专题01 相交线与平行线（8大基础题+5大提升题，人教版2024）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01对顶角、领补角的定义理解 题型01平移与平行线的综合问题 题型02点到直线的距离与垂线段最短 题型02平行线的判定和性质多结论问题 题型03同位角、内错角、同旁内角的辨别 题型03与平行、垂直及平移有关的作图 题型04添加一条件使两条直线平行 题型04平行线的性质与判定综合问题 题型05利用平行线的性质求角 题型05平移与平行线的综合问题 题型06命题的判定与逆命题 题型07生活中的平移及图形的平移 题型08利用平移的性质求解 对顶角、领补角的定义理解题型01 1．(23-24七下·贵州贵阳清镇·期中)如图，和是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 2．(23-24七下·广东东莞·期中)如图，与是对顶角的为（   ） A．B．C．D． 3．(23-24七下·云南昭通昭阳区·期中)下列四个图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24七下·广西柳州铁五中学·期中)下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ．若，，则 ， ． 点到直线的距离与垂线段最短题型02 1．(23-24七下·甘肃兰州外国语学校·期中)已知在直线l上有三个点A、B、C，点P在直线l外．若，则点P到直线l的距离（    ） A．等于 B．不小于 C．不大于 D．无法确定 2．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期中)如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 3．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24七下·贵州黔东南苗族侗族从江县东朗中学·期中)如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 同位角、内错角、同旁内角的辨别题型03 1．(23-24七下·陕西榆林高新区·期中)如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A． B．或 C．或 D．或或 2．(24-25七上·云南文山文山第一中学·期中)下列各图中，与是内错角的是（    ） A．B．C．D． 3．(23-24七下·贵州铜仁沿河土家族自治县初中第一集团·期中)如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 添加一条件使两条直线平行题型04 1．(23-24七下·湖北荆门沙洋县毛李中学教联体·期中)如图，B，D分别在上，添加条件， 即可判定．（写出一个即可） 2．(23-24七下·广东清远海德外国语学校·期中)如图，直线，被直线所截，若要证明直线，需要添加条件 ．（填一个条件即可） 3．(23-24七下·陕西宝鸡陈仓区·期中)如图，能判断的一个条件是 （写一个即可）． 4．(23-24七下·江苏南京南湖第二中学·期中)如图，下列条件：①；②；③；④，能判定的是 （填写正确答案的序号）． 利用平行线的性质求角题型05 1．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期中)图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为 2．已知两个三角板按如图方式摆放，其中，点与点重合，则的度数是 ． 3．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 4．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 命题的判定与逆命题题型06 1．(23-24七下·北京第一零九中学·期中)下列命题中，不正确的是（　　） A．两条直线相交形成的对顶角一定相等 B．两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．(23-24七下·北京师范大学实验华夏女子中学·期中)下列命题中的真命题是（　　） A．邻补角互补 B．两点之间，直线最短 C．同位角相等 D．同旁内角互补 3．(23-24七下·河北石家庄第二十八中学·期中)下列命题中是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 4．(24-25八上·上海嘉定区中科院上海实验学校·期中) 下列命题中，判断错误的是（  ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 生活中的平移及图形的平移题型07 1．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 2．(23-24七下·广西南宁兴宁区第二初级中学·期中)下列现象是平移的是（   ） A．闹钟的钟摆的运动 B．卫星绕地球运动 C．碟片在光驱中运行 D．电梯从底楼上升到顶楼 3．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24七下·新疆阿克苏阿克苏·期中)下列四个图标，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 利用平移的性质求解题型08 1．(24-25八上·山西晋城陵川县多校联考·期中)如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ． 2．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，在三角形中，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则阴影部分的面积为 ． 4．如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 利用对顶角性质、领补角性质、垂线的定义求角题型01 1．(23-24七下·河北石家庄第二十八中学·期中)如图，已知直线与相交于点O，是的平分线，于O，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 2．(23-24七下·吉林·期中)如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 3．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．    (1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对． (2)如果，求的度数． (3)平分吗？请写出理由． 4．(24-25七上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中)已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 5．(22-23七下·广东广州第113中学·期中)如图，点O在直线上，与互补，    (1)若，，求的度数； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示）． 平行线的判定和性质多结论问题题型02 1．(23-24七下·广东江门福泉奥林匹克学校·期中)如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24七下·湖北鄂州梁子湖区·期中)如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且．下列结论：①；②与互余的角有2个；③平分；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一副三角板按如图所示放置，，，，过点的直线与过点的直线相互平行，设，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 与平行、垂直及平移有关的作图题型03 1．在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 2．作图并回答： (1)如图，点P在的边上．  ①过点P作的垂线交于点C．  ②作点P到的垂线段． (2)上述作图中，线段 的长度表示点P到的距离； (3)线段与的大小关系是： （用“”连接），判断依据： ． 3．如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 4．根据要求完成画图或作答： 如图所示，已知点A、B、C是网格纸上的三个格点，分别连接、、． (1)过点C画线段的平行线CD，点D在点C的右侧； (2)过点C画线段的垂线段，垂足为点E； (3)线段 　　的长度是点C到线段AB的距离； (4)与的数量关系是 　　． 