专题04 平行线的判定和性质综合探究问题（3大基础题+5大提升题，人教版2024）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题04 平行线的判定和性质综合探究问题 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01平行线的性质在生活中的应用 题型01平行线的判定和性质综合问题 题型02平行线中的拐点问题 题型02根据平行线的判定与性质探究角的关系 题型03平行线中的旋转多解问题 题型03平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 题型04根据平行线的判定与性质接解决光线问题 题型05根据平行线的判定与性质探解决平移问题 平行线的性质在生活中的应用题型01 1．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·期中)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 【答案】/105度 【来源】黑龙江省 哈尔滨市第四十七中学校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质，角度和差，三角形的内角和定理，由得，即，由得，则有，又，最后用角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且．(23-24七下·广东江门鹤山·)，则 ． 【答案】/55度 【来源】广东省江门市鹤山市2023-2024学年七年级下学期数学试题 【分析】此题考查了平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，根据平行线的性质求出，，即可求出，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为． 3．如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 【答案】/30度 【来源】浙江省杭州市拱墅区行知中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】根据由光的反射定律以及平行线的判定与性质进行说明即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键． 【详解】由光的反射定律得：，， ∵， ， ， ，， ， ． 故答案为： 4．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则 ． 【答案】/15度 【来源】江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．添加合适的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又，， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【来源】甘肃省白银市白银区第十一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．当时， ；    【答案】 【来源】辽宁省阜新市海州区实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，时，过作，如图所示，根据平行线性质找到角的和差关系，列式求解即可得到答案． 【详解】解：当时，过作，如图所示：   ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 平行线中的拐点问题题型02 1．如图，，,则的度数为 ． 【答案】/ 【来源】辽宁省辽阳市第一中学2023-2024学年七年级下学期第一次学情调研数学（西藏班）试题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，能够添加辅助线构造平行是解题的关键．过点C作，利用两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．如图所示，已知，，，则 °．    【答案】 【来源】四川省绵阳市涪城区2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．作，根据平行线的性质和角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，过的顶点作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 3．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ． 【答案】/130度 【来源】广东省佛山市高明区更合中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了长方形的性质和平行线的性质，主要考查学生的推理能力和计算能力；过作，交于，得出，推出，，把，代入求出即可． 【详解】解： 过作，交于，   四边形是长方形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，已知，，，则的值为 ．    【答案】/30度 【来源】四川省成都市第四十三中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，根据角的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知，E是平行线间一点，与的平分线交于点与的平分线交于点，则与的数量关系是 ． 【答案】（或） 【来源】贵州省罗甸县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】过E点作直线，根据平行线的性质可得，则可得．同理过F点作直线，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，同理可得，即可得解． 本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过E点作直线， ， ， ，， ． 同理，过F点作直线， 则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即． 同理，过P点作直线 则， ∵平分，平分， ， （或）． 故答案为：（或）． 6．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 【答案】/度 【来源】黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论． 【详解】解：过点G作，设，， ，交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【答案】/32度 【来源】浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，过点，，作，，，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，，，；根据角平分线的性质，则，推出，则，根据平行线的性质，等量代换，则，即可． 【详解】过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．    平行线中的旋转多解问题题型03 1．如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 【答案】36或108 【来源】浙江省宁波市鄞州区鄞州实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】分四种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间．本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况： ①如图，当时，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，， ∴， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得，此时， （舍去）； ③如图，当时，，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得（舍去）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或． 故答案为：36或108． 2．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 【答案】5秒或95秒 【来源】山东省济南市历下区实验初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用．分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图②，旋转到与都在的右侧， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图③，旋转到与都在的左侧， ，， 要使， 则，即， 解得：， 此时， 此情况不存在． 综上所述，当时间的值为秒或秒时，． 故答案为：秒或秒． 3．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河提的情况，如图，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达之前，当A灯转动 秒时，两灯的光束互相平行． 【答案】或68或或140 【来源】四川省成都市成都市石室联合中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质，设秒后两灯的光束互相平行，表示出和，证明出，列等式解答即可．依题意得出等式并计算是本题的解题关键． 【详解】解：设t秒后两灯的光束互相平行， ∵灯A转动的速度是秒， ∴灯A转动了， ∵灯B转动的速度是秒， ∴灯B转动了， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或68或或140． 4．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，如图2将含的三角尺绕顶点A顺时针转动一周的过程中，当边时，的度数为 ． 【答案】或 【来源】辽宁省鞍山市铁东区2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数等知识．