专题03 平行四边形（4大基础题+4大提升题，人教版）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01利用平行四边形的性质求解 题型01平行四边形的性质与判定综合 题型02利用矩形的性质求解 题型02矩形的性质与判定的综合问题 题型03利用菱形的性质求解 题型03菱形的判定与性质综合性问题 题型04利用正方形的性质求解 题型04正方形的性质与判定的综合问题 平行四边形的性质求解题型01 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）平行四边形中，若比小，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 5．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是 ． 6．（24-25九年级上·江西抚州·期中）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    利用矩形的性质求解题型02 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 2．（24-25八年级下·全国·期中）矩形的对角线相交于点O， ， ， 则这个矩形的对角线长是 ． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，，，则的面积是 ． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 利用菱形的性质求解题型03 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，已知，，那么菱形的面积为 ． 2．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，E为的中点，若，则菱形的周长为 ． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离 ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，平移到的位置，且点在边的延长线上，连接，若，那么在以下四个结论：①四边形是平行四边形；②四边形是菱形；③；④平分，正确的有 ． 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ． 利用正方形的性质求解题型04 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    3．（24-25九年级上·江西鹰潭·期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）正方形的边长为8，点E在边上，，点F在正方形的边上，且，与交于点P，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．    平行四边形的性质与判定综合题型01 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 3．（22-23八年级下·河南漯河·期中）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，点为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长度． 5．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接、． (1)直接写出、的数量关系 　　． (2)连接、，判断四边形的形状，并给予证明． (3)若，，，四边形的面积为 　　． 矩形的性质与判定的综合问题题型02 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)与之间的关系是什么？请说明理由． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，为边上的中线，延长至E，使，连接． (1)试判断四边形的形状； (2)当满足________时四边形是矩形． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为四边形的对角线，过点作于点，延长至点，使得，连接，已知，． (1)四边形是矩形吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 菱形的判定与性质综合性问题题型03 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C，与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接，若 求四边形的面积． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求证：四边形是菱形． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上的中点，延长至点，使得于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 5．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 正方形的性质与判定的综合问题题型04 1．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 2．（24-25九年级上·海南三亚·期中）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 3．（24-25九年级上·江西九江·期中）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 4．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，． （2）求证：． （3）求证：平分． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01利用平行四边形的性质求解 题型01平行四边形的性质与判定综合 题型02利用矩形的性质求解 题型02矩形的性质与判定的综合问题 题型03利用菱形的性质求解 题型03菱形的判定与性质综合性问题 题型04利用正方形的性质求解 题型04正方形的性质与判定的综合问题 平行四边形的性质求解题型01 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）平行四边形中，若比小，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质确定，把代入即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形中，比小， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而． 【详解】解：连接交于O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】连接，过A作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知，当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过A作于， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， ∵平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴由得， 即的最小值为, ∴的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线性质，将的最小值转化为求的最小值是解答的关键． 6．（24-25九年级上·江西抚州·期中）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    【答案】或/或 【知识点】三线合一、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 根据，不妨设，当在之间时，由翻折的性质知：，可得，，由三线合一得到，继而由可求解；当在的延长线上时，同理可求解． 【详解】解：当在之间时，作下图，    根据，不妨设， 由翻折的性质知：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 沿直线翻折至所在直线， ， ， ， ∵过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图，    根据，不妨设， 同理知：， ∵过作的垂线交于， ， 故答案为：或． 利用矩形的性质求解题型02 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·全国·期中）矩形的对角线相交于点O， ， ， 则这个矩形的对角线长是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质和等边三角形的判定定理证明是等边三角形，得到，则可得到，再由含30度角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的对角线的长是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法等知识点，连接,先证明四边形是矩形，得出,当时最短，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果，熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：连接,如图所示： , , , 四边形是矩形， , ,,, ， 当时，最短，此时的面积, 的最小值, 线段的最小值为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查角平分线的性质，矩形的性质，二次根式的乘法运算，勾股定理的应用，根据过作，结合角平分线得到，再求解，再利用面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：过作， 由作图可得， 平分， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，则， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 【答案】或2 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题是矩形的折叠问题，主要考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论并准确画出相关图形，是解答本题的关键．设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为，设，分两种情况讨论：当点F在边时，画出图形，过E点作于点N，先证明四边形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答；当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点，同理证明四边形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答． 【详解】设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为， 设，当点F在边时，如图，过E点作于点N， ， 根据折叠有：， , ， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得，即， 当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点， 根据折叠有：， , ， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， , 在中，， ， ，即， 的长为或2， 故答案为：或2． 利用菱形的性质求解题型03 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，已知，，那么菱形的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质；根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图所示， 解：∵在菱形中，，， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，E为的中点，若，则菱形的周长为 ． 【答案】24 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长； 故答案为：24． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵菱形两对边的距离为， ∴ ∴； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，平移到的位置，且点在边的延长线上，连接，若，那么在以下四个结论：①四边形是平行四边形；②四边形是菱形；③；④平分，正确的有 ． 【答案】①②③④ 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质，根据平移的性质可得，，据此根据平行四边形的判定定理，菱形的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵平移到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴，平分，故④正确 ∵， ，故③正确； 故答案为：①②③④。 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质，勾股定理；延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，则，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图，      四边形为菱形， ，， ， 由作法得垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 利用正方形的性质求解题型04 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】过C作轴于E，轴于H，根据矩形的性质得到，，，求得，，得到，过D作于F，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到结论．