5．动手操作： (1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是______； ②四边形的面积是______； (2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是______． 平行线的性质与判定综合问题题型04 1．完成下面的证明． 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：∵，， ∴，（　　）． ∴． ∴　　（　　）． ∴．（两直线平行，同位角相等）． ．（　　）． 又∵， ∴　　． ∴平分． 2．完成下列填空：如图，已知，，试说明： 解：因为（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以 ）（ ）． 所以_______． （ ）． 又因为  （已知）， 所以    （等量代换） 所以（ ）． 3．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与相交于点H，，，，求：的度数．（完成下列填空） 证明：∵（已知） 且（　　） ∴（等量代换） ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴___________，（等量代换） ∴（　　） ∴ ___________ （两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴___________ 4．填空：(将下面的推理过程及依据补充完整) 如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 5．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 6．已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 7．如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 平移与平行线的综合问题题型05 1．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 2．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 3．如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 4．如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 5．如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中．    (1)填空：线段与线段的关系为________． (2)求四边形的面积； (3)连接，若，，求的度数． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01对顶角、领补角的定义理解 题型01平移与平行线的综合问题 题型02点到直线的距离与垂线段最短 题型02平行线的判定和性质多结论问题 题型03同位角、内错角、同旁内角的辨别 题型03与平行、垂直及平移有关的作图 题型04添加一条件使两条直线平行 题型04平行线的性质与判定综合问题 题型05利用平行线的性质求角 题型05平移与平行线的综合问题 题型06命题的判定与逆命题 题型07生活中的平移及图形的平移 题型08利用平移的性质求解 对顶角、领补角的定义理解题型01 1．(23-24七下·贵州贵阳清镇·期中)如图，和是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【来源】贵州省贵阳市清镇市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断． 【详解】解：A、和不是对顶角，故本选项不符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和是对顶角，故本选项符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．(23-24七下·广东东莞·期中)如图，与是对顶角的为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【来源】 广东省东莞市2023-2024学年下学期期中质量自查 七年级数学试卷 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可． 本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选C． 3．(23-24七下·云南昭通昭阳区·期中)下列四个图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】云南省昭通市昭阳区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了邻补角的定义，正确掌握邻补角的定义是解题的关键，根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，作出判断即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有选项C中的是邻补角， 故选：C． 4．(23-24七下·广西柳州铁五中学·期中)下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西壮族自治区柳州市铁五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义进行解答即可． 【详解】解：A．不是两条直线相交组成的角，故A不符合题意； B．不是两条直线相交组成的角，故B不符合题意． C．另一边没有互为反向延长线，不是邻补角，故C不符合题意； D．是邻补角，故D符合题意； 故选∶D． 5．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ．若，，则 ， ． 【答案】 ， 【来源】2023-2024学年学年北师大版七年级数学下册期中强化训练试题 【分析】本题考查对顶角和邻补角及其性质，根据对顶角和邻补角的定义及性质即可解答． 【详解】解：的对顶角是，的邻补角是，． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：；，；； 点到直线的距离与垂线段最短题型02 1．(23-24七下·甘肃兰州外国语学校·期中)已知在直线l上有三个点A、B、C，点P在直线l外．若，则点P到直线l的距离（    ） A．等于 B．不小于 C．不大于 D．无法确定 【答案】C 【来源】甘肃省兰州市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可． 【详解】解：∵，，且点到直线，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离不大于； 故选C． 2．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期中)如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【来源】甘肃省兰州市第三十五中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：C． 3．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】 贵州省贵阳市清镇市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 4．(23-24七下·贵州黔东南苗族侗族从江县东朗中学·期中)如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县东朗中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【详解】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故选：D 同位角、内错角、同旁内角的辨别题型03 1．(23-24七下·陕西榆林高新区·期中)如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【来源】陕西省榆林市高新区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键． 根据同位角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者． 故选：B． 2．