6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.2　空间向量的坐标表示 6.2.2　空间向量的坐标表示 第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.会用坐标法计算空间向量的数量积,会判断空间向量的垂直,会求空间两向量的夹角.　2.掌握空间两点间的距离公式及简单应用. [素养目标]　水平:利用空间向量的坐标运算解决垂直、夹角和距离问题.(数学建模) 学习引语　 类比平面向量数量积的坐标表示,思考对于空间两个非零向量,它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢? 探究活动1　空间向量数量积的坐标运算 内容索引 探究活动2　空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 课时作业 巩固提升 探究活动3　利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　空间向量数量积的坐标运算 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 知识生成 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|cos<a,b> _________________ a⊥b a·b=0 _________________ 模 |a|= |a|= 夹角 余弦 cos<a,b>= cos<a,b>= x1x2+y1y2+z1z2 x1x2+y1y2+z1z2=0 温馨提醒　1.数量积的结果为数量. 2.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. [例1]　已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),且a∥b,b⊥c. (1)求向量a,b,c; (2)求向量a+c与向量b+c所成角的余弦值. 知识应用 [解]　(1)因为a∥b,所以==,且y≠0, 解得x=2,y=-4, 此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又由b⊥c得b·c=0, 故(-2,-4,-1)·(3,-2,z)=-6+8-z=0, 得z=2,此时c=(3,-2,2). (2)由(1)得, a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 因此向量a+c与向量b+c所成角θ的余弦值为 cos θ===-. 关于空间向量坐标运算的两类问题 1.直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量数量积坐标运算公式计算. 2.求参数值 首先将空间向量用坐标形式表示出来,然后通过数量积运算建立方程组,解方程组求出参数.　 反思感悟 1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1, ∠BCA=90°, AA1=2, N为A1A的中点. (1)求BN的长; (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 跟踪训练 解:如图,以C为坐标原点,CA, CB, CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz. (1)依题意得点B(0, 1, 0), N(1, 0, 1), 所以||==.所以BN=. (2)依题意得点A1(1, 0, 2), C(0, 0, 0), B1(0, 1, 2), 所以=(-1, 1, -2), =(0, -1, -2), 所以·=(-1)×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3.又因为||=, ||=, 所以cos<, >==.而异面直线所成角为锐角或直角,故A1B与B1C所成角的余弦值为. 探究活动2　空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 问题　如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式? 提示　设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),线段AB的中点为P,则=(+)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) =. 1.空间两点间的距离公式 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为 AB=　　　　　　　　　 　　　　.  2.空间线段的中点坐标公式 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点M的坐标为 　　　　 　　　　　　　　　.  知识生成 温馨提醒　1.空间两点间的距离公式类似于平面中的两点间的距离公式,可以类比记忆. 2.空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广.动点P(x,y,z)到定点P0(x0,y0,z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x-x0)2+(y-y0)2+ (z-z0)2=r2,此方程表示以点P0为球心,以r为半径的球面. [例2]　如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB,D,E,F分别是棱AB,B1C1,AC的中点,求DE,EF的长度. 知识应用 [解]　以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为C1C=CB=CA=2, 所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式, 可得D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0), 所以DE==, EF==. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 反思感悟 2.已知点M(3,2,1),N(1,0,5),求: (1)线段MN的长度; (2)到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件. 跟踪训练 解:(1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度 MN==2. (2)因为点P(x,y,z)到M,N两点的距离相等,所以=, 化简得x+y-2z+3=0, 因此,到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是x+y-2z+3=0. 探究活动3　利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 [例3]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3=,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值. 知识应用 [解]　如图所示,以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),E,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1), 由题意,可设点P的坐标为(a,a,1), 因为3=,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0), 所以3a-3=-a,解得a=, 所以点P的坐标为. 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0). 因为PQ⊥AE,所以·=0, 所以·=0, 即--=0,解得b=, 所以点Q的坐标为. 因为=λ,所以(-1,-1,0)=λ, 所以=-1,故λ=-4. 解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 1.若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如,设向量a=(x,y,z). 2.在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已知a∥b,则引入参数λ,有a=λb,再转化为方程组求解. 3.选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的.　 反思感悟 3.若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何? 跟踪训练 解:以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,点Q的坐标为(c,c,0), 因为B1Q⊥EQ,所以·=0, 所以(c-1,c-1,-1)·=0, 即c(c-1)+c(c-1)+=0,4c2-4c+1=0, 解得c=,所以点Q的坐标为, 所以Q是线段BD的中点, 所以=-2,故λ=-2. 