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过C作轴于E，轴于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过D作于F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质，可得，又由，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，进一步即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江西鹰潭·期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 【答案】15 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出是等边三角形是解题关键．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 在菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质是解决问题的关键，先证明是等腰直角三角形得，再证明和全等得则，由此可得出与应满足的数量关系． 【详解】解∶∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 在和中， ． ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为∶． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）正方形的边长为8，点E在边上，，点F在正方形的边上，且，与交于点P，则的长为 ． 【答案】5或/或5 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点F在上、点F在上两种情况，分别依据全等三角形的性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②如图2所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：5或． 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．    【答案】4或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分两种情况，当点F在边时，当点F在边上时，根据正方形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， 当点F在边时，如图，    ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在边上时，如图，    ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：4或 平行四边形的性质与判定综合题型01 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、证明四边形是平行四边形 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质得，再结合可得，接下来说明是等边三角形，然后得出，进而得出，即可得出答案； 对于（2），由（1），得，再根据平行四边形的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即． ∵ ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：． ∵是等边三角形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，灵活选择平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河南漯河·期中）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，点为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接、、， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ． 5．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接、． (1)直接写出、的数量关系 　　． (2)连接、，判断四边形的形状，并给予证明． (3)若，，，四边形的面积为 　　． 【答案】(1)，详见解析 (2)四边形是平行四边形，详见解析 (3) 【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形线定义以及全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可． （3）根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1），理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又，分别是、的中点， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）得， ， 又， 四边形是平行四边形． （3），，， ， 是的中点， ， ； 【点睛】此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和三角形中位线定义以及全等三角形的判定得出解答． 矩形的性质与判定的综合问题题型02 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)与之间的关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，，理由见解析． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判断即可得证； （2）利用矩形的性质可求，根据三角形中线可得，得出是的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）证明：中，，是中线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形， ， 中，是中线， ， 是的中位线， ，． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，为边上的中线，延长至E，使，连接． (1)试判断四边形的形状； (2)当满足________时四边形是矩形． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的判定等知识． （1）证明四边形的对角线互相平分，即可得到结论； （2）当时，根据矩形的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，平行四边形是矩形． 故答案为： 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为四边形的对角线，过点作于点，延长至点，使得，连接，已知，． (1)四边形是矩形吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形 【分析】（1）由垂线及相似三角形的性质得，，进而证明，，得，，从而证明四边形是平行四边形，即可得四边形是矩形； （2）由（1）得四边形是矩形，，从而得，，由勾股定理得，进而利用面积法即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形； （2）解：由（）得四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据得到，即可求证； （2）由得到为等边三角形，求得、，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴，点为线段的中点， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． （2）解：∵，， ∴为等边三角形． ∴， 由（）得， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 菱形的判定与性质综合性问题题型03 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C，与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接，若 求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）过点作，过点作，先证明是平行四边形，根据等积法求出，即可得证； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∵矩形和矩形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）由（1）知：四边形是菱形， ∴四边形的面积． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识． （1）由，，，易证得，即可得，，再证得，即可判定四边形是平行四边形； （2）首先证得，利用，得到是等边三角形，进而推导出，得到四边形是菱形． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ，， ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，， ∴， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形（已证） 四边形是菱形． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上的中点，延长至点，使得于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）进行推理即可． （2）根据勾股定理求出长，菱形的性质（菱形的四条边相等）得到的长从而求出长，再根据菱形的面积公式（面积）建立等式，求解得到答案． 【详解】（1）解：证明：是边上的中点， ． ， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） （有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形） 四边形是菱形． （2）， ． 在中，． 由（1），可得（菱形的四条边相等） ． 在中，． ， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质及判定，平行四边形的判定，勾股定理，正确掌握并灵活运用相关的性质定理公式是是解题的关键． 5．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，推出四边形是平行四边形，根据，即可得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴设，则 在中，由勾股定理，得：， ∴ ∴， ∴的长为． 正方形的性质与判定的综合问题题型04 1．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，再根据正方形的判定，即可证得答案； （2）连接，先证明，可证明，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，于点N， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：连接， 四边形和都是正方形， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·海南三亚·期中）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）①由已知并结合正方形的性质得，证明，即可得证； ②设交于点，推出，得到，则，继而得到，由，得，则，证明四边形是正方形，即可求得线段的长； （2）作交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，则，再证明，得，因为，得，则，再证明，即可得证． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：如图1，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点， ∵，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵，； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江西九江·期中）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； （1）由菱形的性质得出，，由已知证出，由证明即可； （2）由三角形中位线定理证出，，，得到，证出四边形是菱形，再证出，进而得四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 4．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， （2）连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，． （2）求证：． （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解； （2）由线段垂直平分线性质可得，再由等腰三角形性质可得，推出，即是等腰直角三角形，得出，利用勾股定理可得，即可证得结论； （3）过点P作的平行线分别交、于点M、N，可证得，得，再证明是等腰直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得：，， ∴ ， 故的度数为．   （2）证明：如图，由（1）知， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴．     （3）解：如图3，过点P作的平行线分别交、于点M、N，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$