(24-25七上·云南文山文山第一中学·期中)下列各图中，与是内错角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【来源】云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2024-2025学年七年级上学期12月期中数学试题 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 3．(23-24七下·贵州铜仁沿河土家族自治县初中第一集团·期中)如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【来源】贵州省铜仁市沿河土家族自治县初中第一集团2023-2024学年七年级下学期5月期中数学试题 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，正确，不符合题意； B、和是内错角，原说法错误，符合题意； C、和是同旁内角，正确，不符合题意； D、和是内错角，正确，不符合题意； 故选B． 添加一条件使两条直线平行题型04 1．(23-24七下·湖北荆门沙洋县毛李中学教联体·期中)如图，B，D分别在上，添加条件， 即可判定．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【来源】湖北省荆门市沙洋县毛李中学教联体2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可求解． 【详解】解：添加，理由： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：（答案不唯一） 2．(23-24七下·广东清远海德外国语学校·期中)如图，直线，被直线所截，若要证明直线，需要添加条件 ．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【来源】广东省清远市海德外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键． 【详解】解：添加条件可以根据同位角相等，两直线平行得到， 故答案为：（答案不唯一）． 3．(23-24七下·陕西宝鸡陈仓区·期中)如图，能判断的一个条件是 （写一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【来源】陕西省宝鸡市陈仓区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的判定，要判断，要看它们的截线所构成的“三线八角”图中各角的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：(答案不唯一) 4．(23-24七下·江苏南京南湖第二中学·期中)如图，下列条件：①；②；③；④，能判定的是 （填写正确答案的序号）． 【答案】①② 【来源】江苏省南京市南湖第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补以及内错角相等，得证，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故①判定； ∵ ∴（内错角相等，两直线平行） 故②判定； ∵ ∴（内错角相等，两直线平行） 故③不能判定； ∵ ∴不能判定； 故选：①② 利用平行线的性质求角题型05 1．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期中)图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为 【答案】 【来源】甘肃省兰州市第三十五中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 2．已知两个三角板按如图方式摆放，其中，点与点重合，则的度数是 ． 【答案】/15度 【来源】下学期期中综合测试卷 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】 【来源】2024-2025学年下学期期中综合测试卷 【分析】本题主要考查垂线的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；过点B作，由题意易得，，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 【答案】30 【来源】黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年 七年级上学期 期中考试数学试题 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 命题的判定与逆命题题型06 1．(23-24七下·北京第一零九中学·期中)下列命题中，不正确的是（　　） A．两条直线相交形成的对顶角一定相等 B．两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【来源】北京市第一零九中学2023-2024学年 七年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角的概念、平行线的性质、平行公理、垂直的定义判断． 【详解】解：A、两条直线相交形成的对顶角一定相等，命题正确，不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，命题正确，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题不正确，符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，命题正确，不符合题意； 故选：C． 2．(23-24七下·北京师范大学实验华夏女子中学·期中)下列命题中的真命题是（　　） A．邻补角互补 B．两点之间，直线最短 C．同位角相等 D．同旁内角互补 【答案】A 【来源】北京师范大学实验华夏女子中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了真命题的定义，正确的命题是真命题，根据邻补角互补，两点之间，线段最短，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补等知识内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、邻补角互补，是真命题，符合题意； B、两点之间，线段最短，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 3．(23-24七下·河北石家庄第二十八中学·期中)下列命题中是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【答案】B 【来源】河北省石家庄市第二十八中学2023-2024学年下学期七年级期中数学试卷 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，熟练掌握对顶角性质，平行线的性质，垂线性质，点到直线的距离，根据对顶角性质，平行线的性质，垂线性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，本选项符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，本选项不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，是真命题，本选项不符合题意． 故选：B． 4．(24-25八上·上海嘉定区中科院上海实验学校·期中) 下列命题中，判断错误的是（  ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 【答案】B 【来源】上海市嘉定区中科院上海实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考数学试卷 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可． 【详解】解：、所有定理都有逆命题，正确，本选项不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，本选项符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，本选项不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，因此原说法正确，不符合题意． 故选：B． 生活中的平移及图形的平移题型07 1．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【来源】2023-2024学年人教版七年级数学下学期期中模拟试题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 根据平移的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 故选：A． 2．