专题02 勾股定理（6大基础题+6大提升题，人教版）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01勾股数的判断 题型01利用勾股定理求解边长的多解问题 题型02判断能否构成直角三角形 题型02勾股定理及逆定理与网格问题 题型03以直角三角形三边为边长的图形面积 题型03利用勾股定理及逆定理求解 题型04已知直角三角形的两边，求第三边长 题型04勾股定理逆定理的实际应用 题型05利用勾股定理解三角形 题型07勾股定理的证明方法 题型06利用等面积法求直接斜边上的高问题 题型06勾股定理解决几何图形中最短路径问题 勾股数的判断题型01 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 3．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，1，2 B．1，，2 C．3，4，5 D．，， 5．（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 判断能否构成直角三角形题型02 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 以直角三角形三边为边长的图形面积题型03 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    已知直角三角形的两边，求第三边长题型04 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，根据图中标注在点所表示的数为 ． 2．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点为点．若点恰好与点重合，且，则线段的长为 ． 利用勾股定理解三角形题型05 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）中， ，过A作，垂足为H，求的长． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，在中，是边上的高，，求的长． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 4．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接． (1)求的度数； (2)如图1，可得线段，，的数量关系为 ；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 5．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 利用等面积法求直接斜边上的高问题题型06 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）等腰三角形的两条边长分别为10和16，那么该等腰三角形底边上的高为 ． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）在等腰三角形中，，，则边上的高是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，，，边上的高为3，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）直角三角形两直角边长分别为和，则它斜边上的高为 ． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点，作射线，交边于点．已知． （1）的长为 ． （2）边上的高为 ． 利用勾股定理求解边长的多解问题题型01 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为 ． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为，P为y轴上一点，且使为等腰三角形，则满足条件的点P的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 4．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，始终经过点C，斜边交于点D．在点P滑动过程中，为等腰三角形时，则点P与点B的距离为 ． 勾股定理及逆定理与网格问题题型02 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，每个小正方形的边长为1，请借用网格解决以下问题： (1)如图所示，请计算的面积； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点．分别按相应要求解决问题（图中给出的所有点均在格点上）． (1)在图①中画一个，使点在格点上，且； (2)在图②中画一条线段，使； (3)小星在图③中画了一个格点，猜想说明的形状并求出它的面积． 利用勾股定理及逆定理求解题型03 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知如图，某建筑物地基四边形，经测量米，米，米，米，且，求此建筑物地基四边形的面积．    3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，连接． (1)若，，求的面积； (2)若，，求的长． 勾股定理逆定理的实际应用题型04 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是公园中的一块空地，． (1)连接，判断的形状并说明理由； (2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 3．（24-25八年级上·江西鹰潭·期中）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离． (1)判断支架是否垂直； (2)求点C到的距离． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)若小路的修建费用为每米100元，求修建小路共需多少元． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 勾股定理的证明方法题型05 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，． (1)判断：与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 勾股定理解决几何图形中最短路径问题题型06 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 5．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01勾股数的判断 题型01利用勾股定理求解边长的多解问题 题型02判断能否构成直角三角形 题型02勾股定理及逆定理与网格问题 题型03以直角三角形三边为边长的图形面积 题型03利用勾股定理及逆定理求解 题型04已知直角三角形的两边，求第三边长 题型04勾股定理逆定理的实际应用 题型05利用勾股定理解三角形 题型07勾股定理的证明方法 题型06利用等面积法求直接斜边上的高问题 题型06勾股定理解决几何图形中最短路径问题 勾股数的判断题型01 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，注意：①一组勾股数中的三个数必须是正整数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．掌握勾股数的定义是解题的关键． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，不是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，求出两个较小正整数的平方和与最大整数的平方进行比较． 根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数进行判断即可． 【详解】解：∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，是勾股数； 综上所述：勾股数有1组． 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，1，2 B．1，，2 C．3，4，5 D．，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数， 根据定义逐项判断即可，满足的三个正整数，即为勾股数． 【详解】因为，所以这三个数不是勾股数，则A不符合题意； 因为不是正整数，所以B不符合题意； 因为，且都是正整数，所以C符合题意； 因为不是正整数，所以D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．根据题意可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意，， 则， 解得，则， 所以． 故选：A． 判断能否构成直角三角形题型02 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B ． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③． 