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分两种情况求解；如图1，三点共线，则，根据，计算求解即可；如图2，同理，三点共线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况求解； 如图1， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴； 如图2， 同理，三点共线， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 5．如图，直线，直线与分别交于点，（）．将一个含角的直角三角板按如图（1）放置，使点分别在直线上，且在点的右侧，，，．若的平分线交直线于点O． （1）当时，则 ． （2）将三角板保持并向左平移，则在平移的过程中 ．（用含α的式子表示） 【答案】 /60度 或 【来源】浙江省温州市南浦实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据平行公理及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答； （2）可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答． 【详解】解：（1），， ， NO平分， ， ． ， ，即； （2）当点在的右侧时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 当点在的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，角平分线的定义，与三角板有关的计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 平行线的判定和性质综合问题题型01 1．如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】贵州省遵义市红花岗区第十二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）根据，，可得，得，进而得，可得结论； （2）根据，可以设，根据，可得，由得到，根据，求出x的值，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 设， ， ， ， ， ， ，即 ． 2．已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【来源】福建省厦门市思明区福建省厦门市第六中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合“同角的补角相等”求得，即可推出； （2）根据平行线的判定与性质证明，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： （已知）， 又（邻补角定义）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 3．已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2024-2025学年 七年级上学期期中考试数学试题 （答案不完整） 【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论； （2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论； （3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又， ， 整理得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换． 4．如图，在三角形中，D是上一点，交于点E，点F是线段延长线上一点，连接，． (1)如图1，说明：． (2)如图2，连接，若，求的度数． (3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段延长线上一点，若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【来源】2024-2025学年七年级下学期北师大版数学期中模拟考试数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质得，再证明即可完成证明； （2）过点E作，可得，再根据平行线的性质即可得结论； （3）根据，可以设设，则，然后根据，得出，求出x的值，进而可得结果． 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 所以． （2）解：如图，过点E作，则． 因为，， 所以， 所以， 所以． （3）解：因为平分， 所以． 因为， 所以设，则． 由（1）知，，即， 所以， 解得， 所以， 所以． 5．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【来源】浙江省绍兴市诸暨市暨阳初中教育共同体2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以角的计算，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及角的和差倍分的计算是解决本题的关键． （1）首先推导出，进而得到．由平分，得到； （2）①由平分，得．由平分，得，进而求得； ②分两种情况讨论：当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，分别解答即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 又平分， ； （2）解：①由（1）知：， ， 又平分， ， 平分， ， ； ②当点位于点左侧时，如图2． 由①得：， ， 当点位于点右侧时，如图3， 由题意可得，， 又平分，平分， ，， ， 综上，为或． 6．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】黑龙江省哈尔滨市第一二四中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）过作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案； （3）设，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，得出方程，求出即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：过作，如图， ， ， ，， ， 即； （3）解：设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 根据平行线的判定与性质探究角的关系题型02 1．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【来源】新疆昌吉回族自治州奇台县2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握好平行线的性质是解本题的关键是． （1）根据平行线的性质和，即可得的大小． （2）过点P作，根据平行线的性质可得，，即可得出、、之间的数量关系． （3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点P在延长线上时或当点P在延长线 【详解】（1）如图①所示：过点P作    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）猜想： 如图①所示：过点P作 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ； （3）①当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ②当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ，， ∴综上所述：当点P不在线段DC上时， 或． 2．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【来源】 辽宁省大连经济技术开发区第六中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）结合题目条件，求出，继而得解； （2）①过点P作，则，由平行线的性质及角的关系得到； ②分和两种情况，画图求解即可； 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 3．[问题情境] 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接． [探索发现] （1）当时，求证：； [拓展探究] （2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见详解 （2），理由见详解 【来源】甘肃省兰州市第五十四中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）如图所示，过点作，可得，由平行线的性质得到，根据，即可求解； （2）设，则，根据平行线的性质，角的和差关系得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）；（5） 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三十九中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质、垂直的定义，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分，求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． （5）根据平行线的性质以及（4）的结论得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ 又∵，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，即， ∴； （3），理由如下， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴， ∴； （4）∵， ∴ ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴； （5）如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵，即， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 由（4）可得， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 平行线的判定和性质解决三角形旋转问题题型03 1．