内容正文:
2025年九年级中考数学二轮专题图形的性质---四边形
一、解答题:本题共23小题,共184分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
1.如图,四边形为菱形,点为边上一点,连接,点为延长线上一点,连接,若,求证:.
2.如图,在中,两锐角的平分线,相交于点,于点,于点,求证:四边形是正方形.
3.如图,在平行四边形中,平分交于点.
用直尺和圆规作的平分线交于点.
在的条件下,求证:四边形是平行四边形.
4.如图,在中,.
尺规作图:过作于点,并延长到点,使连接,保留作图痕迹,不写作法;
在所作图形中,求证:四边形是菱形.
5.如图,在▱中,点,分别是,的中点,点,在对角线上,且.
求证:≌.
请添加一个条件,使四边形是菱形不要求证明.
6.如图,在▱中,连接,分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧分别相交于点,,作直线,交于点,连接.
求证:是的平分线;
若,,求的周长.
7.如图,在▱中,.
按如下步骤用直尺不带刻度和圆规作图要求:保留作图痕迹,不写作法在上取一点,使;作的平分线交于点;连接.
若,,求出中所作的四边形的面积.
8.如图,四边形是平行四边形,与关于对称,交于点.
仅用无刻度直尺作的中线;
在所作图形中,求证.
9.如图,四边形是平行四边形,,,是边的延长线上的动点,连接,过点作于点.
求证:四边形是正方形.
当是的中点,且时,求的面积.
10.已知:如图,在中,点、分别是边、的中点,过点作的平行线,交射线于点.
求证:四边形是平行四边形;
如果,联结、,求证:四边形为矩形.
11.如图,四边形为平行四边形,对角线的垂直平分线分别交边,于点,,垂足为.
求证:四边形为菱形;
在的延长线上取一点,使,连接若为的中点,且,,求的面积.
12.如图,在▱中,对角线与相交于点,,过点作交于点.
求证:∽;
若,,求的长.
13.如图,在平行四边形中,,,是对角线上的点,且,连接,,,求证:四边形是菱形.
14.如图,在正方形中,点为对角线上一点,连接.
请用无刻度的直尺和圆规,过点作的垂线,交于点保留作图痕迹,不写作法
求证:.
15.如图,与的边,在同一条直线上,,且求证:四边形是平行四边形.
16.如图,在正方形中,,分别是,的中点,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹.
在图中,作一条线段与线段平行且等于线段的长的两倍.
在图中,将线段绕点顺时针旋转得到线段.
17.【阅读材料】
老师的问题:已知:如图,在中,求作:矩形.
小明的作法:
分别以点,为圆心,大于的长为半径作弧,两弧分别交于点,;作直线,交于点;
连接并延长,截取;
连接,四边形就是所求作的矩形.
【解答问题】
请根据材料中的信息,证明四边形是矩形.
18.追本溯源题来自于课本中的习题,请你完成填空,并完成题:
如图,把一个长方形纸片按如图方式折一下,得到四边形是______;填“特殊的四边形”的名称
拓展应用
如图,将图中的长方形纸片过点的直线折叠,使得点恰好落在上的处,为折痕若,求.
19.如图,在等边三角形中,点在上,点在边上,和的两条平分线交于点,在下方,上方,且.
如图,求证:三角形是等边三角形.
如图,在上找一点,使连接,连接交于点,求证:四边形是平行四边形.
20.追本溯源题是北师大版初中数学九年级上册第页例题,请你完成解答,提炼方法后,完成题.
如图,在正方形中,为边上一点,为延长线上一点,且请问与之间有怎样的关系?请说明理由.
方法应用:
如图,将边长为的正方形沿着折叠,点的对应点恰在边上,已知,求折痕的长.
21.已知四边形中,连接,过点作的垂线交于点,连接.
如图,若,求证:四边形是菱形;
如图,连接,设,相交于点,若垂直平分线段,请直接写出图中与相等的角除外.
22.在学习了矩形与菱形的相关知识后,智慧小组进行了更深入的研究,他们发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论根据他们的想法与思路,完成以下作图和填空:
如图,在矩形中,点是对角线的中点用尺规过点作的垂线,分别交,于点,,连接,不写作法,保留作图痕迹.
已知:矩形,点,分别在,上,经过对角线的中点,且求证:四边形是菱形.
证明:四边形是矩形,
.
______,.
点是的中点,
______.
≌.
______.
又,
四边形是平行四边形.
,
四边形是菱形.