【详解】解：∵ ∴最大的，故①不符合题意； ∵， ∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴，则该是直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴，则该是直角三角形，故④符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴三个角满足关系的三角形是直角三角形，不符合题意； 、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴的三角形不是直角三角形，符合题意； 、∵， ∴， ∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意； 、结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数）， ∵， ∴的三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故B符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴设， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 以直角三角形三边为边长的图形面积题型03 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【答案】5 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形面积公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为14，正方形的面积为19， ，. ， ， 的面积． 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据题意，得，，根据勾股定理，得，代入解答即可． 本题考查了圆的面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，然后由勾股定理解答即可，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，如图， 由勾股定理得：，，， ∴； ∴正方形的面积， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得、，如果是等腰直角三角形，则有，根据等腰直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可求． 【详解】解：如下图所示， 若，则有， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， 同理可得：， ， 是等腰直角三角形， ，， ． 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得，利用正方形的性质证明和，根据全等三角形的面积相等，从而得出，，再根据三个正方形面积的关系可得出，从而可得阴影面积之和． 【详解】解：如图，设，，，   ∵在中，， ∴， ∵四边形，四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴ ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ， ， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积之和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，运用了等积变换的思想方法．运用等积变换是解题的关键． 已知直角三角形的两边，求第三边长题型04 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，根据图中标注在点所表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：，即点到表示的点的距离为， 那么点到原点的距离为个单位， 点在原点的右侧， 点所表示的数为 故答案为： 2．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 正方形的面积， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质．构造辅助线证是等腰三角形是解题的关键．过点D作于F，过点D作于G，得到， ，，，证，再求出，即可求得． 【详解】解：如图，过点D作于F，过点D作于G， ，，，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换，勾股定理；解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设 ，则，根据勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴由勾股定理得：， 根据折叠的性质，，，， ∴， 在中，设 ，则， 根据勾股定理得：， 解得， ∴， ∴． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点为点．若点恰好与点重合，且，则线段的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理得到是解题关键． 先用勾股定理求出的长，设，再用勾股定理列方程即可． 【详解】解：将沿直线翻折，点的对应点为点． ，， ，且， ， 在中，， ， 设， 则， 中，，即， 解得， 则线段的长为， 故答案为：． 利用勾股定理解三角形题型05 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）中， ，过A作，垂足为H，求的长． 【答案】的长为12 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，求出的长是解此题的关键． 设，则，证明，在和中，由勾股定理列出方程，解方程求出，然后根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 由勾股定理得：， 故的长为12． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积．利用面积法求得斜边的长度，然后在中，利用勾股定理来求线段的长度． 【详解】解：如图，在中，是边上的高，，， ，即， 解得． 又在中，，， ． 线段的长度是6． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析； (2)4 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理： （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接． (1)求的度数； (2)如图1，可得线段，，的数量关系为 ；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1)45度 (2)，发生变化，为，见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、多边形内角和问题 【分析】（1）在射线上截取，由多边形的内角和公式可得，进而可得，结合，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，即，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，于是得解； （2）由（1）可得，，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得线段，，的数量关系；过点作交于点，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由可得，即，利用可证得，于是可得，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：如图，在射线上截取，   直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：，，， 由勾股定理可得：， ， 即：线段，，的数量关系为， 故答案为：； 将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系发生变化，关系是，理由如下： 如图，过点作交于点，   ， ， 直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），勾股定理，多边形内角和问题，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长度，进而求得，连接，过点作于点，再由三角形的面积公式建立等式求解，即可解题； （2）由题知，，由勾股定理求出，根据建立等式求解，即可解题； （3）根据将周长分为两部分，分两种情况①在上运动，②在上运动，讨论求解，即可解题； 【详解】（1）解：，，， ， 由题知，当秒时，， 连接，过点作于点， 即， 解得， 点到的距离是， 故答案为： （2）解：由题知，，， ， 当时， 可得 整理得， 解得， 故答案为： （3）解：将周长分为两部分， ，， ①在上运动， 由题知，，，，，， ， 解得； ②在上运动， ， ， 解得 综上所述，的值为或； 利用等面积法求直接斜边上的高问题题型06 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）等腰三角形的两条边长分别为10和16，那么该等腰三角形底边上的高为 ． 【答案】6或 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理，分腰长为10和腰长为16两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，为等腰三角形，，， 则：， ∴， 当，时：； 当，时：； 故答案为：6或． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）在等腰三角形中，，，则边上的高是 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用和等腰三角形的性质，根据题意作出高线，根据三线合一可得，进而在中，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点A作于点， ，， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，，，边上的高为3，则 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】解：如图所示，为边上的高    ∵，， ∴在中，， ∴， 在中， 如图所示，为边上的高    ∴在中，， ∴， 在中， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）直角三角形两直角边长分别为和，则它斜边上的高为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高，设斜边上的高为h，先利用勾股定理求出斜边长为10，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：设斜边上的高为h， ∵直角三角形两直角边长分别为和， ∴斜边长为， ∵该三角形的面积， ∴， ∴该直角三角形它斜边上的高为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点，作射线，交边于点．