专题01 二次根式（7大基础题+8大提升题，人教版）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题01 二次根式 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01判断是否为二次根式 题型01根据参数范围化简二次根式 题型02根据二次根式有意义条件求范围 题型02含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型03根据二次根式有意义求值 题型03二次根式的混合运算 题型04最简二次根式的判断 题型04已知字母的值或式字的值，化简求值 题型05化为最简二次根式 题型05复杂的复合二次根式化简 题型06同类二次根式的判断 题型06二次根式中的分母有理化 题型07比较二次根式的大小 题型07二次根式中的新定义型问题 题型08二次根式中的规律探究问题 判断是否为二次根式题型01 1．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 根据二次根式有意义条件求范围题型02 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）当代数式有意义时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）二次根式有意义，则x的值可以为（  ） A．4 B．1 C．3 D．5 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）要使式子有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如果二次根式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 根据二次根式有意义求值题型03 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若实数满足，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 5．（24-25八年级上·四川·期中）已知为实数，，则 ． 最简二次根式的判断题型04 1．（24-25九年级上·江苏·期中）在下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 化为最简二次根式题型05 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）化简： ． 2．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 4．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 5．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 同类二次根式的判断题型06 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 4．（24-25八年级下·全国·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 5．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 比较二次根式的大小题型07 1．（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 3．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 5．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 根据参数范围化简二次根式题型01 1．（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）当时，化简的结果是 ． 4．（24-25九年级上·山西长治·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．    5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 含隐含条件的参数范围化简二次根式题型02 1．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 二次根式的混合运算题型03 1．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 2．（24-25九年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 5．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 已知字母的值或式字的值，化简求值题型04 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，求的值． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2)先化简，再求值：． 5．（24-25八年级上·福建三明·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 复杂的复合二次根式化简题型05 1．（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 4．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 二次根式中的分母有理化题型06 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）阅读下列解题过程： 请你参考上面的化简方法，解决如下问题： (1)计算：； (2)计算：． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题． 因为，所以； 因为， 所以； 因为，所以． 依次类推． (1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示． (2)请用你发现的规律计算式子的值． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）观察下列等式： …… 回答下列各题： (1)= ． (2)计算： (3)已知，试求a的值． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 二次根式中的新定义型问题题型07 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们定义新运算：，例如：． (1)计算：________； (2)若a为实数，试化简． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 4．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 二次根式中的规律探究问题题型08 1．（23-24八年级下·江西南昌·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01判断是否为二次根式 题型01根据参数范围化简二次根式 题型02根据二次根式有意义条件求范围 题型02含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型03根据二次根式有意义求值 题型03二次根式的混合运算 题型04最简二次根式的判断 题型04已知字母的值或式字的值，化简求值 题型05化为最简二次根式 题型05复杂的复合二次根式化简 题型06同类二次根式的判断 题型06二次根式中的分母有理化 题型07比较二次根式的大小 题型07二次根式中的新定义型问题 题型08二次根式中的规律探究问题 判断是否为二次根式题型01 1．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：， 根据二次根式的定义可知，四个选项中只有A选项中的式子是二次根式， 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的代数式叫做二次根式，据此逐项判断即可求得结果，掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的定义可得A，B，不符合题意， 在D中，不符合题意， ∴只有选项C符合题意， 故选；C． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故A选项符合题意．     B、是三次根式，故B选项不符合题意．     C、，不是二次根式，故C选项不符合题意．     D、，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式的判断．熟练掌握二次根式的定义，是解题的关键．根据二次根式的定义：形如，进行判断即可． 【详解】解：由二次根式的定义可知：四个选项只有是二次根式，1是整数，不符合题意，的被开方数是负数，不符合题意，是3次根式，不符合题意； 故选∶A． 5．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 根据二次根式有意义条件求范围题型02 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）当代数式有意义时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：． 故选B． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）二次根式有意义，则x的值可以为（  ） A．4 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，时，二次根式有意义， 解得， 故选：B． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）要使式子有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故选：C． 5．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如果二次根式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据题意列不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故选：A ． 根据二次根式有意义求值题型03 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若实数满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，代入求值，掌握二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键． 根据题意得到，得到，则，代入计算即可求解． 【详解】解：实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以得到，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.本题主要考查了二次根式的非负性及分式有意义的条件当时由意义，分式的分母不为0时分式有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ，且， ，且， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：4 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质，可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川·期中）已知为实数，，则 ． 【答案】3 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件和算术平方根，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用算术平方根的意义求解． 根据二次根式和分式有意义的条件得出x，y的值，代入求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 即且， 所以， 又∵，即 ∴， 故， 故答案为：3． 