27.2.1 相似三角形的判定 （两角分别相等）课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相似 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第4课时 第二十七章 相似 两角分别相等的两个三角形相似 第4课时 第二十七章 相似 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 新知导入 第二十七章 相似 1. 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法. 2. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理. 学习目标 第二十七章 相似 知识点 1 两角分别相等的两个三角形相似 知识探究 纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各角都相等，度量这两个三角形的三边，它们对应线段成比例吗？这两个三角形相似吗？(网格中的小正方形边长为1) A B C A’ B’ C’ 5 5 4 4 4 = = = 第二十七章 相似 知识探究 在△ABC和△A’B’C’中， ∠A=∠A’，∠B=∠B’，？ ∵ DE∥B ' C ' ∴ ∠A’DE=∠A’B’C’ 而A ' D=AB， ∠A=∠A’ ∴△ABC≌△A’DE（ASA） 而△A’DE∽△A’B’C’ ∴ 证明：在线段A'B'上截取A'D=AB，过点D作DE // B'C'，交A'C'于点E， 由前面学习所得，△A'B'C’∽△A'DE A B C A’ B’ C’ D E 第二十七章 相似 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 知识探究 第二十七章 相似 知识探究 例3 如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【详解】 ∵AB∥CD，∴ ∴ ∴共有3对相似三角形．故选:C. 第二十七章 相似 利用两角相等判断三角形相似 素养考点 1 知识探究 如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是(　　) 【详解】A．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；B．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；C．满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似； D．不满足相似三角形的判定方法．故选：D． 第二十七章 相似 A B D C ACD ACB B ADC 1.如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝ (或∠ ＝∠ )时，△ACD∽△ABC； 巩固练习 第二十七章 相似 例2 弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD A C D 证明:连接AC、BD ∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角 ∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B ∴△PAC∽△PDB 即PA·PB=PC·PD A B P O O D C B P 素养考点 2 利用三角形相似求等积式 ∴ 知识探究 第二十七章 相似 2. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P 巩固练习 第二十七章 相似 知识点 2 两直角三角形相似的判定 知识探究 在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中, ,求证？ =k，则= ’，= ’ 由勾股定理得 = =k ∴ 第二十七章 相似 知识探究 斜边直角边成比例判定直角三角形相似定理： 斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言： 在Rt△ABC 和Rt△A’B’C’中，若∠B=∠B ’=90°， 且，则Rt△ABC∽Rt△A’B’C’ 第二十七章 相似 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳： 知识探究 第二十七章 相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似. 判定两直角三角形相似的定理 H L A B C △ABC∽△A1B1C1. 即 如果 那么 √ A1 B1 C1 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 知识探究 第二十七章 相似 例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2， ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似． C A B D 素养考点 1 直角三角形相似的判定 知识探究 解析：（1）∵∠ADC = 90°，AD = 2， ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1） 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝ AB : AC， 即 ，解得 AB=3； ∴ （2）当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 ，解得 ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似． 第二十七章 相似 巩固练习 如图，∠AOD=90°，，以下结论成立的是（ ） A． B． C． D．以上结论都不对 【详解】 解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x ∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x , ∴， ∴ ∴ 第二十七章 相似 1. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ） A. B. C. D. A C A B D E 课堂检测 第二十七章 相似 2. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B =40°，∠A' = 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'. C A B B' C' A' 80° 课堂检测 第二十七章 相似 3. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 课堂检测 第二十七章 相似 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°，∠B=80°， ∴ ∠C=180°－∠A－∠B=60°. ∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. ∴ △ABC ∽△DEF. 4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF. A C B F E D 课堂检测 第二十七章 相似 证明：∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD （对顶角相等） ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 5. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证： D C A B E F 课堂检测 第二十七章 相似 两角分别相等的两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 直角三角形相似的判定 课堂小结 第二十七章 相似 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十七章 相似 $$