(23-24七下·广西南宁兴宁区第二初级中学·期中)下列现象是平移的是（   ） A．闹钟的钟摆的运动 B．卫星绕地球运动 C．碟片在光驱中运行 D．电梯从底楼上升到顶楼 【答案】D 【来源】广西南宁市兴宁区第二初级中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查平移的概念．在平面内，把一个图形整体沿某一方向的移动叫平移，根据概念，逐项判断即可． 【详解】解：A、闹钟的钟摆的运动，不是平移，此项不符合题意； B、卫星绕地球运动，不是平移，此项不符合题意； C、碟片在光驱中运行，不是平移，此项不符合题意； D、电梯从底楼上升到顶楼，是平移，此项符合题意． 故选：D． 3．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年 七年级上学期 期中考试数学试题 【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．进而可以解决问题． 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有B选项符合要求， 故选：B． 4．(23-24七下·新疆阿克苏阿克苏·期中)下列四个图标，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了图形的平移变换，根据平移的性质逐项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、不能用平移变换来分析其形成过程，故A不符合题意； B、不能用平移变换来分析其形成过程，故B不符合题意； C、能用平移变换来分析其形成过程，故C符合题意； D、不能用平移变换来分析其形成过程，故D不符合题意； 故答案为：C． 利用平移的性质求解题型08 1．(24-25八上·山西晋城陵川县多校联考·期中)如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【来源】山西省晋城市陵川县多校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据题意得出，再根据平移的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【来源】云南省大理白族自治州祥云县第四中学2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试题 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 3．如图，在三角形中，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【来源】下册期中综合测试卷 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得，，由，即可求解；理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， （）， 故答案为：． 4．如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 【答案】3或9/9或3 【来源】2024-2025学年七年级上学期数学期中模拟练习卷（扬州专用）（考试范围：数学与我们同行、有理数、代数式） 【分析】本题考查数轴表示的意义，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解．分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，得出点表示的数． 【详解】解：∵长方形的面积为24，边长为4， ∴，点对应的数是6， ∵移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为12， ∴阴影部分的面积为12， ，， 如图1，当长方形向左平移时，即， ∴， ∴表示的数为3， 如图2，当长方形向右平移时，即， 解得：， ∴， ∴ ∴表示的数为9， 故答案为：3或9． 利用对顶角性质、领补角性质、垂线的定义求角题型01 1．(23-24七下·河北石家庄第二十八中学·期中)如图，已知直线与相交于点O，是的平分线，于O，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【来源】河北省石家庄市第二十八中学2023-2024学年下学期七年级期中数学试卷 【分析】本题主要考查了角平分线定义，直角和平角，角的和差， 对于（1），根据角平分线的定义得，再根据，可得，然后根据对顶角相等得出答案； 对于（2），先根据垂直定义得，再根据平角定义求出，即可得出答案. 【详解】（1）解：是的平分线， . ， ， ； （2）解：于O， . ， ， ． 2．(23-24七下·吉林·期中)如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 【答案】(1)的邻补角是的余角是 (2)见解析 【来源】吉林省2023-2024学年七年级下学期期中测试名校调研系列数学试题 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，余角和邻补角的定义： （1）根据邻补角的定义和余角的定义求解即可； （2）由垂线的定义得到，则，进而得到，据此推出，即． 【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是； ∵， ∴， ∴的余角是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即． 3．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．    (1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对． (2)如果，求的度数． (3)平分吗？请写出理由． 【答案】(1)，； (2) (3)平分，理由见解析 【来源】2024-2025学年七年级下学期北师大版数学期中模拟考试数学试题 【分析】考查垂直的定义、角平分线的意义、对顶角的性质等知识，根据图形正确判断出两个角之间的关系是正确解答的关键． （1）根据角平分线的意义可以得出相等的角，根据对顶角相等得出相等的角； （2）先根据垂直的定义得出求出，得出，根据角平分线的定义得出，进而可得到答案； （3）利用互余可以得出，再根据角平分线的性质，得出结论． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴， 根据对顶角相等得出：； （2）∵． ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即：， ∴平分． 4．(24-25七上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中)已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 【答案】(1) (2)，，， 【来源】黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年七年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，求角的余角，角平分线的有关计算等知识． （1）先利用平角的定义以及即可得出，进而可求出，由垂直的定义即可求出，最后根据角的和差关系即可得出答案． （2）根据互余两角的和为90度一一计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：由（1）知， ∵， ∴和互余． ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴，，， 则和互余，和互余，和互余， 综上：与互余的角有，，，． 5．(22-23七下·广东广州第113中学·期中)如图，点O在直线上，与互补，    (1)若，，求的度数； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】广东省广州市第113中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角定义，以及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． （1）根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，由，即可算出的度数，再根据代入计算即可得出答案； （2）设，根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，根据垂线的性质，可得，即可算出的度数，由，代入计算即可算出n的值； （3）根据同角的补角相等可得，即可算出关于的表达式，根据平角的性质可得关于的表达式，由，即可得出，代入计算即可得出，再根据代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 平行线的判定和性质多结论问题题型02 1．