4.本例中若G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置. 解:以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,因为G是A1D的中点,所以点G的坐标为,因为点H在平面xOy上,设点H的坐标为(m,n,0),因为=(m,n,0)-=,=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1),且,所以==, 解得m=1,n=,所以点H的坐标为, 所以H为线段AB的中点. 课堂小结 1．知识清单 (1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示． (2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式． (3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题． 2．方法归纳 坐标法． 〈课堂达标·素养提升〉 1.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)·(a+2b)等于(　　) A.-212　　　　　　　　 B.-106 C.106 D.212 解析:(2a-3b)·(a+2b) =(-10,13,-14)·(16,-4,0) =-10×16+13×(-4)=-212. A 2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则||等于(　　) A.18 B.12 C.2 D.3 解析:||==3. D 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　) A.1 B. C. D. D 解析:依题意得(ka+b)·(2a-b)=0, 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0, 而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1, 所以4k+k-2-5=0,解得k=. 4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　.  解析:∵=(0,3,3),=(-1,1,0), ∴||=3,||=, ·=0×(-1)+3×1+3×0=3, ∴cos<,>==, 又∵<,>∈[0,π],∴<,>=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知a=,b=,且a⊥b,则x=(　　) A.2　　　　　　　　　　 B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:因为a=,b=,且a⊥b,所以a·b=2×+×2+3x=0, 解得x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离CM的值为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:∵A(3,3,1),B(1,0,5),∴AB的中点M,∴=, 故CM=||==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:a+b=(-1,-2,-3)=-a, 故(a+b)·c=-a·c=7, 得a·c=-7, 而|a|==, 所以cos<a,c>==-, 因为<a,c>∈[0°,180°], 所以<a,c>=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:=(3,4,2),=(5,1,3),=(2,-3,1).由·>0,得A为锐角;由·>0,得C为锐角;由·>0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则(　　) A.cos<a,b>=- B.a⊥b C.a∥b D.|a|=|b| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 解析:∵向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1), ∴|a|=,|b|=,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2, cos<a,b>===-.故A,D正确,B,C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是(　　) A.= B.·=0 C.·=0 D.·=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 解析:以D为原点,建立如图所示空间直角坐标系, 则有D,A,B,C,D1,B1,C1, 对A:=,=,故=,故A正确; 对B:=,=,则·=1+1-1=1,故B错误; 对C:=,=,则·=0-1+0=-1,故C错误; 对D:=,=,则·=1-1+0=0,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=　　　　.  解析:∵p=a-b=(1,0,-1), q=a+2b-c=(0,3,1), ∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 8.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量a+b与a-b的夹角是　　　　.  解析:∵a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α), ∴a+b=(sin α+cos α,2,sin α+cos α), a-b=(cos α-sin α,0,sin α-cos α), ∴(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0, ∴(a+b)⊥(a-b).∴向量a+b与a-b的夹角是90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 90° [B组　关键能力练] 9.(多选)已知向量a=(1,1,-1),b=(2,-1,0),c=(0,1,-2),则下列结论正确的是(　 　) A.a·(b+c)=4 B.(a-b)·(b-c)=-8 C.记a与b-c的夹角为θ,则cos θ= D.若(a+λb)⊥c,则λ=3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 解析:由题意得a·(b+c)=(1,1,-1)·(2,0,-2)=2+0+2=4. (a-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2) =-2-4-2=-8. cos θ== =-. 因为(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0, 即(1+2λ,1-λ,-1)·(0,1,-2)=0, 得1-λ+2=0,解得λ=3.综上可知,选项A,B,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则异面直线ON,AM所成角的大小 为　　　　,线段MN的长度为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 90° 解析:以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N.·=·=0,∴, ∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°.又=,∴MN=||= =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知向量a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取 值范围为　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-,因为a与b的夹角为钝角, 所以a·b<0, 即3t-<0, 所以t<. 若a与b的夹角为180°, 则存在实数λ<0,使a=λb, 即(5,3,1)=λ, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以所以t=-, 故t的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点. (1)求BM,BN的长; (2)求△BMN的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图. 则B(0,1,0),M(1,0,1), N. (1)∵=(1,-1,1), =, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴||= =, ||= =. 故BM的长为,BN的长为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)∵cos∠MBN=cos<,> ===, ∴sin∠MBN==, ∴S△BMN=·BM·BN·sin∠MBN=×××=. 即△BMN的面积为. $$