【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：    【问题解决】 (1)①若，则的度数为______度； ②若，则的度数为______度； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)存在，的度数为：或，理由见详解 【来源】贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，掌握角度的计算，分类讨论，图形结合分析是解题的关键． （1）根据三角板的性质，①先计算出的度数，再根据即可求解；②先计算出的度数，由此即可求解； （2）根据三角板各角的数量关系，同角的余角相等即可求解； （3）根据平行线的性质，分类讨论，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，中，，中，，， ①若时，， ∴， 故答案为：； ②若时，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴； （3）解：存在，的度数为：或，理由如下， 如图所示，当时，    ∵， ∴； 如图所示，当时，    ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时，    ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意； 如图所示，点在直线的下方，均不符合题意；    综上所述， 的度数的变化，存在三角板的一边是否能与三角板的一边平行，的度数为：或； 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，图见解析，的度数为或或或 【来源】上海市市西初级中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试卷 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）由题意知，，，则，然后作答即可； （3）①当时，如图1，作，则，，，根据，求解作答即可；②由题意知，分，，，四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：由题意知，，， ∴， 故答案为：； （3）①解：当时，如图1，作， ∴， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②解：由题意知，分，，，四种情况求解； 当时，如图2， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， ∴； 当时，如图4， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴； 综上所述，存在，的度数为或或或． 3．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当运动或或或或时，的一边与的一边平行 【来源】湖南省长沙市长郡双语实验中学、雨花外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作，   ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为；    ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为；    ④时，如图，延长交于， ，   ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 4．在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点E放在直线上，把三角尺的直角顶点H放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【拓展探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点F时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【来源】广东省肇庆市颂德学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查平行线的性质，特殊三角形的性质，角的和差定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）利用角之间的和差关系求出，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）猜想：． 理由：如图③中， 由（2）可知，， ， ， ， ． 根据平行线的判定与性质接解决光线问题题型04 1．（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【来源】下学期期中综合测试卷 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 2．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值． (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点 D，则在转动过程中，的值是否发生变化？ 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)， (2)15秒或秒 (3)不变， 【来源】2023-2024学年人教版七年级数学下学期期中模拟试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差、非负数的性质等知识点，掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0成为解题的关键． （1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此求解即可； （2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解即可； （3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出和，然后求出其比值即可解得． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴． （2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，解得：； ②当时，解得：； ③当时，解得：，则舍去. 综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平． （3）解：不变， 设灯A转动t秒， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 3．【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书“做一做”的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，． （1）若，则______； （2）与的数量关系是______． 【类比探究】 （3）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （4）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，、是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 【答案】（1）30；（2）相等；（3）40；（4）； 【来源】山东省青岛市南区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，理解反射角等于入射角，准确识图，熟练掌握平行线的性质及角度的计算是解决问题的关键． （1）根据的度数可得的度数，进而可得的度数； （2）根据平角的定义得到，则可得 （3）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度数； （4）过点作，过点作，依题意得，，，，，则，再由，得，再根据可得，进而得，据此可得的度数；设，则，进而得，则，然后根据得，则，由此解出即可得的度数． 【详解】解：（1）由题意得，，，， 若，则； 故答案为：30； （2）∵，， ∴与的数量关系是相等，； 故答案为：相等； （3）如图，过点作， 由题意可得：， ， ， ， ， ， ． ∴等于40度时，才能保证黑球能直接入袋． 故答案为：40； （6）过点作，过点作，如图所示： 根据反射角等于入射角得：，， 依题意得：，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 设，则， ，， ， ， ， 当时，， ， ． 即． 故答案为：；． 根据平行线的判定与性质探解决平移问题题型05 1．已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)在整个平移过程中，当时，求的度数； (3)在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 【答案】(1) (2)或 (3)当平移到点A上方时，；当平移到点A和C之间时，；当平移到点C下方时， 【来源】广东省珠海市香洲区文园中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行线的性质，平移的性质 （1）作，由平移得，可得，由，即可求得； （2）当平移到点A和C之间时，当平移到点A上方时，两种情况进行讨论即可； （3）由（1）（2）可以得到当平移到点A上方时，当平移到点A和C之间时，当平移到点C下方时，三种情况进行讨论. 【详解】（1）解：如图，作，由平移得， ∴ ∴ 又∵ ∴，即， ∴                  ∴ （2）由（1）可知，当平移到点C下方时，，不存在； ①当平移到点A和C之间时，     如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴     又∵ ∴ ∴      ∴x=，=       ②当平移到点A上方时， 如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，∠E的度数为 （3）解：由（2）得： 当平移到点A上方时，；    当平移到点A和C之间时，； 由（1）得：当平移到点C下方时， 2．