已知． （1）的长为 ． （2）边上的高为 ． 【答案】 3 【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)、二次根式的除法 【分析】本题考查基本尺规作图-作垂线、勾股定理，二次根式的除法运算，熟练掌握基本作图是解答的关键． （1）根据基本作图过程知，再利用勾股定理求解即可． （2）利用勾股定理先求解，设上的高为，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：（1）由基本作图知， ∵，， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得：， ∵， 设上的高为， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 利用勾股定理求解边长的多解问题题型01 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质．如图1，作于，则，由勾股定理得，，由题意知，当是直角三角形时，，分①在上，②在上，两种情况求解即可． 【详解】解：如图1，作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由题意知，当是直角三角形时，， ①当点在上时，如图1，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； ②当点在上时，如图2，， ∴． ∴． ∴． ∴， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为，P为y轴上一点，且使为等腰三角形，则满足条件的点P的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、三线合一 【分析】如图，当时，过作轴于，而A点坐标为，结合等腰三角形的性质可得，如图，当时，可得，可得或，证明为等边三角形，可得当时，此时，从而可得答案. 【详解】解： ∵P为y轴上一点，如图， 当时，过作轴于，而A点坐标为， ∴， ∴， 如图，当时， ∵A点坐标为， ∴， ∴， ∴或， 此时， ∴， ∴为等边三角形， ∴当时， 此时， 综上：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出图形是解本题的关键. 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论的思想： 利用勾股定理求出，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； ∵， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒． 【答案】或4或6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形，勾股定理的知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．过点D作于点N，根据角平分线的性质得出，通过，，，证明，利用勾股定理求出因为是以为腰的等腰三角形，动点M的速度是每秒，设点M的运动时间为，然后分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：过点D作于点N， 由题意得：中， 根据勾股定理可得： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 设则 ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴ ∵是以为腰的等腰三角形，动点M的速度是每秒 设点M的运动时间为， 如图1所示，当时，， 解得：； 当时，分两种情况： 当M在边上运动时，如图2所示： 由题意可知： ∵， ∴ ∵ ∴ 此时； 当M在边上运动时，如图3所示： 此时 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 综上所述：点M的运动时间为或4或6秒． 故答案为：或4或6． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，始终经过点C，斜边交于点D．在点P滑动过程中，为等腰三角形时，则点P与点B的距离为 ． 【答案】0或或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】依题意分三种情况讨论如下：①当时，则，进而得，过点P作于D，则是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出BP即可；②当时，则，进而得，然后在中根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出BP即可；③当时，则，此时点B于点P重合，点D于点A重合，由此可得的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在点P滑动过程中，为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，则， ∴， 过点P作于E，如图1所示： 则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴，如图2所示： 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴ ③当时，则， 此时点B于点P重合，点D于点A重合，如图3所示： ∴， 综上所述：点P与点B的距离为0或或． 故答案为：0或或． 【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 勾股定理及逆定理与网格问题题型02 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)4 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，作图一轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理求出，，，由于，则不是直角三角形； （2）根据轴对称的性质即可画出； （3）利用网格，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，，， ， 不是直角三角形， 故答案为：不是； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)13、52、65； (2)是直角三角形，证明见解析． 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 故答案为：13、52、65； （2）解：是直角三角形． 证明：，， ， 是直角三角形，且． 3．（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，每个小正方形的边长为1，请借用网格解决以下问题： (1)如图所示，请计算的面积； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 【知识点】二次根式的乘法、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了根据网格求三角形面积，勾股定理和无理数，勾股定理逆定理． （1）用割补法即可解答； （2）由，确定，，，根据勾股定理逆定理，即可确定形状． 【详解】（1）解：． （2）解：∵，， 如图所示，即为所求． ， 即， ∴是直角三角形． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【答案】(1)；；5 (2)是直角，理由见解析 (3)图见解析，， ，（答案不唯一） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用勾股定理计算求解，即可解题； （2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题； （3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1， ，，． 故答案为：，，5； （2）解：是直角，理由如下： ， 为直角三角形， 是直角． （3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系， 由图知，， ，． 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点．分别按相应要求解决问题（图中给出的所有点均在格点上）． (1)在图①中画一个，使点在格点上，且； (2)在图②中画一条线段，使； (3)小星在图③中画了一个格点，猜想说明的形状并求出它的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的形状为直角三角形，的面积为 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，勾股定理及其逆定理等知识， （1）画一个根据正方形的有个角都为直角即可以得到； （2）画一个边长分别为1和2的直角三角形即可； （3）根据勾股定理及其逆定理解答即可； 熟练掌握勾股定理及其逆定理是解决此题的关键． 