0cos θ,轻绳拉力小于A物体重力 C.A物体的速度为v0sin θ,轻绳拉力大于A物体重力 D.A物体的速度为v0sin θ,轻绳拉力小于A物体重力 A 47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 将B的速度沿绳进行分解,可知A的速度为vA＝ v0cos θ;当B往左边匀速运动时,夹角θ不断增大, A的速度不断减小,因此A做减速运动,加速度向 上,即轻绳的拉力大于A物体的重力,A正确,B、 C、D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 7.如图所示,水平地面上固定一个与水平面 夹角为θ的斜杆A,另一竖直杆B以速度v水平 向左做匀速直线运动,所有接触点均光滑。 在B杆运动的过程中,两杆交点P的速度大小 为(　　) A. B. C.vcos θ D.vsin θ A 49 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 两杆的交点P参与了两个分运动,与B杆一起以速度v 水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的运动, 交点P的实际运动沿A杆斜向上,如图所示,则交点P的 速度大小为vP＝,故A正确,B、C、D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 8.(2023·连云港高一上学期学业质量调研)某河面宽度为60 m,有一小船 船头垂直于河岸方向渡河,已知船在静水中的速度大小为4 m/s,河水流 速为3 m/s,下列说法正确的是(　　) A.小船渡河的时间为20 s B.小船渡河的实际速度为5 m/s C.小船可以到达河正对岸 D.到达河对岸时,小船的位移大小为60 m B 51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 船头垂直河对岸方向行驶,过河时间最短,为t＝ s＝15 s,故A错 误;船头垂直河对岸方向行驶,由平行四边形定则可知,合速度为v＝ m/s＝5 m/s,方向不垂直于河岸,所以小船不能达 到正对岸,故B正确,C错误;小船沿着水流方向的位移为s＝v水t＝3×15 m ＝45 m,小船渡河的位移为x＝＝ m＝75 m,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 [B组　综合强化练] 9.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定 滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面 上,现物体A以v1的速度向右匀速运动,当 绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时,如 图所示,物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)(　　) A. B. C. D. A 53 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 将A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子 方向进行分解,则有沿着绳子方向的速度 大小为v1cos α;将B物体的速度沿着绳子方 向与垂直绳子方向进行分解,则有沿着绳 子方向的速度大小为vBcos β;由于两物体沿着绳子方向速度大小相等,所以有v1cos α＝vBcos β,因此vB＝,故选A。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 10.(多选)一快艇从离岸边25 m远的河流中央向岸边行驶,行驶中快艇的 行驶方向保持不变。已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示,河中各 处水流速度相同,且速度图像如图乙所示,则(　　) A.快艇的运动轨迹一定为直线 B.快艇的运动轨迹一定为曲线 C.快艇最快到达岸边,经过的位移为25 m D.快艇最快到达岸边,所用的时间为10 s BD 55 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 两分运动一个做匀加速直线运动,一 个做匀速直线运动,合加速度的方向 与合速度的方向不在同一条直线上, 合运动为曲线运动,故A错误,B正确; 船在静水中的速度垂直于河岸时,渡河时间最短,在垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2,由d＝at2得t＝10 s,在沿河岸方向上的位移x＝v2t＝3×10 m＝30 m,所以最终位移x'＝ ＝ m＝5 m,故C错误,D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 11.如图所示为一条河流,水流速度为v,某船从A点 先后两次渡河到对岸,船在静水中行驶的速度为v静, 第一次船头向着AB方向行驶,渡河时间为t1,船的位 移为l1;第二次船头向着AC方向行驶,渡河时间为t2,船的位移为l2,若AB、 AC与河岸垂线方向的夹角相等,则(　　) A.t1＞t2,l1＜l2 B.t1＜t2,l1＞l2 C.t1＝t2,l1＜l2 D.t1＝t2,l1＞l2 D 57 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 由题知先后两次船在垂直于河岸方向上的分速度 相等,渡河时间t＝,所以两次渡河时间相等;设 AB、AC与河岸垂线的夹角为θ,船头向着AB方向行驶时,沿河岸方向v1＝v静sin θ＋v,船头向着AC方向行驶时,沿河岸方向v2＝|v－v静sin θ|＜v1,则沿河岸方向上的位移x1＞x2,又因为垂直河岸方向的位移相等,根据平行四边形定则,l1＞l2,故D正确,A、B、C错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12.如图所示,河宽d＝120 m,设小船在静水中的速度 为v1,河水的流速为v2。小船从A点出发,若出发时船 头指向河对岸上游的B点,经过10 min,小船恰好到达 河正对岸的C点;若出发时船头指向河正对岸的C点, 经过8 min,小船到达C点下游的D点。求: (1)小船在静水中的速度v1的大小; 答案:(1)0.25 m/s 13 59 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 (1)小船从A点出发,若船头指向河正对岸的C点,则 此时垂直河岸方向的位移为d, 故有v1＝ m/s＝0.25 m/s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 (2)河水的流速v2的大小; 答案: (2)0.15 m/s (2)设AB与河岸上游成α角,由题意可知,此时恰好到 达河正对岸的C点,故v1沿河岸方向的分速度大小恰 好等于河水的流速v2的大小,即v2＝v1cos α,此时渡 河时间为t＝,所以sin α＝＝0.8,故v2＝ v1cos α＝0.15 m/s。 61 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离xCD。 答案: (3)72 m (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为xCD＝v2tmin＝72 m。 62 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 [C组　培优选做练] 13.不可伸长的轻绳通过定滑轮,两端 分别与甲、乙两物体连接,两物体分别 套在水平、竖直杆上。控制乙物体以 v＝2 m/s的速度由C点匀速向下运动到 D点,同时甲由A点向右运动到B点,四个位置绳子与杆的夹角分别如图所示,绳子一直绷直,不计滑轮的质量与摩擦。 63 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 已知sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,则下 列说法正确的是(　　) A.甲在A点的速度为2 m/s B.甲在A点的速度为2.5 m/s C.甲由A点向B点运动的过程,速度逐渐增大 D.甲由A点向B点运动的过程,速度先增大后减小 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 将甲的速度沿绳子方向和垂直于绳 子方向分解,如图所示,乙拉绳子的 速度等于甲沿绳子方向的分速度, 设该速度为v绳,根据平行四边形定则 得,甲在B点的实际速度vB＝, 将乙在D点的速度分解可得v绳＝vDcos 37°,联立可得vBcos 53°＝ vDcos 37°,同理,则有vAcos 37°＝vCcos 53°。由于控制乙物体以 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 v＝2 m/s的速度由C点匀速向下运动 到D点,因此甲在A点的速度为vA＝ 1.5 m/s,故A、B错误。设甲与悬点连 线与水平方向夹角为α,乙与悬点连线 与竖直方向夹角为β,由以上分析可得 v甲cos α＝v乙cos β,在乙下降过程中,α角在逐渐增大,β角在逐渐减小,则甲的速度逐渐增大,故C正确,D错误。 $$