综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 【答案】(1) (2)①详见解析；②，理由见解析 【来源】山西省吕梁市孝义市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可求解； （2）①根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可证明；②由，可得，再根据三角形的外角性质和对顶角即可求解． 【详解】（1）解：根据平移可得：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）①根据平移可得：，， ，， ， ， 平分； ②， ， ， ， ． 3．【探究】 图1                                                        图2                                            图3 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________； 【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，． （2）求的度数； （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【来源】广西壮族自治区防城港市防城区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】解∶（1）如图1中，作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如图2，过点E作， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】此题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． 4．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【来源】北京市西城区三帆中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线的判定和性质综合探究问题 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01平行线的性质在生活中的应用 题型01平行线的判定和性质综合问题 题型02平行线中的拐点问题 题型02根据平行线的判定与性质探究角的关系 题型03平行线中的旋转多解问题 题型03平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 题型04根据平行线的判定与性质接解决光线问题 题型05根据平行线的判定与性质探解决平移问题 平行线的性质在生活中的应用题型01 1．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·期中)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 2．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且．(23-24七下·广东江门鹤山·)，则 ． 3．如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 4．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则 ． 5．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，，则的度数是 ． 6．一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．当时， ；    平行线中的拐点问题题型02 1．如图，，,则的度数为 ． 2．如图所示，已知，，，则 °．    3．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ． 4．如图，已知，，，则的值为 ．    5．如图，已知，E是平行线间一点，与的平分线交于点与的平分线交于点，则与的数量关系是 ． 6．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 7．如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    平行线中的旋转多解问题题型03 1．如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 2．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 3．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河提的情况，如图，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达之前，当A灯转动 秒时，两灯的光束互相平行． 4．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，如图2将含的三角尺绕顶点A顺时针转动一周的过程中，当边时，的度数为 ． 5．如图，直线，直线与分别交于点，（）．将一个含角的直角三角板按如图（1）放置，使点分别在直线上，且在点的右侧，，，．若的平分线交直线于点O． （1）当时，则 ． （2）将三角板保持并向左平移，则在平移的过程中 ．（用含α的式子表示） 平行线的判定和性质综合问题题型01 1．如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 3．已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 4．如图，在三角形中，D是上一点，交于点E，点F是线段延长线上一点，连接，． (1)如图1，说明：． (2)如图2，连接，若，求的度数． (3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段延长线上一点，若，平分，求的度数． 5．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 6．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 根据平行线的判定与性质探究角的关系题型02 1．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 2．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 3．[问题情境] 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接． [探索发现] （1）当时，求证：； [拓展探究] （2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由． 4．【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 平行线的判定和性质解决三角形旋转问题题型03 1．【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：    【问题解决】 (1)①若，则的度数为______度； ②若，则的度数为______度； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 3．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 4．在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点E放在直线上，把三角尺的直角顶点H放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【拓展探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点F时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 根据平行线的判定与性质接解决光线问题题型04 1．（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 2．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值． (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点 D，则在转动过程中，的值是否发生变化？ 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围． 3．【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书“做一做”的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，． （1）若，则______； （2）与的数量关系是______． 【类比探究】 （3）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （4）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，、是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 根据平行线的判定与性质探解决平移问题题型05 1．已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)在整个平移过程中，当时，求的度数； (3)在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 2．综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 3．【探究】 图1                                                        图2                                            图3 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________； 【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，． （2）求的度数； （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 4．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$