最简二次根式的判断题型04 1．（24-25九年级上·江苏·期中）在下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得，掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 【详解】解：A、原式，不是最简二次根式，不符合题意； B、原式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、原式，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）被开方数不能含有分母；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确； B、，不是最简二次根式，错误； C、，不是最简二次根式，错误； D、，不是最简二次根式，错误； 故选A． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．进行解题即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 化为最简二次根式题型05 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式 【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 同类二次根式的判断题型06 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．将所给的二次根式进行化简即可得到答案． 【详解】解∶，，，， 则不能与合并的是， 故答案为∶． 4．（24-25八年级下·全国·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 比较二次根式的大小题型07 1．（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，先比较的大小，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可求解，掌握二次根式的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是两个无理数的大小比较，二次根式的性质；比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 根据参数范围化简二次根式题型01 1．（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选：A 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．由数轴，得，于是得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴，得， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西长治·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．    【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，解题关键是掌握绝对值性质和二次根式的性质． 由数轴得，，再根据绝对值性质和二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 含隐含条件的参数范围化简二次根式题型02 1．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 二次根式的混合运算题型03 1．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25九年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)1 【知识点】化简绝对值、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查含绝对值、二次根式乘法及分母有理化的二次根式的混合运算，解题关键是准确处理各项运算规则． （1）通过完全平方公式展开，化简二次根式后合并同类项； （2）分别处理绝对值、二次根式乘法、分母有理化，再合并计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2） 4．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂以及零次幂． （1）根据二次根式的乘除法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法，负整数指数幂以及零次幂的性质计算即可求解； （3）根据二次根式的混合运算法则计算即可求解； （4）先化简二次根式，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算，负整数指数幂： （1）先根据二次根式的除法法则计算，再向加即可； （2）利用乘法公式进行化简，再作加减法即可； （3）先利用二次根式的性质化简，再计算即可； （3）先根据负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质化简，再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 已知字母的值或式字的值，化简求值题型04 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用平方差公式分别计算出、的值，代入中计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】先将分母有理化，得，进而可得，，然后将原式化简为，再将和的值代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值 ，分母有理化，等式的性质，完全平方公式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化． （1）先根据分母有理化求出，，即可求出； （2）由，，将原式整理成，再整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先求出、的值，再将式子变形为，代入计算即可得解； （2）根据分式的混合运算法则进行化简，再代入的值计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解： ， 由（1）可得：，故原式． 5．（24-25八年级上·福建三明·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ． 复杂的复合二次根式化简题型05 1．（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】复合二次根式的化简、求一个数的平方根、求一个数的立方根、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 4．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 二次根式中的分母有理化题型06 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）阅读下列解题过程： 请你参考上面的化简方法，解决如下问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算； （1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意证明，进而将原式转变为，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴ ． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：原式 ． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题． 因为，所以； 因为， 所以； 因为，所以． 依次类推． (1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示． (2)请用你发现的规律计算式子的值． 【答案】(1) (2)9 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案． 本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键． 【详解】（1）解：当n是正整数时， ； （2）解： ． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）观察下列等式： …… 回答下列各题： (1)= ． (2)计算： (3)已知，试求a的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可； （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可； （3）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算得到，进而求解即可． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2） ； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 【答案】(1) (2) (3)2023 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：猜想：， 验证： ， 故答案为：； （3）解： ． 二次根式中的新定义型问题题型07 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们定义新运算：，例如：． (1)计算：________； (2)若a为实数，试化简． 【答案】(1) (2)时，原式；时，原式． 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算． （1）根据新规定运算法则计算即可； （2）先根据新规定运算法则计算，再讨论a的取值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 当，即时，原式； 当，即时，原式． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 4．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 【答案】(1)和是因子二次根式，因子为； (2)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴和是因子二次根式，因子为； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【答案】(1)2 (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． （1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意可得：，则， 解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 二次根式中的规律探究问题题型08 1．（23-24八年级下·江西南昌·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【答案】(1)，， (2)猜想：，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、复合二次根式的化简、分式化简求值 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：； （3）解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3） 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：猜想：； 验证：， ∴猜想正确． （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【知识点】解分式方程、二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$