进一步思考,如果四边形是平行四边形呢?请你模仿题中表述,写出你猜想的结论: ______.
23.在学习了平行四边形的相关知识后,小艾进行了更深入的研究,他发现:对于一个邻边不相等的平行四边形,作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交,再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交,则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论根据他的想法与思路,完成以下作图和填空:
如图,四边形是平行四边形,的平分线与交于点用尺规作图:过点作的垂线,交于点,交于点,连接不写作法,保留作图痕迹;
已知:四边形是平行四边形,的平分线与交于点点在边上,且于点,连接求证:四边形是平行四边形.
证明:四边形是平行四边形,
,,
.
平分,
______,
,
______.
,
.
在和中,
≌,
,
______,
,即,
______,
四边形是平行四边形.
进一步思考,如果四边形是矩形呢?请你模仿题中的表述,写出你猜想的结论:四边形是 ______.
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2025 年九年级中考数学二轮专题图形的性质---四边形
一、解答题:本题共 23 小题,共 184 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
1.如图,四边形����为菱形,点�为��边上一点,连接��,点�为��延长线上一点,连接��,若∠��� = ∠���,
求证:�� = ��.
2.如图,在�� △ ���中,两锐角的平分线��,��相交于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,求证:四
边形����是正方形.
3.如图,在平行四边形����中,��平分∠���交��于点�.
(1)用直尺和圆规作∠���的平分线交��于点�.
(2)在(1)的条件下,求证:四边形����是平行四边形.
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4.如图,在△ ���中,�� = ��.
(1)尺规作图:过�作�� ⊥ ��于点�,并延长��到点�,使�� = ��.连接��,��保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作图形中,求证:四边形����是菱形.
5.如图,在▱����中,点�,�分别是��,��的中点,点�,�在对角线��上,且�� = ��.
(1)求证:△ ���≌△ ���.
(2)请添加一个条件,使四边形����是菱形(不要求证明).
6.如图,在▱����中,连接��,分别以点�和点�为圆心,大于12��的长为半径作弧,两弧分别相交于点�,
�,作直线��,交��于点�,连接��.
(1)求证:��是∠���的平分线;
(2)若�� = 5,�� = 2,求△ ���的周长.
7.如图,在▱����中,�� > ��.
(1)按如下步骤用直尺(不带刻度)和圆规作图. (要求:保留作图痕迹,不写作法. )①在��上取一点�,使�� =
��;②作∠���的平分线交��于点�;③连接��.
(2)若∠��� = 60°,�� = 6,求出(1)中所作的四边形����的面积.
第 3页,共 9页
8.如图,四边形����是平行四边形,△ �′��与△ ���关于��对称,�′�交��于点�.
(1)仅用无刻度直尺作△ ���的中线��;
(2)在(1)所作图形中,求证�� ⊥ ��.
9.如图,四边形����是平行四边形,�� = ��,�� ⊥ ��,�是边��的延长线上的动点,连接��,过点�
作�� ⊥ ��于点�.
(1)求证:四边形����是正方形.
(2)当�是��的中点,且�� = 8 2时,求△ ���的面积.
10.已知:如图,在△ ���中,点�、�分别是边��、��的中点,过点�作��的平行线,交射线��于点�.
(1)求证:四边形����是平行四边形;
(2)如果�� = ��,联结��、��,求证:四边形����为矩形.
11.如图,四边形����为平行四边形,对角线��的垂直平分线��分别交边��,��于点�,�,垂足为�.
(1)求证:四边形����为菱形;
(2)在��的延长线上取一点�,使�� = ��,连接��.若�为��的中点,且∠� = 15°,�� = 8,求△ ���的面
积.
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12.如图,在▱����中,对角线��与��相交于点�,∠��� = ∠���,过点�作�� ⊥ ��交��于点�.
(1)求证:△ ���∽△���;
(2)若�� = 10,�� = 16,求��的长.
13.如图,在平行四边形����中,�� = ��,�,�是对角线��上的点,且�� = ��,连接��,��,��,��.
求证:四边形����是菱形.
14.如图,在正方形����中,点�为对角线��上一点,连接��.
(1)请用无刻度的直尺和圆规,过点�作��的垂线,交��于点�. (保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:�� = ��.
15.如图,▵���与▵���的边��,��在同一条直线上,��//��,��//��且�� = ��.求证:四边形����
是平行四边形.
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16.如图,在正方形����中,�,�分别是��,��的中点,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留
作图痕迹).