【详解】（1）如图①中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中， ∵， ∴线段即为所求（答案不唯一）； （3）如图③中， 是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积． 利用勾股定理及逆定理求解题型03 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知如图，某建筑物地基四边形，经测量米，米，米，米，且，求此建筑物地基四边形的面积．    【答案】建筑物地基四边形的面积为324平方米 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，在中，利用勾股定理可得米，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接，    ∵， ∴为直角三角形， 由勾股定理知：， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴平方米， 所以，此建筑物地基四边形的面积为324平方米． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，则 ∴的周长． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，连接． (1)若，，求的面积； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过勾股定理逆定理得到，再由三角形的面积公式即可求解； （2）连接，在中，由勾股定理得，可得是的垂直平分线，则设，则，，在中，由勾股定理得，，求出x，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， 而, ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵点为的中点，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：， ∴． 勾股定理逆定理的实际应用题型04 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄到河边最近的路，理由见解析 (2)原来的路线的长为 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解一元一次方程等知识，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的路，理由如下： ∴ ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴是村庄到河边最近的路； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 答∶原来的路线的长为． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是公园中的一块空地，． (1)连接，判断的形状并说明理由； (2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)2880元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握这些知识点． （1）连接，在中根据勾股定理得，在中，，即可得是直角三角形； （2）先算出两个直角三角形的面积，即可得四边形的面积，即可得． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵在中， ∴（m）， ∵在中，m，m，m， 且， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵（平方米），（平方米）， ∴（平方米）， ∴（元）， 故铺满这块空地共需费用2880元． 3．（24-25八年级上·江西鹰潭·期中）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离． (1)判断支架是否垂直； (2)求点C到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用等积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形， ； （2）连接，过作于， 的面积， ，解得：， 即点到的距离为． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)若小路的修建费用为每米100元，求修建小路共需多少元． 【答案】(1)米 (2)修建小路共需花费1920元． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求，根据铺设小路每米100元，列式计算即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米，米， ∴，则， ∴是以为直角的直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： （米）； （2）解：∵， ∴， 即， ∴（米）， ∴需花费（元） 答：修建小路共需1920元． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】(1) (2)12540元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再根据求出这块塑胶场地的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∴ ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元． 勾股定理的证明方法题型05 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法、利用平方根解方程 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、利用平方根解方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）方法一：利用正方形的面积公式计算大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和，根据两种方法计算的面积相等即可得证； （2）先利用勾股定理求出，从而可得的值，再利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以． （2）解：由（1）已证：， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴小正方形的面积为． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，． (1)判断：与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析； (2)见解析． 【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵，， ， 在和中， ． ， ， ． ． ， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵， ，，，． ． ， ． ． 即． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 【答案】(1)，， (2)能，见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，勾股定理的证明： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）根据两个大正方形的面积相等，得到图1中的小正方形的面积，等于图2中两个小正方形面积之和，即可得证． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为：， ∴， ∴，即：； 故答案为：，，； （2）解：能； 由图（2）可知：大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个小正方形的面积，则：， 由（1）可知：， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)120 (3)9 【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、勾股定理的证明方法、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）连接作的垂直平分线交于点，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴． 勾股定理解决几何图形中最短路径问题题型06 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了几何体的展开图与勾股定理．解题的关键在于将几何体展开找到最短路径．将长方体沿剪开，使，，处于同一平面，连接，此时长度最短，在直角三角形中或中，用勾股定理求解再比较大小即可． 【详解】解：如图，展开图如下两种情况： 由题意可知，，处于同一平面，连接、， ∴在中，，， ， 在中，，， ， ∵， ∴蚂蚁的最短路径为． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为 (2)喷泉B到小路的最短距离为 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． （1）首先根据勾股定理求出，进而求解即可； （2）过点B作，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）∵在中，，， ∴ 在中， ∴， 答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）如图所示，过点B作， ． 答：喷泉B到小路的最短距离为． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 5．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$