(23-24七下·广东江门福泉奥林匹克学校·期中)如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】广东省江门市福泉奥林匹克学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义得到，，，设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断①；由可判断②；根据角平分线的定义，结合题意可判断③和④，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：，即，故①正确； ， ，故②正确； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故③不正确； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故④不正确； 综上所述，正确结论有①②，正确结论的个数是2． 故选：B． 2．(23-24七下·湖北鄂州梁子湖区·期中)如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且．下列结论：①；②与互余的角有2个；③平分；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【来源】湖北省鄂州市梁子湖区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．证明，，而，可得，则，可判断①正确，由，可得与互余的角有，，，，有4个，可判断②错误，无法得到，判断③，由，，求解，可得，可判断④正确． 【详解】解：， ， ， 的平分线交于点， ， ， 平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，故①正确， ， 与互余的角有，，，，有4个；故②错误； 条件不足，无法得到，不能得到平分；故③错误； ，， ∵，， ∴， ，故④正确； 故选B． 3．一副三角板按如图所示放置，，，，过点的直线与过点的直线相互平行，设，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省泰州市姜堰区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角的和差的运用.熟练掌握平行线的性质是解题的关键．直接利用平行线的性质及特殊直角三角形角的特征求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 4．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【来源】广西壮族自治区玉林市玉州区2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．根据平行线性质可求出的度数，利用角平分线可求出的度数，即可对①进行判断；利用平行线的性质和垂直的定义即可求出和的度数，即可对②进行判断；利用角平分线的定义和垂直的定义分别求出两角进行比较即可对③进行判断；由垂直的定义求出的度数，进行比较即可判断结论④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，故结论①错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，故结论②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵， 又∵， ∴，故结论④错误． 综上所述，结论正确的是②③，共计2个． 故选：B． 与平行、垂直及平移有关的作图题型03 1．在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解 (2)2 【来源】黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年七年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质结合网格即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 2．作图并回答： (1)如图，点P在的边上．  ①过点P作的垂线交于点C．  ②作点P到的垂线段． (2)上述作图中，线段 的长度表示点P到的距离； (3)线段与的大小关系是： （用“”连接），判断依据： ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，垂线段最短 【来源】北京鲁迅中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查作图——基本作图和垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离中，垂线段最短． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据点到直线的距离是垂线段的长度即可判断； （3）根据垂线段最短即可判断． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度表示点P到的距离， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，判断依据为：垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 3．如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，依据见解析 【来源】陕西省宝鸡市陈仓区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合． （1）利用网格的特点作图即可； （2）利用网格的特点作图即可； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， 判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短． 4．根据要求完成画图或作答： 如图所示，已知点A、B、C是网格纸上的三个格点，分别连接、、． (1)过点C画线段的平行线CD，点D在点C的右侧； (2)过点C画线段的垂线段，垂足为点E； (3)线段 　　的长度是点C到线段AB的距离； (4)与的数量关系是 　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)相等 【来源】山东省济南市槐荫区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、点到直线的距离，熟练掌握平行线的判定与性质、点到直线的距离是解答本题的关键． （1）利用网格，根据平行线的判定画图即可． （2）根据垂线的定义画图即可． （3）由点到直线的距离可知，线段CE的长度是点C到线段AB的距离． （4）由平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，CD即为所求． （2）如图，CE即为所求． （3）线段的长度是点C到线段的距离． 故答案为：． （4）∵， ∴， ∴与的数量关系是相等． 故答案为：相等． 5．动手操作： (1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是______； ②四边形的面积是______； (2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是______． 【答案】(1)①3；②6 (2)③见解析；④6 【来源】江苏省徐州市邳州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平移性质的应用，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可； （2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； 【详解】（1））解：①根据平移性质，线段平移的距离是； 故答案为：3； ②根据图形，四边形的面积为：； 故答案为：6 （2）解：③如图，即为所求； ④多边形的面积是 ． 故答案为：6 平行线的性质与判定综合问题题型04 1．完成下面的证明． 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：∵，， ∴，（　　）． ∴． ∴　　（　　）． ∴．（两直线平行，同位角相等）． ．（　　）． 又∵， ∴　　． ∴平分． 