6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线和平面.　2.理解直线的方向向量与平面的法向量.　3.会求直线的方向向量与平面的法向量. [素养目标]　水平一:求直线的方向向量与平面的法向量.(数学建模) 水平二:利用直线的方向向量和平面的法向量解决简单问题.(数学建模、逻辑推理) 学习引语 亭阁与楼阁相仿,同为中国古典建筑的瑰宝.它们常见于风景名胜、庙宇禅林及繁华街市之中.往昔的亭阁构造多样,通常采用的一种是四柱支撑、飞檐翘角的形制,此类结构往往显得巍峨壮丽.试想,若亭阁的支柱与底面垂直,且其顶部横梁(或称之为“檐枋”)与支柱保持垂直,那么,我们就能知道顶部横梁必然与地面平行,这是为什么呢? 探究活动1　直线的方向向量 内容索引 探究活动2　平面的法向量 课时作业 巩固提升 探究活动3　平面的法向量的应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线的方向向量 问题　直线l的方向向量一定与直线l平行,对吗? 提示　不对,平行或重合. 把直线l上的向量e(e≠0)以及与e　　　的非零向量叫作直线l的方向向量.  知识生成 共线 温馨提醒　1.空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. 2.与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个. [例1]　 (1) 已知直线l的一个方向向量m=(2, -1, 3),且直线l过A(0, y, 3)和B(-1, 2, z)两点,则y-z的值为(　　) A.0　　　　　　　　　 B.1 C. D.3 (2)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　　 　,直线BC1的一个方向向量为　 　　　.  知识应用 A (0, 0, 1) (0, 1, 1)(答案不唯一) [解析]　(1)由点A(0, y, 3)和B(-1, 2, z)得=(-1, 2-y, z-3), 因为直线l的一个方向向量m=(2, -1, 3),故设=km,所以解得所以y-z=0. (2)因为DD1∥AA1,=(0, 0, 1), 所以直线DD1的一个方向向量为 (0, 0, 1).因为BC1∥AD1,=(0, 1, 1),所以直线BC1的一个方向向量为(0, 1, 1). 理解直线方向向量的概念 1.直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. 2.直线的方向向量不唯一.　 反思感悟 1.(多选)若点M(1, 0, -1), N(2, 1, 2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　) A.(2, 2, 6)　　　　　　　 B.(1, 1, 3) C.(3, 1, 1) D.(-3, 0, 1) 解析:因为点M, N在直线l上,=(1, 1, 3), 所以向量(1, 1, 3), (2, 2, 6)都是直线l的方向向量. 跟踪训练 AB 2.从点A(2, -1, 7)沿向量a=(8, 9,-12)的方向取线段AB,使得||=34,则点B的坐标为(　　) A.(18, 17, -17) B.(-14, -19, 17) C. D.` A 解析:设点B坐标为(x, y, z),则=λa(λ>0),即(x-2, y+1, z-7)=λ(8, 9,-12),因为||=34,所以=34,得λ=2.所以x=18, y=17, z=-17. 探究活动2　平面的法向量 问题　若向量n1,n2为平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行,对吗? 提示　不对,以这两个向量为方向向量的直线也可能重合. 由于垂直于同一平面的直线是互相　　　的,所以,我们可以考虑用平面的　　　的方向向量来刻画平面的“方向”.  如果表示非零向量n的有向线段所在直线　　　于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作　　　　.此时,我们把向量n叫作平面α的法向量.  知识生成 平行 垂线 垂直 n⊥α 温馨提醒　1.平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量; 2.一个平面的法向量有无数多个,它们互相平行; 3.零向量不能作为直线的方向向量与平面的法向量. [例2]　如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系,求: (1)平面ABCD的一个法向量; (2)平面SAB的一个法向量; (3)平面SCD的一个法向量. 知识应用 [解]　以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1). (1)∵SA⊥平面ABCD, ∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. (2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SA⊂平面SAB,∴AD⊥平面SAB, ∴=是平面SAB的一个法向量. (3)在平面SCD中,=,=(1,1,-1). 设平面SCD的法向量是n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥, ∴ 得方程组 ∴ 令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1). ∴n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量. (答案不唯一) 利用待定系数法求法向量的步骤 反思感悟 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 跟踪训练 解:设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2). (1)连接AC(图略),∵AC⊥平面BDD1B1, ∴=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量. (2)易得=(2,2,0),=(1,0,2). 设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z). 则 ∴ 令x=2,得y=-2,z=-1. ∴n=(2,-2,-1)是平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一) 探究活动3　平面的法向量的应用 1.在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示. 2.设平面α经过点P(x0,y0,z0),M(x,y,z)是平面α内任意一点,则平面α的法向量为n=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 知识生成 [例3]　已知点A(2, 2, 2), B(2, 0, 0), C(0, 2, -2). (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)若平面α经过点A,且是平面α的一个法向量,M(x, y, z)是平面α内任意一点,试写出x, y, z满足的关系式. 知识应用 [解]　(1) 因为B(2, 0, 0), C(0, 2, -2), 所以=(-2, 2, -2),即=(-2, 2, -2)为直线BC的一个方向向量. (2) 因为A(2, 2, 2), M(x, y, z), 所以=(x-2, y-2, z-2). 因为⊥α, AM⊂α, 所以, 所以(-2, 2, -2)·(x-2, y-2, z-2)=0, 化简得x-y+z-2=0. 在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示,具体步骤为:(1)求出平面的一个法向量;(2)求出平面内任意一点(x,y,z)与平面α内的一个已知点构成的向量;(3)利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解.　 反思感悟 4.(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) A.　　　　　　 　　 B. C. D. 跟踪训练 BC 解析:因为三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱, 所以AA1⊥平面ABC,BB1⊥平面ABC, 所以和可以作为平面ABC法向量. 课堂小结 1.牢记两点提醒 (1)直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量. (2)一个平面的法向量有无数多个，且它们互相平行. 