(1)在图 1 中,作一条线段与线段��平行且等于线段��的长的两倍.
(2)在图 2 中,将线段��绕点�顺时针旋转 90°得到线段��.
17.【阅读材料】
老师的问题:已知:如图,在�� △ ���中,∠��� =
90°.求作:矩形����.
小明的作法:
(1)分别以点�,�为圆心,大于12��的长为半径作弧,
两弧分别交于点�,�;(2)作直线��,交��于点�;
(3)连接��并延长,截取�� = ��;
(4)连接��,��.四边形����就是所求作的矩形.
【解答问题】
请根据材料中的信息,证明四边形����是矩形.
第 6页,共 9页
18.追本溯源题(1)来自于课本中的习题,请你完成填空,并完成题(2):
(1)如图 1,把一个长方形纸片����按如图方式折一下,得到四边形����是______;(填“特殊的四边形”
的名称)
拓展应用
(2)如图 2,将图(1)中的长方形纸片过点�的直线折叠,使得点�恰好落在��上的�处,��为折痕.若��//
��, �� = 4 2,求��.
19.如图,在等边三角形���中,点�在��上,点�在边��上,∠���和∠���的两条平分线交于点�,�在��
下方,��上方,且�� = ��.
(1)如图 1,求证:三角形���是等边三角形.
(2)如图 2,在��上找一点�,使��2 = �� ⋅ ��.连接��,连接��交��于点�,求证:四边形����是平行四
边形.
第 7页,共 9页
20.追本溯源题(1)是北师大版初中数学九年级上册第 21 页例题,请你完成解答,提炼方法后,完成题(2).
(1)如图 1,在正方形����中,�为��边上一点,�为��延长线上一点,且�� = ��.请问��与��之间有怎
样的关系?请说明理由.
方法应用:
(2)如图 2,将边长为 24 的正方形����沿着��折叠,点�的对应点�恰在��边上,已知�� = 17,求折痕��
的长.
21.已知四边形����中,�� = ��.连接��,过点�作��的垂线交��于点�,连接��.
(1)如图 1,若��/ /��,求证:四边形����是菱形;
(2)如图 2,连接��,设��,��相交于点�,若��垂直平分线段��,请直接写出图中与∠���相等的角(∠���
除外).
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22.在学习了矩形与菱形的相关知识后,智慧小组进行了更深入的研究,他们发现,过矩形的一条对角线的
中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用
证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路,完成以下作图和填空:
(1)如图,在矩形����中,点�是对角线��的中点.用尺规过点�作��的垂线,分别交��,��于点�,�,连
接��,��(不写作法,保留作图痕迹).
(2)已知:矩形����,点�,�分别在��,��上,��经过对角线��的中点�,且�� ⊥ ��.求证:四边形����
是菱形.
证明:∵四边形����是矩形,
∴ ��//��.
∴ ① ______,∠��� = ∠���.
∵点�是��的中点,
∴ ② ______.
∴△ ���≌△ ���(���).
∴ ③ ______.
又∵ �� = ��,
∴四边形����是平行四边形.
∵ �� ⊥ ��,
∴四边形����是菱形.
进一步思考,如果四边形����是平行四边形呢?请你模仿题中表述,写出你猜想的结论:④ ______.
第 9页,共 9页
23.在学习了平行四边形的相关知识后,小艾进行了更深入的研究,他发现:对于一个邻边不相等的平行四
边形,作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交,再过该短边的另一个端点作
这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交,则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形
是平行四边形.他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论.根据他的想法与思路,完成
以下作图和填空:
(1)如图,四边形����是平行四边形,∠���的平分线与��交于点�.用尺规作图:过点�作��的垂线,交��
于点�,交��于点�,连接��(不写作法,保留作图痕迹);
(2)已知:四边形����是平行四边形,∠���的平分线与��交于点�.点�在边��上,且�� ⊥ ��于点�,连
接��.求证:四边形����是平行四边形.
证明:∵四边形����是平行四边形,
∴ �� = ��,��//��,
∴ ∠��� = ∠���.
∵ ��平分∠���,
∴ ① ______,
∴ ∠��� = ∠���,
∴ ② ______.
∵ �� ⊥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 90°.
在△���和△���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
∴△ ���≌△���(���),
∴ �� = ��,
∴ ③ ______,
∴ �� − �� = �� − ��,即�� = ��,
∵ ④ ______,
∴四边形����是平行四边形.
