专题02 实数（8大基础题+4大提升题，人教版2024）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 实数 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01平方根、算术平方根、立方根 题型01程序设计与实数运算 题型02非负数的性质:算术平方根 题型02平方根、算术平方根、立方根的综合 题型03利用平方根与立方根的定义解方程 题型03新定义下的实数运算 题型04无理数的识别 题型04与实数运算相关的规律题 题型05实数与数轴 题型06实数大小比较 题型07无理数的大小估算 题型08实数的简单运算 平方根、算术平方根、立方根题型01 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 2．（24-25八年级上·四川达州·期中）64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 3．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）的立方等于 ；的倒数是 ；25的平方根是 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 5．（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 非负数的性质:算术平方根题型02 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数a，b，满足，则 ． 2．（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知：，那么 ． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若，则的值为 ． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为 ． 利用平方根与立方根的定义解方程题型03 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求的值 (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）解方程： (1)． (2)． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 无理数的识别题型04 1．（23-24七年级下·北京·期中）在实数3.1415，，，中，无理数是（　　） A．3.1415 B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）在实数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）在下列实数，－3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 实数与数轴题型05 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，点P，Q在数轴上表示的实数分别是和，则P，Q两点之间表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．5 B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为_____； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为_____，边长为_____； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点与1重合，则点在数轴上所表示的数为_____． 实数大小比较题型06 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）比较大小： 6．（填“”“”或“”） 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）比较大小：7 ．（填“>”或“<”或“=”） 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）在实数，，0，1中，最小的实数是 ． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）比较大小： ； ．（填“>”“<”或“=”） 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 无理数的大小估算题型07 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）在数轴上表示，的两点之间，整数点有 个． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，则整数的值为 ． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= 5．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 实数的简单运算题型08 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算：． 2．（23-24七年级下·北京·期中）计算： 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 4．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2) 5．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 程序设计与实数运算题型01 1．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 2．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 3．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 4．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 5．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 平方根、算术平方根、立方根的综合题型02 1．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 2．已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 3．已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 4．已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 5．已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 新定义下的实数运算题型03 1．设都是有理数，规定，，则 ． 2．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对进行如下操作： ，即对只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让变为2，需进行的操作次数为 ． 3．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 4．两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 5．给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 与实数运算相关的规律题题型04 1．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 2．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 3．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 4．先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 5．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01平方根、算术平方根、立方根 题型01程序设计与实数运算 题型02非负数的性质:算术平方根 题型02平方根、算术平方根、立方根的综合 题型03利用平方根与立方根的定义解方程 题型03新定义下的实数运算 题型04无理数的识别 题型04与实数运算相关的规律题 题型05实数与数轴 题型06实数大小比较 题型07无理数的大小估算 题型08实数的简单运算 平方根、算术平方根、立方根题型01 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根，平方根，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用算术平方根和平方根的定义得出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 的平方根是， 故答案为：；． 2．（24-25八年级上·四川达州·期中）64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 8 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根．根据一个正数的平方根有两个，互为相反数，正的平方根为算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，64的算术平方根是； ∵ ∴的平方根是 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）的立方等于 ；的倒数是 ；25的平方根是 【答案】 【知识点】倒数、有理数的乘方运算、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，倒数，立方的计算．根据定义及运算法则逐一计算即可得到结果． 【详解】解：的立方等于；的倒数是；25的平方根是， 故答案为：；；． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查了平方根、算术平方根与立方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．由平方根、算术平方根、立方根的定义，即可求得答案． 【详解】解：算术平方根是，的立方根是，的平方根是， 故答案为：，， 5．（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等知识点，牢记平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：的平方根是，的立方根是，（）的算术平方根是， 故答案为：，，． 非负数的性质:算术平方根题型02 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数a，b，满足，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，算术平方根以及偶次幂的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键．根据偶次方以及术平方根的非负性得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性可得，，，解方程即可求出、、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知：，那么 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后求得的值． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， 那么， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】由题意得，，解方程即可求出m，n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了利用算术平方根的非负性解题，解一元一次方程，代数式求值，有理数的乘方运算等知识点，熟知几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 利用平方根与立方根的定义解方程题型03 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求的值 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）先计算，方程两边再开方，得两个一元一次方程，最后解一元一次方程，可得解； （2）方程移项后除以8，得，再移项后开立方即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 2．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握利用平方根解方程和立方根的实际应用是解题的关键：利用平方根解方程的方法：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，只有一个平方根，负数没有平方根；在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值；利用立方根的概念解方程的方法：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，的立方根是；在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值；在求立方根时，常需转化为的形式，也常常将中的看作一个整体来处理． （1）在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值； （2）在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值． 【详解】（1）解：， 整理，得：， 开平方，得：， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 开立方，得：， ． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了立方根应用和平方根应用，解题的关键是熟练掌握立方根定义和平方根定义． （1）根据立方根定义解方程即可； （2）先移项合并同类项，然后再根据平方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 开立方得：， 解得：； （2）解：， 移项，合并同类项得：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：或． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根，立方根，解决本题的关键是熟记平方根和立方根的定义． （1）根据平方根，即可解答； （2）根据立方根，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∴，即或； （2）解：， ， ， ∴． 5．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）直接开平方，得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先将方程两边同除以8，然后再移项合并同类项，最后再开立方即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得：， 开立方得：． 无理数的识别题型04 1．