2.熟悉两种解题策略 (1)求直线的方向向量的实质仍然是共线向量定理的应用. (2)求平面的法向量和空间点的坐标都应用了方程思想. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析:依题意,直线l的一个方向向量为=(3, 1, 1)-(1, 0, -2)=(2, 1, 3),其他三个均不合要求. C 2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 解析:求与n共线的一个向量. 易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1). D 3.已知n=是平面α的一个法向量,点A(0,-3,-1),B在平面α内,则k=　　　　　　.  解析:由条件得=,因为n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,点A,B在平面α内, 所以n⊥,所以n·=0, 所以·=-3k+2k+3+6=0,解得k=9. 9 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　) A.-1　　　　　　　　　　 B.1或-1 C.-3 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:由题意得a∥b,所以==,解得x=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知点A,B,C都在平面α内,则平面α的一个法向量的坐标可以是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:由A,B,C,得=,=, 设n=是平面α的一个法向量,则 即 取x=2,则y=2,z=3,故n=,则与n=共线的向量也是法向量, 经验证,只有C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量n=(1,y,3),若AB⊂α,则(　　) A.x=6,y=2 B.x=2,y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 解析:由题意可知·n=0,可得3x+4y+2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 4.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下关系中可能不成立的是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥PA. 又AC⊥BD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴BD⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC, ∴PC⊥BD. 故选项B成立,选项A和D显然成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论中正确的是 (　 　) A.直线DD1 的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(1,0,0) D.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 解析:设正方体棱长为a, 则B(a, 0, 0), B1(a, 0, a),C(a, a, 0), C1(a, a, a),D(0, a, 0),D1(0, a, a), A选项,=(0, 0, a)=a(0, 0, 1),故选项A正确; B选项,=(0, a, a)=a(0, 1, 1),故选项B正确; C选项,因为平面ABB1A1即为坐标平面xOz,所以与y轴平行的向量均为它的法向量,故选项C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D选项,=(0, a, -a), =(a, 0, -a).设平面B1CD1的一个法向量n=(x,y,z), 则 取y=1,得x=1, z=1, 所以n=(1, 1, 1)是平面B1CD1的一个法向量. 故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知三点A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为 　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1,1,1)(答案不唯一) 解析:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 由题意得=(-1,1,0),=(1,0,-1). 因为n⊥,n⊥, 所以令x=1,得y=z=1, 所以平面ABC的一个法向量n=(1,1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　 　　 .  解析:由题意知·n=0,即x-y+2z+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x-y+2z+1=0 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°, AB=2AD=2,PD⊥底面ABCD,且PD=AD,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PAB的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示, 则A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,1),=(-1,,0),=(0,,-1). 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), 则即 因此可取n=(,1,). 所以平面PAB的一个法向量可以为n=(,1,)(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知点A,B,C在平面α内,则下列向量为α的法向量的是(　　) A.n= B.n= C.n= D.n= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 解析:由题得:=,=, 设平面α的法向量为n=, 则有⇒ 故平面α的法向量可以为,. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是(　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 解析:因为|a|==6, 所以x=±4. 因为a⊥b, 所以a·b=2×2+4y+2x=0, 即y=-1-x, 所以当x=4时,y=-3; 当x=-4时,y=1. 所以x+y=1或x+y=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在平面几何中,直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个法向量可以写为n=(A,B),同时平面内任意一点P(x0,y0)到直线l的距离为d=,类似地,假设空间中一个平面的方程写为α:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0),则它的一个法向量n=　　　　,空 间任意一点P(x0,y0,z0)到它的距离d=　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (A,B,C) 12.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:是平面ABCD的法向量; (2)求平行四边形ABCD的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:因为·=(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0,·=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0, 所以AP⊥AB,AP⊥AD. 又AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:因为||==, ||==2, ·=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6, 所以cos<,>==, 故sin<,>=, S▱ABCD=||·||sin<,>=8. $$