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； 【来源】北京市第一零九中学2023-2024学年 七年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了垂直、平行线的判定与性质、角平分线，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，然后根据等量代换可得，最后根据角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，（垂直的定义）． ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴．（两直线平行，同位角相等）． ．（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴平分． 故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；． 2．完成下列填空：如图，已知，，试说明： 解：因为（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以 ）（ ）． 所以_______． （ ）． 又因为  （已知）， 所以    （等量代换） 所以（ ）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 【来源】甘肃省兰州市第五十四中学2022-2023学年七年级下学期期中考试 数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 根据平行线的判定与性质即可完成推理过程． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以，（两直线平行，同位角相等）， 又因为  （已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 3．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与相交于点H，，，，求：的度数．（完成下列填空） 证明：∵（已知） 且（　　） ∴（等量代换） ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴___________，（等量代换） ∴（　　） ∴ ___________ （两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴___________ 【答案】见解析 【来源】甘肃省兰州市第八中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．根据同位角相等两直线平行，可证，进而利用平行线的性质和判定证明． 【详解】证明：∵（已知）， 且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴，（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 4．填空：(将下面的推理过程及依据补充完整) 如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义 【来源】甘肃省兰州市第三十五中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质并灵活运用是解题的关键．根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答． 【详解】证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴平分 （角平分线的定义）． 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义． 5．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】2024-2025学年北师大版七年级数学下册期中素养评估（第一、二章） 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质． （1）根据平行线的判定以及性质求角的度数即可． （2）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质得出，根据平角的定义得出，再根据平行线的性质得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：因为， 所以， ∴； （2）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 6．已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【来源】期中测试卷 2024-2025学年 人教版数学七年级下册 【分析】本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质． （1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出； （2）根据，，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ， ∴． ∵， ∴． 7．如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【来源】广西壮族自治区梧州市苍梧县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证； （2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 平移与平行线的综合问题题型05 1．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2) 【来源】福建省福州市福清市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的外角的性质求解； （2）利用平移的性质，证明与周长的和． 【详解】（1）解：边沿着方向平移到， ， ， ， ； （2）由平移可得，， 与周长的和． 2．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【来源】河南省新乡市获嘉县乡镇学校联考2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，解题关键是掌握平移的性质及平行线的性质． （1）由平移的性质可知，，再根据即可得出答案； （2）由平移的性质得，，，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角”，即可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ． （2）解：沿射线方向平移，得到， ，， ，， ， ． 3．如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）首先根据平移的性质得到，，然后求出，，然后根据余角的性质求解即可； （2）首先根据平移的性质得到，，求出，进而利用线段的和差求解即可． 【详解】（1），分别平移到和的位置， ，． ，． 与互余， ． ． ， ． （2），分别平移到和的位置， ，． ， ． ， ． 4．如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【来源】江西省上饶市余干县第五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平移的性质： （1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 5．如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中．    (1)填空：线段与线段的关系为________． (2)求四边形的面积； (3)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)平行且相等 (2) (3) 【来源】福建省龙岩市漳平市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）由题意得：线段与线段的关系为平行且相等； （2）由平移知，，则，因为三角形的面积=三角形的面积，推出四边形的面积=四边形的面积，利用梯形面积公式求解即可； （3）由平移知，，，则，再利用平等线的性质以及角的和与差求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：线段与线段的关系为平行且相等， 故答案为：平行且相等； （2）解：由平移知，， ∴， ∵三角形的面积=三角形的面积， ∴四边形的面积=四边形的面积 ； （3）解：由平移知，，，    ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平移的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$