进一步思考,如果四边形����是矩形呢?请你模仿题中的表述,写出你猜想的结论:四边形����是⑤
______.
参考答案
1.【答案】证明:四边形是菱形,
,,
,
,,
,
,,
,
在和中,
,
≌,
.
2.【答案】证明:如图,作于点,
,
于点,于点,
.
,
四边形是矩形.
平分,
.
平分,
,
,
四边形是正方形.
3.【答案】解:如图,射线即为所求.
证明:四边形是平行四边形,
,,
平分,平分,
,
.
,
,
,
,
四边形是平行四边形.
4.【答案】解:如图所示,即为所求;
证明:,,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形.
5.【答案】证明:在平行四边形中,,,
,
点,分别是,的中点,
,
在与中,,
解:答案不唯一证明如下:
,
,,
,
,
,
四边形是平行四边形,
四边形是菱形.
6.【答案】证明:由作图过程可知,直线为线段的垂直平分线,
,
.
四边形为平行四边形,
,
,
,
是的平分线.
解:四边形为平行四边形,
,,
,
的周长为.
7.【答案】解:图形如图所示:
连接,
四边形是平行四边形,
,
,
平分,
,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形,
,,
是等边三角形,
四边形的面积的面积.
8.【答案】解:如图,连接交于点,连接,即为所求;
证明:对称,
.
四边形是平行四边形,
,
,
.
,
由可知为中线,
.
9.【答案】证明:四边形是平行四边形,,,
菱形为正方形;
解:如图,连接,
是边的延长线上的动点,于点,点为的中点,,
为线段的垂直平分线,
,,
,
四边形为正方形,
,,
在中,由勾股定理得:,
,
负值舍去,
.
10.【答案】证明:点、分别是边、的中点,
是的中位线,
,
,
四边形是平行四边形;
如图,由可知,,四边形是平行四边形,
,
点是的中点,
,
,
四边形是平行四边形,
,
,
,
平行四边形为矩形.
11.【答案】证明:垂直平分,
,,
四边形是平行四边形,
,
,
在与中,
,
≌,
,
又,
四边形是平行四边形,
又,
平行四边形为菱形;
解:,
,
,
四边形为菱形,
为的中点,
为线段的中点,
是三角形的中位线,
,
,
,,
,,
如图,作,垂足为,则,
,
则.
12.【答案】证明:,
,
▱是菱形,
,
,
,
,
,
,
∽;
解:▱是菱形,
,,
,
,
∽,
,
即,
解得:,
即的长为.
13.【答案】证明:如图,设交于点,
,四边形是平行四边形,
平行四边形是菱形,
,,,
,
,
即,
四边形是平行四边形,
又,
平行四边形是菱形.
14.【答案】解:如图,即为所作:
证明:过点作交的延长线于点,
四边形是正方形,
,
,
,
,
,
,
在和中,
,
≌,
.
15.【答案】证明:,,即.,,,,,又,四边形是平行四边形.
16.【答案】解:如图,即为所求.
如图,连接,相交于点,连接并延长,交于点,连接,
四边形是正方形,
,,,是、的中点,
,分别是,的中点,
是的中位线,
,,
,
,分别是,的中点,
,
是的中点,
是的中位线,
,,
,
,,
则线段即为所求.
17.【答案】证明:由作图得垂直平分,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是矩形.
18.【答案】正方形
19.【答案】【小题】
证明:为等边三角形,
,,
又,
,
为等边三角形,
,
,
,
又平分,
,
同理,,
为等边三角形;
【小题】
证明:为等边三角形,
,,
同理:,
故.
,
,
又,
,
,
,
,
同理,
,
,
,
,
又,
四边形为平行四边形.
20.【答案】解:,理由为:
是正方形,
,,
又,
≌,
;
连接,过点作,点为垂足,
正方形的边长为,
,是矩形,
,,,
,
将边长为的正方形沿着折叠,点的对应点恰在边上,
,
,
,
≌,
.
21.【答案】证明:设、交于点,
,,
垂直平分,.
.
,
,
≌,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形.
解:,,,.
设、交于点,
垂直平分线段,
,,
,,
垂直平分,
,
,,
,
,
.
22.【答案】解:图形如图所示:
证明:四边形是矩形,
.
,.
点是的中点,
.
≌.
.
又,
四边形是平行四边形.
,
四边形是菱形.
猜想的结论:四边形是菱形.
故答案为:,,,四边形是菱形.
23.【答案】 矩形
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