（23-24七年级下·北京·期中）在实数3.1415，，，中，无理数是（　　） A．3.1415 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可． 【详解】解：A、3.1415是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）在实数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本考查无理数的判断，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在实数中，无理数有，共2个； 故选B． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：无理数有：，共2个． 故选：A． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】此题考查了无理数的定义和求算术平方根，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数有，，共2个， 故选：D 5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）在下列实数，－3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】此题考查无理数定义：无限不循环小数是无理数，有三种形式：①开方开不尽的数，如，②含有π的数，③有规律但不循环的数，如，根据定义判断即可 【详解】解：在下列实数，，，（相邻两个1之间一次多一个2）中， ，， ∴无理数有：，，共2个， 故选：B 实数与数轴题型05 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴、无理数的估算．熟练掌握实数在数轴上的位置，无理数近似值大小，是解决问题的关键．由，点B表示的数在2和3之间，即得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵数轴上点B所表示的数大于2而小于3， ∴数轴上表示的点可能是B， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，点P，Q在数轴上表示的实数分别是和，则P，Q两点之间表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，根据，即可求解． 【详解】解：因为， 所以两点之间表示的无理数可能是． 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查算术平方根化简，先根据数轴得出实数a的取值范围，再根据算术平方根的性质化简即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ∴原式． 故选：A． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为_____； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为_____，边长为_____； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点与1重合，则点在数轴上所表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为6 (2)阴影面积为18，边长为 (3)点表示的数为 【知识点】数轴上两点之间的距离、算术平方根的实际应用、立方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根，算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）解：棱长为， 每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是， 魔方的一面四个小正方形的面积为， ； 阴影部分的面积为，边长为； （3）解： 正方形的边长为， 点与重合， 点在数轴上表示的数为． 实数大小比较题型06 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）比较大小： 6．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是实数的大小比较．根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）比较大小：7 ．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法． 根据实数大小的比较方法比较大小即可． 【详解】解：， 又 ∵ ， ， 故答案为：> ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）在实数，，0，1中，最小的实数是 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较法则“正实数大于0、负实数小于0、正实数大于负实数、负实数绝对值大的反而小”，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．根据实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：∵， ∴在这四个实数中，最小的实数是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）比较大小： ； ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 > 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算．根据正数的比较法则和无理数的估算即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故答案为：>， 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小，实数比较大小的方法逐项求解即可． 【详解】∵正数大于负数 ∴； ∵ ∴； ∵， ∵ ∴． 故答案为：，，． 无理数的大小估算题型07 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据二次根式的概念把原式变形为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）在数轴上表示，的两点之间，整数点有 个． 【答案】5 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．先分别估算出，两点所表示的数的范围，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴，的两点之间，整数点有，共5个， 故答案为5． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，则整数的值为 ． 【答案】6 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案． 【详解】解：， ， m为正整数，且， ． 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、无理数的大小估算 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 实数的简单运算题型08 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】此题考查了绝对值，立方根和算术平方根，解题的关键是掌握以上运算法则．首先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键； （1）先根据算术平方根的性质、实数的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根、立方根的概念及实数的性质化简，再计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算． （1）利用乘方、立方根、算术平方根进行运算即可； （2）利用乘方、算术平方根、乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 5．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的计算，解题的关键是掌握立方根和平方根化简，再根据有理数的加减运算，进行计算，即可． （1）先开平方根，立方根，然后根据有理数的计算，即可； （2）根据平方根，立方根的知识，化简式子，然后进行计算，即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ． 程序设计与实数运算题型01 1．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 【来源】湖南省邵阳市新宁县城区及周边期中联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：输入x的值为256时，256的算术平方根是16， 16是有理数，再输入可得： 16的算术平方根是4， 4是有理数，再输入可得： 4的算术平方根是2， 2是有理数，再输入可得： 2的算术平方根是， 是无理数，则输出y的值是． 故答案为：． 2．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市海曙区储能学校2024-2025学年上学期期中考试七年级数学试卷 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 3．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【来源】 浙江省杭州市西湖区公益中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 4．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【来源】浙江省舟山市2024-2025学年七年级上学期期中学科素养监测数学试题 【知识点】程序设计与实数运算、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 5．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【来源】 浙江省杭州市拱墅区锦绣育才中学2024—2025学年上学期七年级期中数学试卷 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 平方根、算术平方根、立方根的综合题型02 1．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【来源】江苏省扬州市宝应县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 2．已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【来源】湖北省黄石市大冶市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 3．已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【来源】江苏省苏州市工业园区金鸡湖教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 4．已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【来源】四川省 成都市温江区冠城实验学校2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 5．已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根是 【来源】吉林省四平市铁西区2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算． （1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可； （2）把，代入求出，然后求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 新定义下的实数运算题型03 1．设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【来源】 浙江省杭州市拱墅区锦绣育才中学2024—2025学年上学期七年级期中数学试卷 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 2．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对进行如下操作： ，即对只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让变为2，需进行的操作次数为 ． 【答案】4 【来源】山西省临汾市2024-2025学年八年级上学期11月期中联考数学试题 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目中的运算过程计算即可． 【详解】， 要想让变为2，需进行的操作次数为4． 故答案为：4． 3．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江西省宜春市高安市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 4．两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【来源】云南省昆明市五华区云南民族大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 5．给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【来源】湖北省荆州市沙市区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】新定义下的实数运算、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 与实数运算相关的规律题题型04 1．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】河南省平顶山市汝州市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 2．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【来源】2024--2025学年华东师大版数学八年级上册期中自我评估试卷 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 3．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【来源】安徽省安庆市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 4．先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【来源】广东省江门市蓬江区省实学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】与实数运算相关的规律题、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 5．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【来源】广东省东莞市弘正学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$